quinta-feira, 23 de junho de 2011

Introdução aos números Algébricos e Transcendentes




Mostramos em uma postagem anterior que o número [;e;] é irracional, mas existe um fato interessante quanto a esse número:



Dado [;n\in \mathbb{N};] temos que [;e^n;] continua sendo irracional. 

Mas por que isso ocorre? Teremos de mostrar isso para cada [;n\in\mathbb{N};]?

O número [;e;], assim como outros números que apresentaremos aqui são o que denominamos transcendentes. Um número é transcendente quando não é algébrico. Assim, temos a definição a seguir:

Definição: Um número real [;a;] é dito algébrico se é solução de alguma equação polinomial do tipo:

[;a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0;] ,

sendo que os coeficientes [;a_0,a_1,...,a_n;] são todos  inteiros e [;a_0\neq 0;]. Dizemos que um número [;a;] é trancendente quando não for algébrico.

Exemplos:  

quarta-feira, 15 de junho de 2011

O Porquê dos Complexos não ser um Corpo Ordenado

Quem é maior, 
$1+2i$ ou $2+1$ ?

Se você já se fez essa pergunta, com certeza se indagou motivo de não saber respondê-la, o motivo disso é o fato de que o corpo dos complexos não pode ser ordenado. Mas afinal, o que quer dizer um corpo ser "ordenado"? E por que os complexos não pode ser ordenado? Iremos responder essas perguntas ao decorrer desse artigo, por isso fique atento.

Definição: Um conjunto $X$ diz-se ordenado quando está definida entre seus elementos uma relação de ordem, ou seja, uma relação binária $x<y$, com as seguintes propriedades:

  1. Dados $x$ e $y$ em $X$, temos que $x<y$, ou $y<x$, ou $x=y$, cada uma das possibilidades exclui as outras, denominamos isso de tricotomia.
  2. Se $x<y$ e $y<z$ , então $x<z$ , denominamos isso de transitividade.
Olhando atentamente a definição acima vemos que podemos ordenar um conjunto qualquer de inúmeras formas.
Façamos o seguinte, vamos criar uma relação de ordem para o conjunto $\mathbb{C}$   dos complexos, chamaremos essa relação de "ordem do dicionário", definida da seguinte maneira:

Dados $z=a+bi$ e $w=c+di$, temos que $z<w$ quando $a<c$, ou seja, quando a parte real de $z$ é menor que a de $w$, analogamente temos $w<z$ quando $c<a$ . Se tivermos $a=c$, utilizamos os valores da parte imaginária dos números complexos dados, assim $z<w$ se $b<d$ e $w<z$ se $d<b$.