Mostramos em uma postagem anterior que o número é irracional, mas existe um fato interessante quanto a esse número:
Dado temos que continua sendo irracional.
Mas por que isso ocorre? Teremos de mostrar isso para cada ?
O número , assim como outros números que apresentaremos aqui são o que denominamos transcendentes. Um número é transcendente quando não é algébrico. Assim, temos a definição a seguir:
Definição: Um número real é dito algébrico se é solução de alguma equação polinomial do tipo:
,
sendo que os coeficientes são todos inteiros e . Dizemos que um número é trancendentequando não for algébrico.
Se você já se fez essa pergunta, com certeza se indagou motivo de não saber respondê-la, o motivo disso é o fato de que o corpo dos complexos não pode ser ordenado. Mas afinal, o que quer dizer um corpo ser "ordenado"? E por que os complexos não pode ser ordenado? Iremos responder essas perguntas ao decorrer desse artigo, por isso fique atento. Definição: Um conjunto $X$ diz-se ordenado quando está definida entre seus elementos uma relação de ordem, ou seja, uma relação binária $x<y$, com as seguintes propriedades:
Dados $x$ e $y$ em $X$, temos que $x<y$, ou $y<x$, ou $x=y$, cada uma das possibilidades exclui as outras, denominamos isso de tricotomia.
Se $x<y$ e $y<z$ , então $x<z$ , denominamos isso de transitividade.
Olhando atentamente a definição acima vemos que podemos ordenar um conjunto qualquer de inúmeras formas. Façamos o seguinte, vamos criar uma relação de ordem para o conjunto $\mathbb{C}$ dos complexos, chamaremos essa relação de "ordem do dicionário", definida da seguinte maneira:
Dados $z=a+bi$ e $w=c+di$, temos que $z<w$ quando $a<c$, ou seja, quando a parte real de $z$ é menor que a de $w$, analogamente temos $w<z$ quando $c<a$ . Se tivermos $a=c$, utilizamos os valores da parte imaginária dos números complexos dados, assim $z<w$ se $b<d$ e $w<z$ se $d<b$.
![[;a_0,a_1,...,a_n;]](http://thewe.net/tex/a_0,a_1,...,a_n "a_0,a_1,...,a_n")
são todos inteiros e ![[;a_0\neq 0;]](http://thewe.net/tex/a_0%5Cneq%200 "a_0\neq 0")
. Dizemos que um número ![[;a;]](http://thewe.net/tex/a "a")
é trancendente quando não for algébrico.