tag:blogger.com,1999:blog-41644556577253525452024-02-22T19:57:12.466-03:00Giga MatemáticaDiego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.comBlogger50125tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-29368937696417240532016-06-23T14:20:00.002-03:002016-06-23T14:21:32.892-03:00Formato da Terra, vamos argumentar!<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Olá caro leitores, </span><br />
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br />
</span></div>
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<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">algumas postagens aqui blog são mais acessadas do que outras, mas com certeza nada supera a postagem <a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/2013/03/qual-distancia-da-linha-do-horizonte.html" target="_blank">Qual a "distância" da Linha do Horizonte?</a> (Clique e conheça mais!)</span></div>
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<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br />
</span></div>
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<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Nessa postagem tivemos a "ousadia" de supor que a Terra era redonda, o fato é que existem pontos de vista distintos como você pode conferir nos comentários da postagem.</span></div>
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<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Após algumas mensagens de vocês leitores (agradeço o apoio e motivação!) decidi expor aqui o ponto de vista do blog sobre o formato da Terra.</span></div>
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<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br />
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<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br />
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<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: x-large;">A TERRA NÃO É PLANA!!!</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: x-large;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;">MAS TAMBÉM NÃO É ESFÉRICA...</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: red; font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: large;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">E agora? Tudo que fazemos através da hipótese de que a terra é redonda está errado?</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Não! Em uma postagem futura falarei um pouco mais sobre o formato da Terra e Topologia (não se preocupe, vai ser bem esclarecedor!).</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Ao preparar essa postagem me deparei com o vídeo do canal do Youtube <a href="https://www.youtube.com/channel/UClu474HMt895mVxZdlIHXEA" target="_blank">Nerdologia</a>. Acompanho esse canal a bastante tempo e as postagens ali contidas são bem preparadas e bem produzidas (recomendo a visita!). Bem, hoje o Átila Iamarino tratou sobre esse assunto em um dos seus vídeos.</span></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Vou deixar vocês com esse excelente vídeo, mas em breve teremos uma postagem apresentando o lado matemático desse assunto.</span></div>
<br />
<br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aW-qbx04gS4" width="500"></iframe><br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Antecipando um pouco o conteúdo da próxima postagem e fornecendo uma resposta parcial para as distâncias na linha do horizonte terem comprimentos distintos em diferentes partes do mundo:</span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Para efeitos didáticos, na postagem </span><a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/2013/03/qual-distancia-da-linha-do-horizonte.html" style="font-family: verdana, sans-serif;" target="_blank">Qual a "distância" da Linha do Horizonte?</a>, <span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">assumimos que a Terra era completamente esférica e obtivemos nesse caso uma distância média da linha do horizonte, mas na prática essa distância pode variar, mas isso não implica que a NASA está conspirando contra nós, mas que não podemos confiar apenas em nossa intuição, todavia devemos nos apoiar em fatos comprovados através do métodos científicos existentes.</span><br />
<br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Até a próxima!</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br />
</span> <span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: x-large;"><br />
</span></div>
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"></span><br />
<div>
<br /></div>
</div>
<div>
<br /></div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-14794994027205785152015-06-07T17:50:00.000-03:002015-06-07T17:50:00.996-03:00Para que serve a matemática?<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Quanto tempo faz que não nos vemos, não é mesmo? Devido aos estudos do doutorado, estou com o tempo bastante reduzido, mas enquanto isso estou juntando material mais interessante para apresentar aqui no blog, aguardem.</span><span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span><br />
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Entre essas buscas me deparei com essa apresentação de </span></div>
<div style="background: rgb(255, 255, 255); border: 0px; display: table-cell; margin: 0px 0px 13px; padding: 0px; vertical-align: top; width: 824px; word-wrap: break-word;">
<span class="watch-title " dir="ltr" id="eow-title" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: transparent; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border-image-outset: initial; border-image-repeat: initial; border-image-slice: initial; border-image-source: initial; border-image-width: initial; border: 0px; margin: 0px; padding: 0px;" title="Las matematicas son para siempre | Eduardo Saenz de Cabezon | TEDxRiodelaPlata"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: #222222;">Eduardo Saenz de Cabezon, no vídeo ele responde com um toque de humor a essa pergunta que todo aluno/estudante/pesquisador/professor de matemática já escutou:</span><br />
</span></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="background-color: transparent;"><span style="color: blue; font-size: large;"><b>"Afinal, para que serve a matemática?"</b></span></span></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="background-color: transparent;">Quer descobrir a resposta, então assista o vídeo abaixo:</span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/jej8qlzlAGw" width="550"></iframe><br /></div>
<br />
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="background-color: transparent;">Até mais !
</span></span></div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-85656382735889930222014-06-28T17:46:00.000-03:002014-06-29T00:37:51.613-03:00A Matemática das Bolas de Futebol e Fulerenos<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.fotosimagens.net/wp-content/uploads/2012/12/Bola-de-futebol-foto.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://www.fotosimagens.net/wp-content/uploads/2012/12/Bola-de-futebol-foto.gif" height="320" width="295" /></a></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Olá leitores, aproveito o clima de copa do mundo para trazer uma curiosidade matemática envolvendo a forma das bolas de futebol e os fulerenos.</span><br />
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Os fulerenos são uma forma alotrópica do Carbono, foram descobertos acidentalmente em 1985 por três químicos, que posteriormente ganhariam o prêmio Nobel de Química por essa descoberta, foram eles: </span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwmfesdRNIYQIV-KROM_QlLkw-yS-Xjj8Rj_DcReNqUj3q7reltgGCi0BN1gwLPKiBPHl-s_XyFxovxrv1KqbHTb1YHetY4QM3YiBKWn8tIZXJmoxMxIZSmLRKtrI7F6GTEMmO-_AVhE0K/s1600/kroto_smalley_curl.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwmfesdRNIYQIV-KROM_QlLkw-yS-Xjj8Rj_DcReNqUj3q7reltgGCi0BN1gwLPKiBPHl-s_XyFxovxrv1KqbHTb1YHetY4QM3YiBKWn8tIZXJmoxMxIZSmLRKtrI7F6GTEMmO-_AVhE0K/s1600/kroto_smalley_curl.JPG" /></a></span></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">
</span><br />
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Harold W. Kroto, Robert F. </span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Curl e Richard E. Smalley, inicialmente essa estrutura molecular foi batizada de <b>Buckminsterfulereno ($C_{60}$). </b>Note que essa estrutura molecular possui exatamente 60 átomos de carbono, então guarde bem essa informação:</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>O Fulereno $C_{60}$ possui 60 átomos em sua composição.</b></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Abaixo temos uma representação tridimensional dessa estrutura, note a semelhança da mesma com uma bola de futebol.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://200.156.70.12/sme/cursos/EQU/EQ20/modulo1/aula0/aula01/img/image017.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://200.156.70.12/sme/cursos/EQU/EQ20/modulo1/aula0/aula01/img/image017.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
</div>
<a name='more'></a><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Mas o que bolas de futebol e fulerenos tem a ver com matemática?</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Aqui vem um fato bem legal: </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Na construção de uma bola de futebol são necessários 12 pentágonos e 20 hexágonos.</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: red; font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Isso quer dizer que, não importa o tamanho da bola, se a mesma for construída na forma abaixo, precisaremos de exatamente 12 pentágonos e 20 hexágonos, mas agora vem a palavra crucial: POR QUÊ?</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">A resposta para esse fato encontrasse na topologia do objeto, já sabemos que em todo poliedro convexo vale a relação de Euler:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$V-A+F=2,$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">onde $V$ é o número de vértices, $A$ o número de arestas e $F$ o número de faces do poliedro. </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Você pode afirmar: </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">-Tudo bem, isso vale para poliedros, mas a bola de futebol é redonda, não tem vértices ou lados e só uma face, o que podemos concluir?</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Bem, a relação acima na verdade é um caso particular para uma relação mais geral, trata-se da característica de Euler $\chi$.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Vamos nos ater a dimensão 2, a característica de Euler de uma superfície compacta é um invariante topológico, isso quer dizer que a característica de Euler de uma superfície é preservada por qualquer homeomorfismo.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Topologicamente duas superfícies são homeomorfas se conseguirmos exibir uma aplicação que seja contínua, invertível e sua inversa seja contínua.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Podemos visualizar isso na ilustração abaixo:</span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Mug_and_Torus_morph.gif" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Mug_and_Torus_morph.gif" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fonte: Wikipédia</td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Transformamos uma rosquinha em uma caneca continuamente, ou seja, não rasgamos ou colamos nenhuma parte para transforma um objeto em outro.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">A mesma coisa ocorre entre uma bola de futebol e sua representação geométrica:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaoBlC6lfJST9K61Rl-3ymOjieuzZ2I-c8llbvP-RRDNex-x04y1dD94E5NWIhqAxAdiA6IBNs5HKFvEEHeI0aHqskzAgEOJMdwlXSS3mf7tMQkFdW__j4F6kGQqnoqMrCcf7FS6BNfYE/s1600/bola_2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaoBlC6lfJST9K61Rl-3ymOjieuzZ2I-c8llbvP-RRDNex-x04y1dD94E5NWIhqAxAdiA6IBNs5HKFvEEHeI0aHqskzAgEOJMdwlXSS3mf7tMQkFdW__j4F6kGQqnoqMrCcf7FS6BNfYE/s1600/bola_2.jpg" height="320" width="320" /></a></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"> Chamamos o sólido acima de Icosaedro Truncado, para transformar o icosaedro truncado em uma bola de futebol basta ter fôlego, ou seja, basta inflar esse objeto até que ele fique redondo, pela observação anterior a característica de Euler da bola de futebol e do icosaedro são as mesmas, pois a ação de "inflar" o objeto pode ser modela através de um homeomorfismo.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">De fato, basta considerar o icosaedro centrado na origem do espaço </span><span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">$\mathbb{R}^3$</span><span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"> </span><span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">(o ponto $(0,0,0)$ deve estar no interior do sólido) e aplicar a transformação $T:S\to\mathbb{S}^2(r)$,</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">definida por $T(x)=\dfrac{rx}{|x|}$.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">O leitor mais familiar com topologia pode verificar que essa</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;">aplicação é um homeomorfismo.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Em postagens futuras abordarei mais detalhadamente esses conceitos de característica, homeomorfismos e outros temas relacionados a topologia.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Voltemos ao nosso problema: calcular exatamente quantos pentágonos e hexágonos uma bola de futebol possui.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Ora, seja $P$ o número de pentágonos e $H$ o número de hexágonos na bola.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
</div>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">O número de faces será exatamente $P+H$;</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">O número de arestas será igual a $\dfrac{5P+6H}{2}$, pois cada pentágono possui 5 arestas e cada hexágono possui 6 arestas, o motivo do quociente 2 se deve ao fato de que cada aresta é compartilhada por dois hexágonos ou por um pentágono e um hexágono;</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">O número de vértices é igual a $\dfrac{5P+6H}{3}$, </span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">pois cada pentágono possui 5 vértices e cada hexágono possui 6 vértices, o motivo do quociente 3 se deve ao fato de que cada vértice</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"> é compartilhada por dois hexágonos e um pentágono.</span></li>
</ul>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Agora basta olhar para a relação de Euler</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$V-A+F=2$$</span></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">e substituir as quantidades encontradas anteriormente, temos</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{5P+6H}{3}-\frac{5P+6H}{2}+P+H=2.$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Multiplicando essa igualdade por 6 obtemos</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$10P+12H-15P-18H+6P+6H=2.$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Efetuando as somas necessárias temos que</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$P=12.$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Ou seja, o número de pentágonos deve ser igual a 12.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Agora perceba que cada pentágono possui 5 hexágonos ao seu redor e cada hexágono é contado 3 vezes nessa conta (basta olhar para a forma da bola), logo o número de hexágonos será </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$H=\frac{12\cdot 5}{3}=20.$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Assim, o número de hexágonos será 20.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Agora, note que o número de vértices nesse sólido será </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$V=\frac{5P+6H}{3}=\frac{5\cdot 12+6\cdot 20}{3}=\frac{60+120}{3}=\frac{180}{3}=60.$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Logo temos 60 vértices nessa estrutura, assim como no Fulereno, ele possui exatamente 60 átomos de carbono em sua composição, isso quer dizer que, embora que os químicos descobriram essa molécula acidentalmente, a natureza já conhecia topologia suficiente para determinar a existência de Fulerenos com 60 átomos. Incrível não é?</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">É isso pessoal, vou ficando por aqui, mas em breve teremos mais postagens relacionadas com topologia e outras curiosidades.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Até mais ! </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
</div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com7tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-40907389084437588742014-05-31T11:34:00.001-03:002014-05-31T11:48:06.994-03:00Aritmética Modular + Solução do Desafio "Combinando Dígitos"<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Olá pessoal, hoje apresentarei a solução do desafio proposto anteriormente aqui blog, quer tentar resolvê-lo antes de prosseguir essa postagem? então <a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/2014/04/desafio-combinando-digitos.html" target="_blank">clique aqui!</a> </span><br />
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Antes de fornecer a resposta temos que lembrar o conceito de congruência modular.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span><br />
<a name='more'></a><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Definição: </b>Dado um inteiro positivo $n$, dois inteiros $a$ e $b$ são <i>congruentes módulo $n$ </i>se a diferença $a-b$ é um múltiplo de $n$, ou seja $n|(a-b)$ ($n$ divide $a-b$), representamos a congruência como abaixo:</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a\equiv b\ (mod\ n)$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Exemplos: </b></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>a) </b>$10\equiv 1\ (mod\ 3)$, pois $10-1=9$ e $3|9$.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>b) </b>Se $n$ é ímpar, então $n^2\equiv 1\ (mod\ 2)$.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">De fato, $n=2k+1$, logo $n^2=4k^2+2k+1$, assim $n^2-1=2(2k^2+k)$, portanto $2|(n^2-1)$.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Propriedades:</b></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>a) $a\equiv a\ (mod\ n)$.</b></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">De fato, </span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a-a=0\Rightarrow n|0.$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>b) Se $a\equiv b\ (mod\ n)$, então $b\equiv a\ (mod\ n)$.</b></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Suponha que $a\equiv b\ (mod\ n)$, assim</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$n|(a-b)\Rightarrow n|(b-a)$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Logo $b\equiv a\ (mod\ n)$.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>c) Se </b></span><b style="font-family: Verdana, sans-serif;">$a\equiv b\ (mod\ n)$ e </b><b style="font-family: Verdana, sans-serif;">$b\equiv c\ (mod\ n)$, então </b><b style="font-family: Verdana, sans-serif;">$a\equiv c\ (mod\ n)$.</b></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">As duas primeiras hipóteses nos dizem que</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$n|(a-b)\quad\mbox{e}\quad n|(b-c).$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Ora, se $n$ divide dois números, então $n$ divide a soma destes, assim</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$n|(a-b+b-c)\Rightarrow n|(a-c),$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">logo</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a\equiv c\ (mod\ n).$$ </span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>d) Se </b></span><b style="font-family: Verdana, sans-serif;">$a\equiv b\ (mod\ n)$ e </b><b style="font-family: Verdana, sans-serif;">$c\equiv d\ (mod\ n)$, então </b><b style="font-family: Verdana, sans-serif;">$a\pm e\equiv b\pm d\ (mod\ n)$</b><b style="font-family: Verdana, sans-serif;"> e </b><b style="font-family: Verdana, sans-serif;">$ac\equiv bd\ (mod\ n)$</b></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">As duas primeiras hipóteses nos diz que</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$n|(a-b)\quad\mbox{e}\quad n|(c-d).$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se $n$ divide dois números, então $n$ divide a soma destes, assim</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$n|[(a-b)+(c-d)]\Rightarrow n|[(a+c)-(b+d)],$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">logo</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a+c\equiv b+d\ (mod\ n).$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Agora, devemos provar que $n|(ac-bd)$, assim é fácil ver que $n|c(a-b)$ e $n|b(c-d)$, usando o resultado anterior, $n$ divide a soma, logo</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$n|(ac-bc+bc-bd)\Rightarrow n|(ac-bd),$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">ou seja</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$ac\equiv bd\ (mod\ n).$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Muitas problemas podem ser resolvidos usando congruência, em outros momentos irei explorar mais essa ferramenta aqui no blog, mas por enquanto vamos a solução do desafio.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">O desafio era o seguinte:</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<span style="background-color: white; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Considere os 16 dígitos abaixo</b></span></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px; text-align: center;">
<span style="background-color: white; font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span class="MathJax_Preview" style="color: #888888;"></span><span aria-readonly="true" class="MathJax" id="MathJax-Element-1-Frame" role="textbox" style="border: 0px; direction: ltr; display: inline; float: none; font-weight: normal; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; text-align: left; white-space: nowrap; word-spacing: normal; word-wrap: normal;"><nobr style="-webkit-transition: none; border: 0px; margin: 0px; max-height: none; max-width: none; padding: 0px; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="math" id="MathJax-Span-1" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline-block; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 19.213em;"><span style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline-block; font-size: 18px; height: 0px; margin: 0px; padding: 0px; position: relative; transition: none; vertical-align: 0px; width: 14.559em;"><span style="-webkit-transition: none; border: 0px; clip: rect(1.356em 1000.003em 2.6em -0.43em); left: 0.003em; margin: 0px; padding: 0px; position: absolute; top: -2.216em; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-2" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mn" id="MathJax-Span-3" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">2</span><span class="mo" id="MathJax-Span-4" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mn" id="MathJax-Span-5" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.165em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">2</span><span class="mo" id="MathJax-Span-6" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mn" id="MathJax-Span-7" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.165em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">3</span><span class="mo" id="MathJax-Span-8" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mn" id="MathJax-Span-9" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.165em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">3</span><span class="mo" id="MathJax-Span-10" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mn" id="MathJax-Span-11" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.165em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">4</span><span class="mo" id="MathJax-Span-12" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mn" id="MathJax-Span-13" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.165em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">4</span><span class="mo" id="MathJax-Span-14" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mn" id="MathJax-Span-15" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.165em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">5</span><span class="mo" id="MathJax-Span-16" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mn" id="MathJax-Span-17" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.165em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">5</span><span class="mo" id="MathJax-Span-18" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mn" id="MathJax-Span-19" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.165em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">6</span><span class="mo" id="MathJax-Span-20" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mn" id="MathJax-Span-21" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.165em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">6</span><span class="mo" id="MathJax-Span-22" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mn" id="MathJax-Span-23" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.165em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">7</span><span class="mo" id="MathJax-Span-24" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mn" id="MathJax-Span-25" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.165em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">7</span><span class="mo" id="MathJax-Span-26" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mn" id="MathJax-Span-27" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.165em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">8</span><span class="mo" id="MathJax-Span-28" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mn" id="MathJax-Span-29" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.165em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">8</span><span class="mo" id="MathJax-Span-30" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mn" id="MathJax-Span-31" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.165em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">9</span><span class="mo" id="MathJax-Span-32" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">,</span><span class="mn" id="MathJax-Span-33" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.165em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">9.</span></span><span style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline-block; height: 2.221em; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0px;"></span></span></span><span style="-webkit-transition: none; border-left-style: solid; border-width: 0px 0px 0px 0.004em; display: inline-block; height: 1.289em; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: -0.354em; width: 0px;"></span></span></nobr></span></b></span></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<span style="background-color: white; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Eles podem ser combinados de modo a criar dois números <span class="MathJax_Preview" style="color: #888888;"></span><span aria-readonly="true" class="MathJax" id="MathJax-Element-2-Frame" role="textbox" style="border: 0px; direction: ltr; display: inline; float: none; font-weight: normal; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; white-space: nowrap; word-spacing: normal; word-wrap: normal;"><nobr style="-webkit-transition: none; border: 0px; margin: 0px; max-height: none; max-width: none; padding: 0px; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="math" id="MathJax-Span-34" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline-block; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 1.031em;"><span style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline-block; font-size: 18px; height: 0px; margin: 0px; padding: 0px; position: relative; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.76em;"><span style="-webkit-transition: none; border: 0px; clip: rect(1.301em 1000.003em 2.33em -0.43em); left: 0.003em; margin: 0px; padding: 0px; position: absolute; top: -2.162em; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-35" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mi" id="MathJax-Span-36" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math; font-style: italic; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">A</span></span><span style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline-block; height: 2.167em; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0px;"></span></span></span><span style="-webkit-transition: none; border-left-style: solid; border-width: 0px 0px 0px 0.004em; display: inline-block; height: 1.075em; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: -0.068em; width: 0px;"></span></span></nobr></span> e <span class="MathJax_Preview" style="color: #888888;"></span><span aria-readonly="true" class="MathJax" id="MathJax-Element-3-Frame" role="textbox" style="border: 0px; direction: ltr; display: inline; float: none; font-weight: normal; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; white-space: nowrap; word-spacing: normal; word-wrap: normal;"><nobr style="-webkit-transition: none; border: 0px; margin: 0px; max-height: none; max-width: none; padding: 0px; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="math" id="MathJax-Span-37" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline-block; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 1.031em;"><span style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline-block; font-size: 18px; height: 0px; margin: 0px; padding: 0px; position: relative; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0.76em;"><span style="-webkit-transition: none; border: 0px; clip: rect(1.301em 1000.003em 2.33em -0.43em); left: 0.003em; margin: 0px; padding: 0px; position: absolute; top: -2.162em; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-38" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mi" id="MathJax-Span-39" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math; font-style: italic; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">B</span></span><span style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline-block; height: 2.167em; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0px;"></span></span></span><span style="-webkit-transition: none; border-left-style: solid; border-width: 0px 0px 0px 0.004em; display: inline-block; height: 1.075em; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: -0.068em; width: 0px;"></span></span></nobr></span> de 8 dígitos cada, de modo que <span class="MathJax_Preview" style="color: #888888;"></span><span aria-readonly="true" class="MathJax" id="MathJax-Element-4-Frame" role="textbox" style="border: 0px; direction: ltr; display: inline; float: none; font-weight: normal; line-height: normal; margin: 0px; padding: 0px; white-space: nowrap; word-spacing: normal; word-wrap: normal;"><nobr style="-webkit-transition: none; border: 0px; margin: 0px; max-height: none; max-width: none; padding: 0px; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="math" id="MathJax-Span-40" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline-block; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 4.386em;"><span style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline-block; font-size: 18px; height: 0px; margin: 0px; padding: 0px; position: relative; transition: none; vertical-align: 0px; width: 3.304em;"><span style="-webkit-transition: none; border: 0px; clip: rect(1.356em 1000.003em 2.384em -0.43em); left: 0.003em; margin: 0px; padding: 0px; position: absolute; top: -2.216em; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mrow" id="MathJax-Span-41" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;"><span class="mi" id="MathJax-Span-42" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math; font-style: italic; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">B</span><span class="mo" id="MathJax-Span-43" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.273em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">=</span><span class="mn" id="MathJax-Span-44" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Main; margin: 0px; padding: 0px 0px 0px 0.273em; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">2</span><span class="mi" id="MathJax-Span-45" style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline; font-family: MathJax_Math; font-style: italic; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px;">A</span></span><span style="-webkit-transition: none; border: 0px; display: inline-block; height: 2.221em; margin: 0px; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: 0px; width: 0px;"></span></span></span><span style="-webkit-transition: none; border-left-style: solid; border-width: 0px 0px 0px 0.004em; display: inline-block; height: 1.075em; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; position: static; transition: none; vertical-align: -0.068em; width: 0px;"></span></span></nobr></span>?</b></span></div>
</div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<span style="background-color: white; font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<span style="background-color: white; font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;">Solução: Note inicialmente que todo número é congruente a soma de seus dígitos módulo 3.</span></b></span></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<span style="background-color: white; font-family: Verdana, sans-serif;"><b><span style="color: blue;">De fato, seja podemos escrever um número em função de seus dígitos da seguinte forma:</span></b></span></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">$$n=a_0+a_1\cdot 10+a_2\cdot 10^2+\cdots+a_k\cdot 10^k,$$</span></b></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">onde $0\leq a_i\leq 9,\forall i\in\{0,\ldots,k\}$.</span></b></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">Agora</span></b><br />
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">$$n-(a_0+a_1+\cdots+a_k)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot 10^i -\sum_{i=0}^n a_i.$$</span></b><br />
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">Agrupando os termos temos</span></b></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">$$n-(a_0+a_1+\cdots+a_k)=3(3a_1+33a_2+\cdots+\underbrace{33\ldots 3}_{k\ \textrm{vezes}}).$$</span></b><br />
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">Assim $n|[n-(a_0+a_1+\cdots+a_k)]$</span></b><b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">, portanto</span></b><br />
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">$$n\equiv (a_0+a_1+\cdots+a_k)\ (mod\ 3).$$</span></b><br />
<br /></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">Suponha agora que existissem tais números no desafio proposto. </span></b></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">Por um lado teríamos que</span></b></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">$$A+2B\equiv 2(2+\cdots+ 9)\ (mod\ 3),$$</span></b></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">ou seja</span></b></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">$$A+2B\equiv 88\ (mod\ 3),$$</span></b></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">mas $88\equiv 1\ (mod 3)$, logo</span></b></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">$$A+2B\equiv 1\ (mod 3).$$</span></b></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">Por outro lado, se $B=2A$, então $A+B=3A$ e como $3|3A$ isso nos diz que</span></b></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">$$3A\equiv 0\ (mod\ 3).$$ </span></b></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">Absurdo, pois ambas as congruências não podem ocorrer ao mesmo tempo, logo não é possível encontrar tais números.</span></b></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;"><br /></span></b></div>
<div style="font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Vou ficando por aqui, mas em breve mostrarei mais aplicações e questões utilizando congruência, até mais!</b></span></div>
<div style="font-family: Georgia, Utopia, 'Palatino Linotype', Palatino, serif; font-size: 14px; line-height: 19.600000381469727px;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;"><br /></span></b></div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-71248829486918252662014-04-24T19:38:00.001-03:002014-04-24T19:38:52.908-03:00Desafio: Combinando Dígitos<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Olá Pessoal, trago para vocês mais um desafio do Giga Matemática!</span><br />
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Dessa vez o desafio é bem simples de enunciar, mas você precisa de um pouco de tempo para respondê-lo, ou será que não? </span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">O desafio é o seguinte:</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Considere os 16 dígitos abaixo</b></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>$2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9.$</b></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Eles podem ser combinados de modo a criar dois números $A$ e $B$ de 8 dígitos cada, de modo que $B=2A$?</b></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Por exemplo, podemos considerar</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$A=24346788$ e $B=52979356$,</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">porém $2A=48693576$, ou seja, essa combinação funciona.</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">O desafio foi lançado, v</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">ocê acha que consegue resolver este desafio de um modo tão simples como ele foi enunciado? Será que é possível tal combinação, em caso afirmativo, que combinação é essa? Em caso negativo, qual a razão de não podermos combiná-los?</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">As soluções podem ser enviadas clicando na aba <a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/p/enviar-arquivo.html" target="_blank">Enviar Arquivo</a> ou <a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/p/enviar-arquivo.html" target="_blank">clicando aqui</a> . As soluções serão publicadas aqui no blog!</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Até mais ! </span></div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-16348320351471425762014-03-02T18:00:00.000-03:002014-03-02T18:03:06.860-03:00O Teorema do Ponto Fixo em Dimensão 1<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Olá Pessoal, estava meio sumido por dois motivos:</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">1) Estava estudando Análise Funcional para realizar a prova de Seleção do Programa de Doutorado em Matemática da UFC, o tempo passa muito rápido, um dia desses estava aqui no blog divulgando minha aprovação para ingressar no Mestrado, e agora não é diferente, tanto esforço valeu a pena, passei na seleção e iniciarei o <b>Doutorado em Matemática </b>no segundo semestre desse ano, para a minha surpresa passei em primeiro lugar no meu semestre!</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">2) Estou na reta final para concluir minha dissertação, última etapa para obter o grau de Mestre em Matemática, talvez eu fale um pouco do que eu abordei na minha dissertação em outra postagem.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Agora retomando as atividades, essa será a primeira de três postagens no Teoremas de Ponto Fixo.</span><br />
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Existem vários teoremas sobre ponto fixo, tentarei apresentar aos leitores alguns desses teoremas, alguns desses teoremas possuem uma prova um pouco mais avançada, mas tentarei ser bastante objetivo em relação à isso, a nossa motivação será encontrar aplicações desses teoremas em problemas matemáticos e no cotidiano.</span><span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span><br />
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Mas o que é um ponto fixo? Um ponto fixo é um ponto que não é alterado por uma aplicação, assim, o ponto fixo depende da aplicação escolhida. Por exemplo, a aplicação $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$ possui dois pontos fixos, nesse caso $x=0$ e $x=1$. De fato,</span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$f(x)=x\Leftrightarrow x^2=x\Leftrightarrow x(x-1)=0\Leftrightarrow x=0\ \mbox{ou}\ x=1 $$</span></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">É fácil ver que na aplicação identidade $Id(x)=x$ todos os pontos do domínio são pontos fixos.</span></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">O primeiro teorema sobre ponto fixo será o caso real, ou seja, nosso espaço será $\mathbb{R}$. Antes de enunciarmos o teorema, vejamos o significado geométrico do ponto fixo.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Como observamos antes, a aplicação identidade possui pontos fixos em toda reta, se considerarmos no mesmo gráfico a aplicação identidade e uma outra aplicação de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$, obtemos a seguinte figura:</span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Fixed_Point_Graph.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Fixed_Point_Graph.png" height="320" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fonte: Wikipédia</td></tr>
</tbody></table>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Assim, os pontos fixos são os pontos do gráfico que pertencem à imagem da aplicação identidade.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span><br />
<a name='more'></a><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Podemos pensar nos pontos fixos como um ponto de equilíbrio em uma certa situação, em Economia um Equilíbrio de Nash de um jogo é um ponto onde não há perda e nem ganhos.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Enunciamos assim o nosso primeiro teorema sobre pontos fixos.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><b>Teorema: </b>Seja $f:[a,b]\to[a,b]$ uma função contínua definida em $[a,b]\subset\mathbb{R}$, então existe um ponto fixo em $[a,b]$, isto é, existe $x_0\in[a,b]$ tal que $f(x_0)=x_0$.</i></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;"><b>Prova:</b> Ora, se tivermos $f(a)=a$ ou $f(b)=b$ não temos nada para provar. Suponha então que $f(a)>a$ e $f(b)<b$.</span></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">Defina a função $h:[a,b]\to[ab]$ por $h(x)=x-f(x)$, note que $h$ é <a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/2013/05/as-consequencias-do-teorema-do-valor.html" target="_blank">contínua</a> pois é a soma de duas funções contínuas. </span></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">Observe também que $h(a)=a-f(a)<0$ e $h(b)=b-f(b)>0$, podemos aplicar o <a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/2013/05/as-consequencias-do-teorema-do-valor.html" target="_blank">Teorema do Valor Intermediário</a> e concluir que existe um ponto $x_0\in[a,b]$ tal que $h(x_0)=0$. Mas isso implica que $x_0-f(x_0)=0$, ou seja, $f(x_0)=x_0$.</span></span></div>
<div style="text-align: right;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;">$\Box$</span></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: blue;"><br /></span></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">O Blog Fatos Matemáticos tem uma postagem que aborda outras aplicações para o Teorema do ponto fixo em dimensão 1, basta <a href="http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/09/o-metodo-do-ponto-fixo-parte-1.html" target="_blank">clicar aqui</a>. </span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Veja uma aplicação bem legal na prática do teorema ponto fixo:</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Tome um elástico como o da imagem abaixo:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3-l-5xX8AxFLxzhBEAqZnAmUp4ZU1tJA2pk7q8_Y9NRdZbU4TJvS8Zi0XZojZXTBJ30_TW00jRZdMCizypSro4Y7g3MjecDgerMGC_DNRHuQ6FOiiWwqVHz8snQY2cyASNppJVEBXBHwe/s1600/EL%C3%81STICO.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3-l-5xX8AxFLxzhBEAqZnAmUp4ZU1tJA2pk7q8_Y9NRdZbU4TJvS8Zi0XZojZXTBJ30_TW00jRZdMCizypSro4Y7g3MjecDgerMGC_DNRHuQ6FOiiWwqVHz8snQY2cyASNppJVEBXBHwe/s1600/EL%C3%81STICO.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Agora, usando somente dois dedos segure-o dessa forma:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJtPk3cJseUfFbO_Nmw6YAM7XMRxkmWejJflUmRMtqhCxvoj-t9bKVbVrlB7rkGkGqe4_reBqbrcAMsD3eMXJu33-bn19kGLRIUIq3uP2jscPfhk5jFQG-JzYcs3irKP3eaOGzOA9DT00/s320/el.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJtPk3cJseUfFbO_Nmw6YAM7XMRxkmWejJflUmRMtqhCxvoj-t9bKVbVrlB7rkGkGqe4_reBqbrcAMsD3eMXJu33-bn19kGLRIUIq3uP2jscPfhk5jFQG-JzYcs3irKP3eaOGzOA9DT00/s320/el.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Estique-o o máximo que puder (cuidado para não soltar um dos lados, acredite, VAI DOER!), se considerarmos a metade superior (acima dos dedos) podemos afirmar, graças ao Teorema do Ponto Fixo, que algum ponto do elástico está na mesma posição que se encontrava antes do elástico ser esticado, incrível não é mesmo?</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Mas o blog é de Matemática, nada mais justo do que uma explicação e prova matemática para essa afirmação.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Vamos lá, considere $\ell$ o comprimento da parte superior do elástico quando este não está esticado e $L$ o comprimento da parte superior do elástico quando este estiver totalmente esticado.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Note que "esticar o elástico" matematicamente corresponde à uma translação e uma dilatação, assim o procedimento acima corresponde à uma função da forma</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$f(x)=ax+b\qquad (1)$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se considerarmos o intervalo fechado $[0,L]$ da reta, o elástico esticado corresponde ao intervalo todo, e suponha que em condição normal, a ponta esquerda está sobre o ponto $x_1$ e a ponta direita está sobre o ponto $x_2$, desse modo $\ell=x_2-x_1$. Veja o gráfico abaixo:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhI7Zt9t7MEaDDDB2Gievkead2URp74imczIh6OHGfcVGAVp87uTqpkOU7PpWMGDj4XbD2tQUbtjqbM247erES7Yl-8brwdYek98XLLaoQ1Omlpv30TjQQ_KbHev1HEDQ87dskqaxjNT7U/s1600/grafico2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhI7Zt9t7MEaDDDB2Gievkead2URp74imczIh6OHGfcVGAVp87uTqpkOU7PpWMGDj4XbD2tQUbtjqbM247erES7Yl-8brwdYek98XLLaoQ1Omlpv30TjQQ_KbHev1HEDQ87dskqaxjNT7U/s1600/grafico2.png" /></a></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Assim, vemos que a extremidade esquerda $x_1$ será esticada até o ponto $f(x_1)=0$ e a extremidade direita $x_2$ será esticada até o ponto $f(x_2)=L$. Substituindo esse valores em $(1)$ temos:</span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$ax_1+b=0$$</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$ax_2+b=L$$</span></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Resolvendo o sistema obtemos</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$a=\frac{L}{\ell}$$</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$b=-\frac{Lx_1}{\ell}$$</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Assim, nossa função $f:[0,L]\to[0,L]$ é definida por</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$f(x)=\frac{L}{\ell}(x-x_1)$$</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">E seu gráfico é </span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEha2FgkW0Lcimi4FvbIiHNXCZsoAe1u-PzUGAi09b7c6mKuLYc5WRvm9kYVJzAmm9SRVxzi2o8Lnzs9ALKG2aF9ypTCbfg1Ri6mI4EOZasjVJrAG68nsSygGacZIE2hHnbt4G97QLr9DrQ/s1600/gr%C3%A1fico+1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEha2FgkW0Lcimi4FvbIiHNXCZsoAe1u-PzUGAi09b7c6mKuLYc5WRvm9kYVJzAmm9SRVxzi2o8Lnzs9ALKG2aF9ypTCbfg1Ri6mI4EOZasjVJrAG68nsSygGacZIE2hHnbt4G97QLr9DrQ/s1600/gr%C3%A1fico+1.png" /></a></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Essa função é contínua (podemos verificar isso matematicamente, mas note que seu gráfico não possui interrupções). O Teorema do ponto fixo já nos garantiu que existe pelo menos um ponto fixo e agora fica claro que tal ponto fixo é o ponto $x=\frac{Lx_1}{L-\ell}$.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Essa é apenas uma das aplicações em que pensei, a próxima postagem nesse assunto abordará o Teorema do Ponto Fixo em Dimensão 2! Portanto, fique atento as postagens do Giga Matemática, até mais !</span></div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-51030272689688904092013-12-25T00:55:00.001-03:002013-12-25T00:55:16.508-03:00FELIZ NATAL À TODOS!<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1PkY_ERcm0Bk5IA6Rf0l92JyiZgHFA7C_bTpa3IZ4638ANOgs2HzLordARitSDwnwNPnNcF4nlsBdR3yI4COfRPMBHK4bmX2tgSii35vwKA-LKKUtl1XFdwKHsuWx0_9DXF3JIhPWCbs/s1600/FELIZ+NATAL+GIGA.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1PkY_ERcm0Bk5IA6Rf0l92JyiZgHFA7C_bTpa3IZ4638ANOgs2HzLordARitSDwnwNPnNcF4nlsBdR3yI4COfRPMBHK4bmX2tgSii35vwKA-LKKUtl1XFdwKHsuWx0_9DXF3JIhPWCbs/s1600/FELIZ+NATAL+GIGA.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Um Feliz Natal à todos os leitores do blog Giga Matemática, que vocês realizem seus sonhos e que o próximo ano seja de bastante alegria e prosperidade à todos!!!</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="font-size: x-large;">$$\oint\exists\ell\mathbb{I}\mathbb{Z}\quad\mathbb{N}\forall\top\alpha\angle\ !$$</span></span></div>
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span>Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com5tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-72883764563268047282013-11-23T11:15:00.001-03:002013-11-23T11:21:20.758-03:00Questão: Aplicação do Valor Intermediário<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">A questão que será apresentada aqui aborda mais uma das aplicações do Teorema do Valor Intermediário (para saber mais clique nessa postagem:<a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/2013/05/as-consequencias-do-teorema-do-valor.html" target="_blank">As Consequências do Teorema do Valor Intermediário</a> ), a questão foi enviada pelo leitor Arlyson A. Nascimento, ele é professor do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Alagoas. Obrigado pela confiança no blog!</span><span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span><br />
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">A questão pertence ao exame de admissão no programa de pós-graduação em matemática aplicada (2011). Vamos ao enunciado:</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span><br />
<div style="font-weight: bold;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Sejam $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ uma função contínua, $x_1,\ldots,x_n$ pontos distintos de $[a,b]$, e números reais de mesmo sinal $w_1,\ldots,w_n$. Mostre que existe pelo menos um ponto $c\in[a,b]$ tal que</span></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">
<div style="font-weight: bold;">
$$\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i=f(c)\sum_{i=1}^nw_i$$</div>
<div style="font-weight: bold;">
<br />
<a name='more'></a><br /></div>
<div>
<u>Solução:</u> Suponha sem perda de generalidade que $w_i>0$ para todo $1\leq i\leq n$, (a demonstração é análoga para o outro caso). Note inicialmente que $[a,b]$ é compacto, assim, visto que $f$ é contínua, $f$ atinge seu valor de máximo e mínimo no domínio, logo, exitem $c_1,c_2$ tais que $f(c_1)=m,f(c_2)=M$ e</div>
<div>
<br /></div>
</span><br />
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$m\leq f(x)\leq M,\quad\forall x\in [a,b]\qquad (1)$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Defina $F:[a,b]\to\mathbb{R}$ por</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$F(x)=\sum_{i=1}^n[f(x)-f(x_i)]w_i$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$F$ é claramente contínua, pois $f$ é contínua. Observe que</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$F(c_1)=\sum_{i=1}^n[m-f(x_i)]w_i\leq0,$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">pois de $(1)$ temos $m\leq f(x)\Rightarrow m-f(x)\leq0,\forall x \in[a,b]$ e por hipótese $w_i>0$.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Analogamente,</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$F(c_2)=\sum_{i=1}^n[M-f(x_i)]w_i\geq0,$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">pois de $(1)$ temos $M\geq f(x)\Rightarrow M-f(x)\geq0,\forall x \in[a,b]$ e por hipótese $w_i>0$.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Temos agora três casos a considerar:</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Caso 1:</b> $F(c_1)=0$, se ocorrer esse caso, então acabamos a questão, pois</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$F(c_1)=0$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\sum_{i=1}^n[f(c_1)-f(x_i)]w_i=0$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\sum_{i=1}^nf(c_1)w_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$f(c_1)\sum_{i=1}^nw_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$</span></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Caso 2:</b> $F(c_2)=0$, concluímos como no caso anterior que $c_2$ satisfaz a igualdade desejada.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Caso 3:</b> $F(c_1),F(c_2)\neq0$, assim só podemos ter $F(c_1)<0$ e $F(c_2)>0$. Como $F$ é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $c\in[a,b]$ tal que $F(c)=0$, nesse caso:</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$F(c)=0$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\sum_{i=1}^n[f(c)-f(x_i)]w_i=0$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\sum_{i=1}^nf(c)w_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$f(c)\sum_{i=1}^nw_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Portanto, existe pelo menos um ponto $c\in[a,b]$ tal que</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i=f(c)\sum_{i=1}^nw_i$$</span></div>
</div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">É isso, dúvidas em relação à solução poderão ser postadas nos comentários.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Até mais !</span></div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-78822436188490115152013-08-29T12:34:00.001-03:002013-08-29T12:34:46.802-03:00O Corpo dos Números Complexos - Parte II<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Hoje daremos continuidade ao artigo enviado pelo leitor <b>João </b>(Portugal), quem não viu a primeira parte pode <b><u><span style="color: blue;"><a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/2013/05/o-corpo-dos-numeros-complexos-parte-1.html" target="_blank">clicar aqui</a></span></u></b> e ver!</span><span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span><br />
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Segue o artigo enviando pelo João:</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">__________________________________________________________</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Antes de continuar o meu artigo quero desde já agradecer ao Diego a oportunidade de postar aqui no blog o meu trabalho. Comecemos por dizer algumas propriedades do corpo dos complexos:</span></div>
</div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a name='more'></a><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>1. O corpo dos números complexos não é um corpo de Galois</b></span></div>
<div>
<span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Demonstração:</b></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><div style="color: blue;">
Um corpo de Galois é um corpo finito, ou seja, é um corpo cujo em que o conjunto dos elementos é finito. </div>
<div style="color: blue;">
Ou seja, temos de mostrar que o conjuntos dos números complexos não é finito. Como sabemos, podemos obter um isomorfismo entre o corpo dos complexos e o produto direto entre corpo dos reais em si próprio, ou seja,</div>
<div style="color: blue;">
Seja $f$ uma função, tal que:</div>
<div style="color: blue;">
$$f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}\times\mathbb{R}$$</div>
<div style="color: blue;">
$$a+bi\mapsto (a,b)$$</div>
<div style="color: blue;">
<div>
Esta função $f$ é um isomorfismo entre os corpos. Sendo assim se $\mathbb{R^2}$ não é finito então o corpo dos números complexos também não é finito.</div>
<div>
Ou seja, $\mathbb{C}$ não é um corpo de Galois.</div>
</div>
<div style="color: blue;">
<br /></div>
<div>
<b>2. O corpo dos complexos não é ordenado</b></div>
<div>
<span style="color: blue;"><b>Demonstração:</b></span></div>
<div>
<span style="color: blue;">Veja a demonstração nessa postagem do Giga Matemática:</span></div>
<div>
<span style="color: blue;"><a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/2011/06/o-porque-dos-complexos-nao-ser-um-corpo.html" target="_blank">O porquê dos complexos não ser um corpo ordenado</a></span></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div>
Uma propriedade importante é o fato de o corpo dos números complexos ser </div>
<div>
algebricamente fechado. Para demonstrar este fato vamos começar por introduzir e provar 4 lemas. Mas antes disto vamos definir um corpo algebricamente fechado. Um corpo $F$ é <b>algebricamente fechado</b> se qualquer polinômio de uma variável e grau maior ou igual a 1, com coeficientes em $F$, tiver uma raiz em $F$.</div>
</div>
<div>
Eis os lemas que vamos utilizar:</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div>
1. <b>Lema 1</b>: Todo o polinômio de coeficientes reais de grau ímpar tem uma raiz real.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
2. <b>Lema 2</b>: Todo o polinômio de coeficientes complexos e grau dois, tem pelo menos uma raiz complexa.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
3. <b>Lema 3</b>: Se todo o polinômio de coeficientes reais, não constante, tem uma raiz complexa, então todo o polinômio de coeficientes complexos, não constante, tem uma raiz complexa.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
4. <b>Lema 4</b>: Todo o polinômio real não constante tem uma raiz complexa.</div>
</div>
<div>
<span style="color: blue;"><br /></span></div>
<div>
<div>
<span style="color: blue;"><b>Demonstração:</b></span></div>
<div>
<span style="color: blue;">Seja $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ </span><span style="color: blue;">um polinômio de coeficientes reais, não constante e $a_n\neq 0$. </span></div>
<div>
<span style="color: blue;"><br /></span></div>
<div>
<span style="color: blue;">Vamos provar por indução no grau do polinômio que, $f(x)$ tem uma raiz complexa.Seja $n=2^mq$</span><span style="color: blue;"> , com $q$ ímpar. Vamos fazer uma indução em $m$.</span></div>
<div>
<span style="color: blue;"><br /></span></div>
<div>
<span style="color: blue;">Se $m=0$ temos $n=q$ e o grau do polinômio é ímpar. Logo pelo Lema1, temos que o </span><span style="color: blue;">polinômio tem uma raiz real. Suponhamos agora que a propriedade se verifica para todos </span><span style="color: blue;">os graus $d=2kq'$ com $k>m$ e $q'$ ímpar, e que o grau de $f$ é $n=2mq$. Seja $F'$ o corpo de </span><span style="color: blue;">decomposição de $f(x)$ sobre $\mathbb{R}$ cujas raízes são $r_1,\ldots,r_n$. Vamos mostrar que pelo menos </span><span style="color: blue;">uma destas raízes é complexa. Seja $g$ um inteiro e consideremos o polinômio</span></div>
</div>
<div>
<span style="color: blue;">$$G(x)=\prod_{i\leq j}\left(x-(r_i+r_j+gr_ir_j)\right)$$</span></div>
<div>
<span style="color: blue;">De coeficientes em $F'(x)$.</span></div>
<div>
<span style="color: blue;"><br /></span></div>
<div>
<div style="color: blue;">
Ao formar $G$, escolhemos os pares de raízes $\{r_i,r_j\}$ de modo que o número destes pares seja o número de maneiras possíveis, de escolher dois elementos em $n$, ou seja, $2[q(2q-1)]=2q'$, onde $q'$ é ímpar, então o grau de $G$ é $n=2q'$. Como $G$ é um polinômio simétrico e $\{r_i,r_j\}$ são raízes de um polinômio real, então os coeficientes $s\{r_i,r_j\},s'\{r_i,r_j\}$, de $G$ são reais. Então podemos dizer que $G(x)$ tem coeficientes reais e o grau de $G$ é $2m-q'$. Por hipótese de indução temos que $G$ tem uma raiz complexa, logo existe um par $\{r_i,r_j\}$, com $r_i+r_j+gr_ir_j\in\mathbb{C}$. Como $g$ é um inteiro qualquer, podemos dizer que para cada $g_1$ existe um par $\{r_i,r_j\}$ com $r_i+r_j+g_jr_ir_j\in\mathbb{C}$. Como temos infinitas escolhas para $g$ e</div>
<div style="color: blue;">
finitas possibilidades para $i$ e $j$, então existem $g_1,g_2\in\mathbb{R}$ tal que $z'=r_i+r_j+g_1r_ir_j\in\mathbb{C}$ e</div>
<div style="color: blue; text-align: left;">
$z''=r_i+r_j+g_2r_ir_j\in\mathbb{C}$ , então $z'-z''=(g_1-g_2)r_ir_j$\in\mathbb{C}. Mas isso faz com que $g_1r_ir_j\in\mathbb{C}$, logo $r_i+r_j\in\mathbb{C}$. Então, $p(x)=(x-r_i)(x-r_j)=x^2-(r_i+r_j)x+r_ir_j$ tem coeficientes complexos, e grau dois, logo pelo Lema 2, as suas raízes são complexas. Como $r_1,\ldots,r_n$ são raízes de $f(x)$ temos que $f(x)$ tem uma raiz complexa.</div>
<div style="color: blue; text-align: right;">
$\Box$</div>
<div style="color: blue;">
<br /></div>
<div>
<b>Teorema: </b>$\mathbb{C}$ é um corpo algebricamente fechado.</div>
</div>
<div>
<div>
<span style="color: blue;"><b>Demonstração:</b></span></div>
<div>
<span style="color: blue;">O lema 4 diz que qualquer polinômio real não constante, tem uma raiz complexa, e o lema </span><span style="color: blue;">3 diz que se todos os polinômios reais não constantes têm raiz complexa, concluímos que </span><span style="color: blue;">todos os polinômios complexos não constantes, têm uma raiz complexa. </span></div>
<div>
<span style="color: blue;">Então temos que todos os polinômios complexos, decompõem-se em $\mathbb{C}$, logo, $\mathbb{C}$ é um corpo </span><span style="color: blue;">algebricamente fechado.</span></div>
</div>
<div style="text-align: right;">
<span style="color: blue;">$\Box$</span></div>
<div style="text-align: left;">
__________________________________________________________</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Agradeço ao leitor João por ter enviado seu artigo para o Giga Matemática. E você também pode participar, basta enviar seu artigo para o blog através da aba no topo desse blog ou <a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/p/enviar-arquivo.html" target="_blank">clicar aqui</a>! Até mais!</div>
</span></div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-34721449989611787252013-08-01T15:46:00.002-03:002013-08-01T15:47:28.592-03:00Números Autobiográficos + DESAFIO <div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsw9rXrEe5VpzHq-BOIUwBOFwb0yAouRy2aahuYcePAVyyDlkHwFgvGErcGq5miSi8OGuJyu7BKxW36XQgPj5Md-pUXPLFb5jOGB7OKmiARxthptTdyi69iJxIu20X40-zGH1CYyHj6W0/s1600/BookClubBook.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsw9rXrEe5VpzHq-BOIUwBOFwb0yAouRy2aahuYcePAVyyDlkHwFgvGErcGq5miSi8OGuJyu7BKxW36XQgPj5Md-pUXPLFb5jOGB7OKmiARxthptTdyi69iJxIu20X40-zGH1CYyHj6W0/s1600/BookClubBook.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Hoje apresento uma propriedade interessante de alguns números, como o título já informa, iremos falar dos números autobiográficos.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Definição: </b>Um número <i>autobiográfico</i> é um número $N$ com no máximo 10 dígitos, tal que seu primeiro dígito informa quantos zeros $N$ possui, o segundo dígito informa quantos 1's $N$ possui, e assim sucessivamente.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Por exemplo, o número $3211000$ é um número autobiográfico, pois ele nos informa que ele possui <b>três</b> zeros, <b>dois</b> 1's, <b>um</b> 2, <b>um</b> 3, <b>zero </b>4, <b>zero </b>5, <b>zero </b>6.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">É fácil ver que não existem uma quantidade infinita de números autobiográficos, pois eles possuem no máximo 10 dígitos.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Note alguns fatos sobre esses números:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span></div>
<a name='more'></a><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
</div>
<ol>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Os números autobiográficos possuem no máximo 10 dígitos. Segue-se da definição;</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">A soma dos dígitos de um número autobiográfico é igual a soma da quantidade de dígitos que esse número possui, consequentemente a soma dos dígitos não é maior do que 10 (De fato, cada dígito informa a quantidade de zeros, 1's, 2's, e assim sucessivamente);</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"> Como o primeiro dígito informa a quantidade de zeros, então um número autobiográfico possui pelo menos um zero;</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">De (2) e de (3), podemos concluir que a soma de todos os dígitos, exceto o primeiro, é igual a quantidade de dígitos não nulos que restou mais 1. (acrescentamos +1, pois o primeiro dígito estava sendo contado por algum dos números que restaram, assim acrescentamos uma unidade à contagem para continuar com uma afirmação verdadeira);</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">De (4), vemos que os demais dígitos (após o primeiro) não nulos forma uma sequência de 1's e apenas um único 2 (Ora, a soma desses dígitos não-nulos, pelo item 4, é igual a quantidade deles mais 1, ou seja, cada dígito contribui com 1 na contagem, como a soma dessa contagem é igual a soma deles mais 1,temos uma sequência de 1's e apenas um 2);</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Em particular, a quantidade de 1's é 0,1 ou 2 (consequência dos itens anteriores).</span></li>
</ol>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Assim podemos encontrar todos os números autobiográficos, bastando para isso considerar a quantidade de 1's que ele possui.</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Faremos aqui o caso quando a quantidade de 1's é zero, os demais casos ficam ao cargo do leitor.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
</div>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se o número de 1's é zero, então o único dígito (exceto o primeiro) não-nulo é 2;</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Como 2 pertence à autobiografia do número, e o segundo dígito é zero (estamos considerando o número de 1's sendo nulo), então o terceiro dígito deve ser 2. (se fosse o quarto, quinto, etc, teríamos algum dígito maior que 2, absurdo!)</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Como o terceiro dígito informa a quantidade de 2's, esse número possui dois 2's.</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">De (5), temos que o outro dígito 2 só poderá ser o primeiro!</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Logo ele deve ser 2020.</span></li>
</ul>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Encontramos aqui um número autobiográfico, realidade existem ................. ISSO QUEM VAI DIZER É O LEITOR, PORQUE ESSE É O <span style="color: red;"><b>DESAFIO </b></span><span style="color: blue;"><b>GIGA MATEMÁTICA!!!</b> </span>, então fica aqui o desafio para o leitor:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: #274e13;"><span style="font-size: large;">Quantos números autobiográficos existem? </span></span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: #274e13;"><span style="font-size: large;">Quais são eles?</span></span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: #274e13;"> </span>Os leitores tem até <b>09/08 </b>para enviar a solução através da página <a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/p/enviar-arquivo.html" target="_blank">Enviar Arquivo</a>. Suas respostas serão publicadas aqui e os leitores terão seus nomes divulgados, por isso é importante enviar o nome juntamente com a solução, mãos à obra!</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Até a próxima!</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span>Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-53156484373181897502013-07-27T14:31:00.001-03:002013-07-27T14:31:28.171-03:00Por que só existem 5 sólidos platônicos?<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7iEAt1fCO3u7k0uEN5wWkgMKhQvpCMXuXLF7sohzqfT56INwRInRm3xW5U8nxns6W3JUZ2uGuZfVZDTv6fg_4EuVb4mO0VgwFi4T0ls0W7-ybzC_5XHkHfhLWun-SBb2PQnJOqlqjBnM/s1600/final.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7iEAt1fCO3u7k0uEN5wWkgMKhQvpCMXuXLF7sohzqfT56INwRInRm3xW5U8nxns6W3JUZ2uGuZfVZDTv6fg_4EuVb4mO0VgwFi4T0ls0W7-ybzC_5XHkHfhLWun-SBb2PQnJOqlqjBnM/s1600/final.jpg" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7iEAt1fCO3u7k0uEN5wWkgMKhQvpCMXuXLF7sohzqfT56INwRInRm3xW5U8nxns6W3JUZ2uGuZfVZDTv6fg_4EuVb4mO0VgwFi4T0ls0W7-ybzC_5XHkHfhLWun-SBb2PQnJOqlqjBnM/s1600/final.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><br /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Essa pergunta pode ser comum para muitos estudantes durante sua vida, pelo menos para mim foi. Quando estudamos Geometria Espacial nos deparamos com esses sólidos bem peculiares descobrimos que só existem apenas cinco deles, mas por quê? É isso que iremos descobrir durante essa postagem, boa leitura!</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span></div>
<a name='more'></a><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><b>Definição: </b>Um sólido platônico é um poliedro convexo onde todas as suas faces são polígonos congruentes e de cada vértice partem a mesma quantidade de arestas.</i></span><br />
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Existem APENAS cinco sólidos platônicos, são eles:</span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Tetraedro: </b>4 vértices, 6 arestas, 4 faces</span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifos7aex1CzimL-02XIlzZf6Z9WhZkWgfPekw3_zCKCCZrwdpk0ePbhXa6P00HtO0QCTlYuZK8P7w4OvPMB3iF7K6Yfmcx0rTI5YF4iO3hsmgfKvzX_Y5RCtLY9nLBfe8FioIH-RAv2aE/s1600/120px-Tetrahedron-slowturn.gif" imageanchor="1" style="clear: left; display: inline !important; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifos7aex1CzimL-02XIlzZf6Z9WhZkWgfPekw3_zCKCCZrwdpk0ePbhXa6P00HtO0QCTlYuZK8P7w4OvPMB3iF7K6Yfmcx0rTI5YF4iO3hsmgfKvzX_Y5RCtLY9nLBfe8FioIH-RAv2aE/s1600/120px-Tetrahedron-slowturn.gif" /></a></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;">Hexaedro ou Cubo: </b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">8 vértices, 12 arestas, 6 faces</span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOqYzoEUitAIGWmpmqltL8AVbSD8zVrk_S8DUdRIFT1IspSyTkpGx00MErI5mwCP2aZRnl52uHInnajqdHqlVH1XYEJVcmlG7V8Tjdt4zxIYnBWwAxpuOzxqj9XcwuPzT74MwBYotQ1bs/s1600/120px-Hexahedron-slowturn.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOqYzoEUitAIGWmpmqltL8AVbSD8zVrk_S8DUdRIFT1IspSyTkpGx00MErI5mwCP2aZRnl52uHInnajqdHqlVH1XYEJVcmlG7V8Tjdt4zxIYnBWwAxpuOzxqj9XcwuPzT74MwBYotQ1bs/s1600/120px-Hexahedron-slowturn.gif" /></a><b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></b></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;">Octaedro: </b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">6 vértices, 12 arestas, 8 faces</span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrDGTTU8wd4WBXWGPwZ7Q415Qa9libu4NgkOXr7VKDni8Xxd2yRQCNeARaWmRbOAPzs1GOVG33dpJ40mNwvXCD0xLR9L8wZbLnEHhYHbf3IIN2R3Df9dkiE2SIwGieCoUHGRBRcXtzf_g/s1600/120px-Octahedron-slowturn.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrDGTTU8wd4WBXWGPwZ7Q415Qa9libu4NgkOXr7VKDni8Xxd2yRQCNeARaWmRbOAPzs1GOVG33dpJ40mNwvXCD0xLR9L8wZbLnEHhYHbf3IIN2R3Df9dkiE2SIwGieCoUHGRBRcXtzf_g/s1600/120px-Octahedron-slowturn.gif" /></a></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;">Dodecaedro: </b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">20 vértices, 30 arestas, 12 faces</span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRxiQfH2_EQBuHdJrJNuhj92pfGIheZjT7o3II9H05iFRq4tfdop8iHOSs8xHD_43U4qvqgjOgf_JqQ0Q3Yq26i9w8hJEwwnvGR1RWInETicCD97bLwfxwz4-CG9wL_r1jWDEsTdBqhzA/s1600/120px-Dodecahedron-slowturn.gif" imageanchor="1" style="clear: left; display: inline !important; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRxiQfH2_EQBuHdJrJNuhj92pfGIheZjT7o3II9H05iFRq4tfdop8iHOSs8xHD_43U4qvqgjOgf_JqQ0Q3Yq26i9w8hJEwwnvGR1RWInETicCD97bLwfxwz4-CG9wL_r1jWDEsTdBqhzA/s1600/120px-Dodecahedron-slowturn.gif" /></a></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;">Icosaedro: </b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">12 vértices, 30 arestas, 20 faces</span></div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjKvZdnKn7trReS5PWR-HQ9MI0F6SDeZTFLPkMvpXAbRKlNz4ree2Eqj38u9tYmoQ13WlOIcXw2cef-5KiHWqMRKFpq2gMOIoM2LyspdJ0pfDua1M9sMICbCToXQJ3LmL7yz0M0pvKdGG8/s1600/120px-Icosahedron-slowturn.gif" imageanchor="1" style="clear: left; display: inline !important; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjKvZdnKn7trReS5PWR-HQ9MI0F6SDeZTFLPkMvpXAbRKlNz4ree2Eqj38u9tYmoQ13WlOIcXw2cef-5KiHWqMRKFpq2gMOIoM2LyspdJ0pfDua1M9sMICbCToXQJ3LmL7yz0M0pvKdGG8/s1600/120px-Icosahedron-slowturn.gif" /></a><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Note que o nome de cada sólido deve-se ao número de faces que o mesmo possui, por exemplo <b>Dodecaedro = Dode (12) + edro</b>, podemos notar também que o número de vértices, arestas e faces obedecem a seguinte relação:</span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>$$V-A+F=2\qquad (*)$$</b></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b> </b>Onde, $V$ é o número de vértices, $A$ é o número de arestas e $F$ é o número de faces, essa é a Relação de Euler, a constante 2 depende da forma do espaço topológico.</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Podemos nos perguntar o porquê de existir apenas 5 desses sólidos, provaremos isso no teorema seguinte:</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><i>Teorema: </i></b></span><i style="font-family: Verdana, sans-serif;">Seja $P$ um poliedro convexo. Se todas as suas faces são polígonos congruentes e de cada vértice partem a mesma quantidade de arestas, então $P$ é um dos sólidos a seguir: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro ou Icosaedro.</i></div>
<div style="text-align: left;">
<i style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></i></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><b><u>Prova:</u> </b>Seja $p$ o número de arestas de cada face (equivalentemente, o número de vértices de cada face) e $q$ o número de faces que se encontram em cada vértice (equivalentemente, o número de arestas que se encontram em cada vértice), observe que:</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
</div>
<ul>
<li><span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$pF=2A$</span></li>
</ul>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"> De fato, cada face do poliedro possui $p$ lados, como temos $F$ faces, temos um total de $pF$ lados de faces, como cada lado pertence a exatamente duas faces, então o número de arestas do poliedro é $\dfrac{pF}{2}$, ou seja, $pF=2A$ .</span></div>
<ul>
<li><span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$2A=qV$</span></li>
</ul>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"> Ora, de cada vértice do poliedro partem $q$ arestas(ou faces), assim temos um total de $qV$ arestas partindo de todos os vértices, como cada aresta</span><span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"> liga dois vértices, temos um total de $dfrac{qV}{2}$ arestas, ou seja, $2A=qV$</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">Portanto,</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$$pF=2A=qV\qquad(**)$$</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">Agora, de $(*)$ temos</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$$V-A+F=2$$</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">De $(**)$ temos que</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$$F=\frac{2A}{p}\quad\mbox{e}\quad V=\frac{2A}{q}$$</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">Substituindo esses valores em $(*)$, obtemos:</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{2A}{p}-A+\frac{2A}{q}=2$$</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">Dividindo a igualdade por $2A$ e passando o termo negativo para o outro lado, temos:</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{1}{q}+\frac{1}{p}=\frac{1}{2}+\frac{1}{E}$$</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">Como $E$ é estritamente positivo, temos</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$$\frac{1}{q}+\frac{1}{p}>\frac{1}{2}$$</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">Observe que cada face possui pelo menos 3 lados (triângulo), e de cada vértice partem pelo menos 3 arestas (duas arestas implicaria que o sólido não seria fechado), logo $p,q\geq3$ e os possíveis valores para $(p,q)$ são:</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$$(3,3)\quad(4,3)\quad(3,4)\quad(5,3)\quad(3,5)$$</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">Fica ao cargo do leitor provar na "privacidade do seu lar" (não é difícil, vale a pena tentar!) as seguintes identidade decorrente de (*) e (**):</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$$V=\frac{4p}{4-(p-2)(q-2)}$$</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$$A=\frac{2pq}{4-(p-2)(q-2)}$$</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$$F=\frac{4q}{4-(p-2)(q-2)}$$</span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">Assim, temos as seguintes situações:</span></div>
<div>
<ul>
<li><span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$(3,3)\Rightarrow F=4$, logo temos um <b>tetraedro</b>;</span></li>
<li><span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$(4,3)\Rightarrow F=6$, logo temos um <b>hexaedro ou cubo</b>;</span></li>
<li><span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$(3,4)\Rightarrow F=8$, logo temos um <b>octaedro</b>;</span></li>
<li><span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$(5,3)\Rightarrow F=12$, logo temos um <b>dodecaedro</b>;</span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$(3,5)\Rightarrow F=20$, logo temos um <b>icosaedro</b>. </span></li>
</ul>
<div style="text-align: right;">
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;">$\Box$</span></div>
</div>
<div style="text-align: left;">
<span style="color: #274e13; font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Podemos concluir que a quantidade de sólidos platônicos depende da forma do espaço topológico! </span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Até a próxima!</span></div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com15tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-80653003059831492832013-06-23T00:05:00.000-03:002013-11-23T11:16:57.674-03:00DESAFIO: Quadriláteros e Paralelogramos (Soluções)<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Hoje trago as soluções enviadas para o Giga Matemática através de seus leitores. Não viu o desafio? <a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/2013/06/desafio-quadrilateros-e-paralelogramos.html" target="_blank">Então clica aqui!!!</a></span><span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span><br />
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><u>Solução 1</u></b></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">A primeira solução foi enviada pelo leitor <b>Alexandre Fernandes</b>, parceiro do Giga Matemática, conheça o blog dele o<a href="http://happyhourmatematico.blogspot.com.br/" target="_blank"> Happy Hour Matemático</a>. É uma solução OBJETIVA e RÁPIDA (minhas preferidas).</span></div>
<div>
<a name='more'></a><br /></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Construindo um quadrilátero qualquer a partir de quatro pontos no plano (consideraremos aqui o caso de um quadrilátero convexo, o caso do côncavo é análogo, faça as contas e se convença disso), suponha que tais pontos são $A,B,C$ e $D$. Agora marcando os pontos médios $E,F,G,H$, relativos aos lados $AB,BC,CD,DA$</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">, respectivamente, e unindo esses pontos temos a figura abaixo: </span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxLujHlHe2G8YJ0nkMqTun8aI1D75duHo_XENWtbG9-xwfGkPgWprl9V8om-aj-oBO0z5bsl82B5r_LxR2yqXZnraSzFEbBKOtovrWMi-SdV1ID28-ejrG3yaFqLYq5hMR6w42DnsJjxw/s1600/1.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="387" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxLujHlHe2G8YJ0nkMqTun8aI1D75duHo_XENWtbG9-xwfGkPgWprl9V8om-aj-oBO0z5bsl82B5r_LxR2yqXZnraSzFEbBKOtovrWMi-SdV1ID28-ejrG3yaFqLYq5hMR6w42DnsJjxw/s640/1.png" width="640" /></a></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Agora, para mostrar que o quadrilátero $EFGH$ é um paralelogramo, basta mostrar que seus lados opostos são paralelos, ou seja, $EH//GF$ e $EF//GH$.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Para isso, considere no quadrilátero o triângulo $ABD$.</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEheSANVSrupRAe3NqNYw-RikgJVvGtsjuUPjbimBOKLlu75g5-u2JycR5Qo2s8NiUMmDVyQI1b8-EOq7OFhyphenhypheniJMky4yyaSlQ_vrjdw9UxcfuKhObjVyCTqkWGKRRwm7tyJ7eujPQGp-2RY/s1600/2.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="390" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEheSANVSrupRAe3NqNYw-RikgJVvGtsjuUPjbimBOKLlu75g5-u2JycR5Qo2s8NiUMmDVyQI1b8-EOq7OFhyphenhypheniJMky4yyaSlQ_vrjdw9UxcfuKhObjVyCTqkWGKRRwm7tyJ7eujPQGp-2RY/s640/2.png" width="640" /></a></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Note que os pontos $H$ e $E$ são os pontos médios dos lados $AD$ e $AB$ do triângulo $ABD$, assim, o segmento $EH$ é a base média relativa ao lado $DB$, portanto, </span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$EH//DB\qquad (1)$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Agora, pelo mesmo motivo $GF$ é paralelo ao lado $DB$ no triângulo $BCD$, logo,</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$GF//DB\qquad (2)$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Assim, de $(1)$ e de $(2)$, temos que</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$HE//GF\qquad (3)$$.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Considerando agora o triângulo $ACD$, temos:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgS0TwtL-sAyx95WQNh5VjtKsjyCLHDdWMkxme2HLJYMvUj9zCXnv3wfvuJWobbj2P9Mj3L98NtUNRZhFTJAXMk8gbpmg0WKlimex9rL3lHN72iZ2z1nvHeNESBYsgjLrESqE2tLUXNcV8/s1600/3.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="390" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgS0TwtL-sAyx95WQNh5VjtKsjyCLHDdWMkxme2HLJYMvUj9zCXnv3wfvuJWobbj2P9Mj3L98NtUNRZhFTJAXMk8gbpmg0WKlimex9rL3lHN72iZ2z1nvHeNESBYsgjLrESqE2tLUXNcV8/s640/3.png" width="640" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgS0TwtL-sAyx95WQNh5VjtKsjyCLHDdWMkxme2HLJYMvUj9zCXnv3wfvuJWobbj2P9Mj3L98NtUNRZhFTJAXMk8gbpmg0WKlimex9rL3lHN72iZ2z1nvHeNESBYsgjLrESqE2tLUXNcV8/s1600/3.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><br /></a></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Pelos mesmos argumentos do caso anterior podemos mostrar que $GH//AC$ e $EF//AC$, portanto,</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$GH//EF\qquad (4)$$</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Finalmente, por $(3)$ e $(4)$, podemos concluir que o quadrilátero $EFGH$ é um paralelogramo (note que o fato dos lados opostos serem paralelos implica imediatamente que esses lados opostos são congruentes, ou seja, possuem o mesmo comprimento).</span></div>
<div style="text-align: right;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$\Box$</span></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<b><u><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Solução 2</span></u></b></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">A segunda solução foi enviada pelo leitor <b>David Feitosa</b>. A elegância dessa solução é que ela utiliza ferramentas da Geometria Analítica, bastante interessante!</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Vamos à prova:</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Considere no plano cartesiano quatro pontos $A,B,C,D$ não colineares e não coincidentes, tais que:</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$A(x_A,y_B),B(x_B,y_B),C(x_C,y_C),D(x_D,y_D)$$</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Fazendo com que o quadrilátero seja formado pelos segmentos $AB,BC,CD$ e $DA$, então seus pontos médios serão, respectivamente, $E,F,G$ e $H$, de modo que:</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$E(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})$$</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$F(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2})$$</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$G(\frac{x_C+x_D}{2},\frac{y_C+y_D}{2})$$</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$H(\frac{x_A+x_D}{2},\frac{y_A+y_D}{2})$$</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Segue a figura que representa tal construção abaixo:</span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTe0b0tUOFs85uYwHvyPCTbAjsYX7CrhfPZqe1E5-fW4DHmzz5P0Irl6JISabVDSn2JXXFPaMbv7WXk2_KRfQaLRJEFcizMRRtygbLyyK1iefyX3suf6261MPyrnsd8hUFux-mg9TjsHw/s1600/davi.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="345" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTe0b0tUOFs85uYwHvyPCTbAjsYX7CrhfPZqe1E5-fW4DHmzz5P0Irl6JISabVDSn2JXXFPaMbv7WXk2_KRfQaLRJEFcizMRRtygbLyyK1iefyX3suf6261MPyrnsd8hUFux-mg9TjsHw/s400/davi.jpg" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Direitos: DAVI FEITOSA</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Sejam $r,s,t$ e $u$, as retas que passam por $E$ e $F$,$G$ e $H$,$F$ e $G$ e $E$, e $H$, respectivamente.</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Mostraremos que $r$ e $s$ possuem o mesmo coeficiente angular, bem como $t$ e $u$, assim:</span></div>
<div style="text-align: left;">
<ol>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Coeficiente de $r:m_r=\frac{\Delta y}{\Delta x}$: $$m_r=\frac{\frac{y_A+y_B}{2}-\frac{y_B+y_C}{2}}{\frac{x_A+x_B}{2}-\frac{x_B+x_C}{2}}=\frac{y_A-y_C}{x_A-x_C}$$</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Coeficiente de </span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$s:m_s=\frac{\Delta y}{\Delta x}$:</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$m_s=\frac{\frac{y_A+y_D}{2}-\frac{y_C+y_D}{2}}{\frac{x_A+x_D}{2}-\frac{x_C+x_D}{2}}=\frac{y_A-y_C}{x_A-x_C}$$</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Coeficiente de </span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$t:m_t=\frac{\Delta y}{\Delta x}$:</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$m_t=\frac{\frac{y_B+y_C}{2}-\frac{y_C+y_D}{2}}{\frac{x_B+x_C}{2}-\frac{x_C+x_D}{2}}=\frac{y_B-y_D}{x_B-x_D}$$</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Coeficiente de </span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$u:m_u=\frac{\Delta y}{\Delta x}$:</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$m_u=\frac{\frac{y_A+y_B}{2}-\frac{y_A+y_D}{2}}{\frac{x_A+x_B}{2}-\frac{x_A+x_D}{2}}=\frac{y_B-y_D}{x_B-x_D}$$</span></li>
</ol>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Note que $m_r=m_s$ e $m_t=m_u$, logo $r//s$ e $t//u$.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Como essas retas são retas suporte para os lados $EF,FG,GH$ e $HE$, do quadrilátero $EFGH$, isso implica que </span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$EF//HG\qquad\textrm{e} \qquad EH//FG$$</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Portanto, $EFGH$ é um paralelogramo.</span></div>
<div style="text-align: right;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$\Box$</span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Agradeço a participação do Alexandre e do David, até o próximo desafio Giga Matemática pessoal!</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"> </span></div>
</div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-64368746715707165722013-06-17T17:12:00.000-03:002013-06-17T17:12:50.185-03:00Ténicas Comuns de Demonstrações Matemáticas<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se necessário clique na imagem para ampliar</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigFHT3ctVHyxrCz2I0u2kkOtcr0QPUC7MuPN0GmuYbpEhY2tNMZI51hU_NOQUwAtqBvqIJrQeEwODyteo0bpfOQXNcYYlOIw96t1NySczcvbnEjxGMKW27g97kATorEST7T_u7_Qr1_Sw/s1600/970863_547509141956918_591788489_n.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigFHT3ctVHyxrCz2I0u2kkOtcr0QPUC7MuPN0GmuYbpEhY2tNMZI51hU_NOQUwAtqBvqIJrQeEwODyteo0bpfOQXNcYYlOIw96t1NySczcvbnEjxGMKW27g97kATorEST7T_u7_Qr1_Sw/s640/970863_547509141956918_591788489_n.jpg" width="451" /></a></div>
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se você conhece mais alguma "técnica" deixe nos comentários!!!</span><br />
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span>Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-80658332618884974292013-06-15T14:38:00.000-03:002013-06-15T14:42:18.496-03:00Aprenda mais na Web<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Olá pessoal, hoje venho falar de um site na Internet que possui várias vídeos de aulas (não só de matemática, mas de várias áreas do conhecimento) de algumas universidades "around the world", tais como:</span><span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span><br />
<div>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Berkeley, Califórnia, EUA</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Columbia, Nova Iorque, EUA</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Havard, Cambridge Massachusetts, EUA</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Michigan, Ann Arbor, EUA</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">MIT, Cambridge, Massachusetts, EUA</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">NYU, Nova Iorque, EUA</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Princenton, Nova Iorque, EUA</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Stanford, Califórnia, EUA</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">UCLA, Los Angeles, Califórnia, EUA</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">UNSW, Sydney, Austrália</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Yale, New Haven, Connecticut, EUA</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">TED, Long Beach, Califórnia</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">USP, São Paulo, Brasil</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Unicamp, São Paulo, Brasil</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Oxford, Inglaterra</span></li>
</ul>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">As aulas estão em português, inglês com legendas em português, e (modo hard) aulas com áudio em inglês.</span></div>
</div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Vale a pena conferir e desfrutar do conhecimento!</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Todos os cursos são GRATUITOS e alguns até oferecem um certificado no final (é sério, o certificado é pra valer!).</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Ah, claro, o endereço do site é este:</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><a href="http://veduca.com.br/home/index">http://veduca.com.br/home/index</a></span></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Aproveitem!</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Em tempo, o IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) possui um acervo de aulas, palestras, colóquios e seminários em vídeo, eu particularmente sou um adepto das aulas dessa instituição, confira também, o endereço é:</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: large;"><a href="http://video.impa.br/">http://video.impa.br/</a></span></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Até mais !</span></div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-68785527230052906712013-06-11T11:27:00.000-03:002013-11-23T11:18:42.791-03:00DESAFIO: Quadriláteros e Paralelogramos<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Hoje o Giga Matemática inicia um novo tipo de postagem, a POSTAGEM DESAFIO, aqui o leitor será desafiado à provar algum fato interessante relacionado à matemática, o leitor terá o prazo de uma semana para enviar a resposta, ao final da semana a resposta (ou respostas) serão divulgadas aqui com os devidos créditos.</span><span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span> <span style="font-family: Verdana, sans-serif;">O Desafio de hoje é o seguinte:</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span><br />
<a name='more'></a><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Desenhando um quadrilátero qualquer, pode ser côncavo, convexo, com lados diferentes, apenas é preciso ter quatro lados, alguns exemplos de quadriláteros são exibidos abaixo:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhz2Atca-bXarQ_4yEV38xipUPtY_BOEpqhcXb_0mg5p3VwRUMBcCNDDp0EvCh415fAXybEg2CpivgjvJ__vM4SmkNxCd4OvEbnrzSIYlqYPfx8sbL1eefC1GTi1bm6DboG-mTkIk1d514/s1600/quadrilatero1.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="102" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhz2Atca-bXarQ_4yEV38xipUPtY_BOEpqhcXb_0mg5p3VwRUMBcCNDDp0EvCh415fAXybEg2CpivgjvJ__vM4SmkNxCd4OvEbnrzSIYlqYPfx8sbL1eefC1GTi1bm6DboG-mTkIk1d514/s200/quadrilatero1.png" width="200" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSTF3lS9C8e8J5cmMx3Xcx1kfyACZLwKmi_CFwgHnC9sZYqHhK_Q0znphky2Pf6Qq654hi6Hn_Tp8FMJtZqo0EGkh19BtfNVBr0rCHXFY8-C2wWXSt7f5DiS0IOiqKtqLeft9YkR0J4Wo/s1600/quadrilatero2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="111" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSTF3lS9C8e8J5cmMx3Xcx1kfyACZLwKmi_CFwgHnC9sZYqHhK_Q0znphky2Pf6Qq654hi6Hn_Tp8FMJtZqo0EGkh19BtfNVBr0rCHXFY8-C2wWXSt7f5DiS0IOiqKtqLeft9YkR0J4Wo/s200/quadrilatero2.png" width="200" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1ovbCSJPKlHsV7m-x681bwhfCYWCJinhMnhVVebbcOIJNfcxfBpkgFvypdLYfNIN2YCoXHbbPp9vQveeQDlgT0QF0Nq7aAUrfTCsSbUSiK8_hxqOxyqfUJLfSMrkQ5a4yr_4uMGb9mj0/s1600/quadrilatero4.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" height="127" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1ovbCSJPKlHsV7m-x681bwhfCYWCJinhMnhVVebbcOIJNfcxfBpkgFvypdLYfNIN2YCoXHbbPp9vQveeQDlgT0QF0Nq7aAUrfTCsSbUSiK8_hxqOxyqfUJLfSMrkQ5a4yr_4uMGb9mj0/s200/quadrilatero4.png" width="200" /></a></div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNnbZ2INWI2pHHGPlV5Yj6xtLjeDCmc0yFiAzO6CA2Msr6Oa7WrPthYLMJxSx1DsAikgiuKiq39O3_ylYCsu-mlyFSyiGVk-pqG4rHZ0ACgrb3TuC5y2rsSxvP1erBTXaNZ7W98zka7JI/s1600/quadrilatero3.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="144" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNnbZ2INWI2pHHGPlV5Yj6xtLjeDCmc0yFiAzO6CA2Msr6Oa7WrPthYLMJxSx1DsAikgiuKiq39O3_ylYCsu-mlyFSyiGVk-pqG4rHZ0ACgrb3TuC5y2rsSxvP1erBTXaNZ7W98zka7JI/s200/quadrilatero3.png" width="200" /></a><br />
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span> <br />
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br />
</b></span> <span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br />
</b></span> <span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br />
</b></span> <span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br />
</b></span> <span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br />
</b></span> <span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br />
</b></span> <span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br />
</b></span> <span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br />
</b></span> <span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Um fato interessante é: Se macarmos os pontos médios de cada lado do quadrilátero construido e unirmos esses pontos, teremos um paralelogramo!</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span> <span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Ou seja, você pode construir um quadrilátero bastante irregular, mas a figura formada pela união dos pontos médios de cada lado desse quadrilátero formará um paralelogramo (um paralelogramo possui lados opostos paralelos e, consequentemente, lados opostos congruentes)</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Veja abaixo tal construção para os quadriláteros que desenhamos acima:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7SzQsDfyCh6FWKeHD6o71uAZI8BNzfLP9LetR1LCUpEMUpdCApD8A3T9R7kjpAW6HQMAdpYl1DHo147iIXfH1mkC5BjoqvQC_O06E5IfVEU04LebiJtYwC1EPAno5ZHW47XYmdPOS_wQ/s1600/quadrilatero1A.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="165" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7SzQsDfyCh6FWKeHD6o71uAZI8BNzfLP9LetR1LCUpEMUpdCApD8A3T9R7kjpAW6HQMAdpYl1DHo147iIXfH1mkC5BjoqvQC_O06E5IfVEU04LebiJtYwC1EPAno5ZHW47XYmdPOS_wQ/s320/quadrilatero1A.png" width="320" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEip916CX9SIxF5V4_LPOkUTLHpt3UFdpFwshNVuYiKSjHeLjRuAvGlAohM3Zkc2NXlF7Sr8l7XoHi7NCnMdQC7qxH2YExzTI11RWoJ0skAj95e2YDdndfl8Ep948sbHOOTdmuqHyZbohxo/s1600/quadrilatero4A.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="213" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEip916CX9SIxF5V4_LPOkUTLHpt3UFdpFwshNVuYiKSjHeLjRuAvGlAohM3Zkc2NXlF7Sr8l7XoHi7NCnMdQC7qxH2YExzTI11RWoJ0skAj95e2YDdndfl8Ep948sbHOOTdmuqHyZbohxo/s320/quadrilatero4A.png" width="320" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjd7AC9-O77lBy-EY99XyfvPfxdzdC1lkF_YARn7rx6UZgBIqk3Rvs4Y6RjcDJCm4w7-lc6vRgTxQz1XmlMdTI0CAM0MuV_mL5tYDYvn8Aj_K3z7zkExQnaj1P7ehiT6DldttPa7y4ufO0/s1600/quadrilatero23A.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjd7AC9-O77lBy-EY99XyfvPfxdzdC1lkF_YARn7rx6UZgBIqk3Rvs4Y6RjcDJCm4w7-lc6vRgTxQz1XmlMdTI0CAM0MuV_mL5tYDYvn8Aj_K3z7zkExQnaj1P7ehiT6DldttPa7y4ufO0/s320/quadrilatero23A.png" width="262" /></a></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span> <span style="font-family: Verdana, sans-serif;">O desafio é esse:</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span> <span style="color: red; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><i>Construindo um quadrilátero qualquer, marcando os pontos médios dos lados deste e unindos os pontos encontrados, mostre que a figura resultante é um paralelogramo</i></span><br />
<span style="color: red; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/2013/06/desafio-quadrilateros-e-paralelogramos_23.html" target="_blank">Para a solução clique aqui</a></span><br />
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Enquanto isso você pode testar na prática tal fato no aplicativo abaixo elaborado pelo Giga Matemática (Caso o aplicativo não carregue, basta atualizar a página e aceitar a aplicação java):</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br />
</b></span> <span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><applet archive="geogebra.jar" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.geogebra.org/webstart/4.0/unsigned/" height="471" name="ggbApplet" width="437"><br />
<param name="ggbBase64" value="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" /> <param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" /> <param name="boxborder" value="false" /> <param name="centerimage" value="true" /> <param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" /> <param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_algos.jar, geogebra_export.jar, geogebra_javascript.jar, jlatexmath.jar, jlm_greek.jar, jlm_cyrillic.jar, geogebra_properties.jar" /> <param name="cache_version" value="4.0.22.0, 4.0.22.0, 4.0.22.0, 4.0.22.0, 4.0.22.0, 4.0.22.0, 4.0.22.0, 4.0.22.0, 4.0.22.0, 4.0.22.0, 4.0.22.0" /> <param name="showResetIcon" value="true" /> <param name="showAnimationButton" value="true" /> <param name="enableRightClick" value="false" /> <param name="errorDialogsActive" value="true" /> <param name="enableLabelDrags" value="false" /> <param name="showMenuBar" value="false" /> <param name="showToolBar" value="false" /> <param name="showToolBarHelp" value="false" /> <param name="showAlgebraInput" value="false" /> <param name="useBrowserForJS" value="true" /> <param name="allowRescaling" value="true" />Por favor, verifique se o seu navegador não está bloqueando o acesso a atividade. Para instalar a linguagem JAVA em seu computador, acesse o endereço http://www.java.com/pt_BR
</applet></b>
</span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>
</b></span> <span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Até mais !</span>
<br />
<div style="text-align: center;">
</div>
</div>
<br />Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-24612004280603849982013-05-30T14:33:00.000-03:002013-05-30T14:33:35.144-03:00O Corpo dos Números Complexos - Parte 1 <span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Hoje o Giga Matemática abre espaço para mais uma publicação do Leitor.</span><div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Quem enviou o artigo de hoje foi o leitor <b>João</b>,<b> </b>direto de Portugal.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"> João conta que decidiu escrever esse artigo pois acha a Teoria dos Corpos, Anéis e Grupos em Álgebra Abstrata uma teoria muito interessante do nível do raciocínio e das demonstrações.</span><span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Primeiramente devemos nos perguntar, o que é um <b>corpo</b>?</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Antes de definirmos corpo, iremos definir uma ideia mais básica, a definição de <b>anel</b>.<a name='more'></a></span></div>
<div>
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></b></div>
<div>
<b style="font-family: Verdana, sans-serif;">Definição 1: </b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Um </span><u style="font-family: Verdana, sans-serif;">anel</u><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"> é uma estrutura algébrica $(A,+,*)$ em que $A$ é um conjunto não vazio e $+,*$ são operações binárias em $A$ tais que:</span></div>
<div>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$(A,+)$ é um grupo Abeliano;</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$(A,*)$ é um semigrupo, isto é, $*$ é associativa;</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">A operação $*$ é distributiva em relação a $+$.</span></li>
</ul>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Chamamos a operação $+$ de adição ou soma do anel e a operação $*$ chamamos de produto do anel.</span></div>
</div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Definição 2: </b>Um <u>corpo</u> é uma estrutura algébrica $(A,+,*)$ em que $A$ é um conjunto não vazio e $+,*$ são operações binárias em $A$ tais que:</span></div>
<div>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$(A,+,*)$ é um anel comutativo, isto é, $(A,*)$ é um semigrupo Abeliano;</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$(A,+,*)$ é um anel com identidade (isto é, existe um elemento neutro para $(A,*)$) no qual todo o elemento não nulo tem inverso, ou seja, todo elemento não nulo do anel é unidade.</span></li>
</ul>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Já definido o que é um corpo, vamos agora falar um pouco do corpo dos números complexos, começando por provar que de fato ele é um corpo.</span></div>
</div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Proposição:</b> $(\mathbb{C},+,*)$ é um corpo.</span></div>
<div>
<span style="color: #0b5394; font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Demonstração: </b></span></div>
<div>
<span style="color: #0b5394; font-family: Verdana, sans-serif;">Como já sabemos, $\mathbb{C}$ é um anel. Vamos então verificar que o mesmo é um anel comutativo:</span></div>
<div>
<span style="color: #0b5394; font-family: Verdana, sans-serif;">Sejam $x,y,a,b \in \mathbb{R}$, tais que, $z=x+iy$ e $w=a+ib$, em que $z,w\in\mathbb{C}$. Então,</span></div>
<div>
<span style="color: #0b5394; font-family: Verdana, sans-serif;">$$z*w=(x+iy)*(a+ib)=xa+xbi+yai-by$$</span></div>
<div>
<span style="color: #0b5394; font-family: Verdana, sans-serif;">$$=ax+bxi+ayi-yb=(a+ib)*(x+iy)=w*z$$</span></div>
<div>
<span style="color: #0b5394; font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="color: #0b5394; font-family: Verdana, sans-serif;">A última passagem se justifica pois a multiplicação de números reais é comutativa.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: #0b5394;">Então fica provado que $\mathbb{C}$ é um anel comutativo.</span></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><span style="color: #0b5394;">Sabemos que $(\mathbb{C\backslash \{0\}},*)$ é um grupo, então a segunda hipótese fica automaticamente provada.</span></span></div>
<div>
<span style="color: blue; font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">João termina seu artigo aqui, mas deixa algumas questões que podem ser enviadas para o e-mail dele (ps_still1@hotmail.com):</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<ol>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Por que todo corpo é um domínio de integridade, mas o contrário não se verifica?</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">verifique se $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi;a,b\in\mathbb{Z}\}$ é um domínio de integridade. E um corpo?</span></li>
</ol>
</div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-28366717042950637462013-05-12T13:20:00.000-03:002013-05-12T23:15:04.872-03:00Video da postagem "Qual a distância até a linha do horizonte?"<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Olá pessoal, a postagem hoje é para divulgar o resultado de uma parceria do Giga Matemática com o blog Matemática Rio. No vídeo é apresentado a postagem <a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/2013/03/qual-distancia-da-linha-do-horizonte.html" target="_blank">Qual a distância da linha do horizonte?</a>. Visualizem abaixo:<br />
</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<br />
<center>
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="http://www.youtube.com/embed/nUuOuZG-rbM" width="560"></iframe><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span></center>
<br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Não deixem de visitar o blog <a href="http://matematicario.blogspot.com.br/" target="_blank">matemática rio</a> e visitar o canal <a href="http://www.youtube.com/user/matematicario" target="_blank">matematicario</a></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Até mais !</span>Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-80709442740348430172013-05-03T14:13:00.000-03:002013-05-03T14:13:21.017-03:00As consequências do Teorema do Valor Intermediário<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Olá, hoje iremos tratar de um resultado bastante simples (essa é minha opinião) em análise real, mas que possui bastantes aplicações, tanto em resolução de problemas de matemática quanto na prática.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Esse resultado é o <b>Teorema do Valor Intermediário</b>, iremos enunciá-lo logo abaixo:</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Teorema (</b> </span><b style="font-family: Verdana, sans-serif;">Teorema do Valor Intermediário): </b><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>Seja $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ contínua. Se $f(a)<d<f(b)$ então existe $c\in (a,b)$ tal que $f(c)=d$.</i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><br /></i></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Vamos entender os elementos envolvidos nesse teorema:</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span><br />
<a name='more'></a><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Primeiramente temos uma função contínua, para o leitor que não possui intimidade com a definição de função contínua podemos pensar nela como uma função que, na construção de seu gráfico, pode ser desenhada sem retirar o lápis do papel, assim temos abaixo um exemplo de uma função contínua e uma descontínua:</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjafdlm1-0NR8w5bUdL9O63SRremnTEr0Bn12rNw3_3EW5jeve0xY5umyxyTVhX7L19bLJEQKefdQK9MjM1GIJBnswsartqDZ0uJQoUq3mzl-M9Gekn2dPJdaTR8GrqHmGMGiIkI2FWdM8/s1600/fun+cont.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="288" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjafdlm1-0NR8w5bUdL9O63SRremnTEr0Bn12rNw3_3EW5jeve0xY5umyxyTVhX7L19bLJEQKefdQK9MjM1GIJBnswsartqDZ0uJQoUq3mzl-M9Gekn2dPJdaTR8GrqHmGMGiIkI2FWdM8/s400/fun+cont.jpg" width="400" /></a></span></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyJQDrWWevNBx8GzHGFCLV3KOgUBpocyXEHOOeT83YYZ__5zv7Gw1-x5Zb-GPXsy2zLUDYN_FHyCpk4KxpP44fYY_PkKLnc1VKMwkrswlm8qoZSEyxPo5gNo76sefyJ3ic9q8QXjK6e3U/s1600/func+desc.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="282" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyJQDrWWevNBx8GzHGFCLV3KOgUBpocyXEHOOeT83YYZ__5zv7Gw1-x5Zb-GPXsy2zLUDYN_FHyCpk4KxpP44fYY_PkKLnc1VKMwkrswlm8qoZSEyxPo5gNo76sefyJ3ic9q8QXjK6e3U/s400/func+desc.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Desse modo, o que o Teorema nos diz é que dada uma função contínua definida em um intervalo fechado, então qualquer valor compreendido entre dois pontos da imagem também pertence à imagem dessa função. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Para uma completa demonstração do Teorema o Leitor pode consultar o livro "Um Curso de Análise Vol.1, ELON LAGES LIMA", ou <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_valor_intermedi%C3%A1rio" target="_blank">aqui</a>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
O que nos interessa aqui são as consequências desse belo teorema, em muitos cursos de cálculo os alunos são apresentados a este teorema, porém muitos deles não sabem a utilidade do mesmo em várias áreas, por isso vamos destacar algumas aplicações:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<b>1. Existência de soluções em equações (Teorema de Bolzano)</b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
O Teorema de Bolzano é um caso particular do Teorema do Valor Intermediário quando $d=0$, ou seja, dada uma função $f$ e dois pontos de seu domínio ($a$ e $b$), se $f(a)\cdot f(b)<0$, então existe $c$ no domínio de $f$ tal que $f(c)=0$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Podemos pensar em $f(x)=0$ como uma equação onde $c$ é uma raíz (note que essa não é necessariamente a única raiz). Assim, o Teorema de Bolzano não só nos diz se a equação possui raiz, ele nos diz se no interlado considerado existe alguma raiz.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Por exemplo, mostrar que $cosx=x$ possui uma solução em $[0,1]$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
De fato, a solução da equação acima é uma raiz da função $f(x)=cosx-x$ e $f(0)=1-0=1>0$ e por outro lado $f(1)<0$, pois $2<\pi \Rightarrow 1<\frac{\pi}{2} \Rightarrow cos(1)<0 \Rightarrow cos(1)-1<-1<0$. Logo, $f(0)f(1)<0$, portanto existe $c\in(0,1)$ tal que $f(c)=0$,assim $cos(c)=c$. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="color: blue;"><i><u>Exercício:</u> Mostre que $ln(x)=e^{-x}$ possui uma raiz entre 1 e 2.</i></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="color: blue;"><i><br /></i></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<b>2. Teorema dos pontos antípodas</b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Esse resultado afirma que em qualquer <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo_m%C3%A1ximo" target="_blank">círculo máximo</a><b> </b>em torno da Terra sempre existem pontos antípodas com a mesma temperatura, ou mesma pressão, ou mesma altitude (ou qualquer escala que varie continuamente).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
De fato, seja $f$ uma função contínua definida em um círculo máximo, note que $f(x+2\pi)=f(x),\forall x\in \mathbb{S}^1$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Defina $g(x)=f(x)-f(x+\pi)$. Veja que $g$ é a diferença da função $f$ em dois pontos antípodas. Se $g$ é constante então não temos nada para provar, suponha então que $g$ não é constante, assim, considere um ponto $a$ onde $g(a)>0$. Note que </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$$g(a+\pi)=f(a+\pi)-f(a+2\pi)=f(a+\pi)-f(a)=$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$$-[f(a)-f(a+\pi)]=-g(a)<0$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Logo, existe $c\in(a,a+\pi)$ tal que $g(c)=0$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Portanto, $f(c)=f(c+\pi)$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Assim, se um dia você estiver em um lugar onde esteja muito quente, pode ser que alguém do outro lado do mundo também esteja compartilhando essa mesma experiência com você! </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<b>3. Escalando uma Montanha</b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Suponha que uma pessoa decida iniciar uma subida em uma montanha de altura H ( a altura da montanha é irrelevante para o problema), ele iniciou a subida às 8:00h e alcançou o topo ao meio-dia, ele decidiu então ficar o resto do dia acampando no topo e consequentemente passar a noite naquele local. Na manhã seguinte ele iniciou sua descida novamente às 8:00h e chegou embaixo às 10:00h (a gravidade claramente auxiliou o rapaz). Baseado nesse relato, prove que em algum momento da descida o rapaz estava na mesma altura e na mesma hora do que na subida do dia anterior, não importando a velocidade que o mesmo desenvolveu durante o trajeto.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Ora, a subida de uma pessoa por uma montanha pode ser descrita como uma função que depende do tempo, nesse caso a altura depende do tempo, assim:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3tRbWyGCFKwEQCCHLwo6oRVpY_lHi5GzmyzESfj4D1XGAiOdNSdNVclPI710YLFJZmZkg2AzimT3m_vdHjZDcy6vF1GU1OdJgv776uuLJE6L0N37eyM85U3d3U23Ivo71tdwSI0l8Xms/s1600/graf+subida.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3tRbWyGCFKwEQCCHLwo6oRVpY_lHi5GzmyzESfj4D1XGAiOdNSdNVclPI710YLFJZmZkg2AzimT3m_vdHjZDcy6vF1GU1OdJgv776uuLJE6L0N37eyM85U3d3U23Ivo71tdwSI0l8Xms/s1600/graf+subida.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="color: red;">Note que o gráfico não possui quebras (quebras no gráfico significaria que o rapaz tem a capacidade de se teletransportar, por isso assumiremos aqui que o rapaz não possui tais atributos).</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="color: red;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Analogamente, descrevemos o gráfico da descida:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilDKz9sf8_wPpBn0NbpcNetqRbYg__7VModrUDGbwoLcCg-2E5psmFabwoDxmneXOzaSQEefYwup50HN_Z_OIw6aFGKsfiQk7Tb9ZOR_uILq03Rx3jGmFFhICXL7UNM0iNa0y0r0i63HA/s1600/graf+descida.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilDKz9sf8_wPpBn0NbpcNetqRbYg__7VModrUDGbwoLcCg-2E5psmFabwoDxmneXOzaSQEefYwup50HN_Z_OIw6aFGKsfiQk7Tb9ZOR_uILq03Rx3jGmFFhICXL7UNM0iNa0y0r0i63HA/s1600/graf+descida.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Se desenharmos os gráficos no mesmo eixo o problema claramente possui uma solução, veja:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSgaXvvXCfi-XszByyZqKLcymshk1XT4ibaeQSBg09FSz4vfCb4QxcOV2CXW90pocZN2X26bwQImCn5GlzpotPYRNyu9hf7-XRHqTL2dL7gM1_jum2bGOAMAqWGTw6WIGxe65pDU7poIQ/s1600/interces%C3%A3o.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSgaXvvXCfi-XszByyZqKLcymshk1XT4ibaeQSBg09FSz4vfCb4QxcOV2CXW90pocZN2X26bwQImCn5GlzpotPYRNyu9hf7-XRHqTL2dL7gM1_jum2bGOAMAqWGTw6WIGxe65pDU7poIQ/s1600/interces%C3%A3o.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Resolvendo algebricamente agora:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Seja $s:[8,12]\rightarrow [0,H]$ a função que descreve a subida e $d:[8,12]\rightarrow [0,H]$, onde $d|_{ [10,12] }\equiv 0$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
De modo que $s(8)=d(10)=d(12)=0$ e $s(12)=d(8)=H$, assim, definimos a função $f:[8,12]\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(t)=s(t)-d(t)$, note que $f$ é contínua, assim veja também que:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$f(8)=s(8)-d(8)=0-H<0$ e $f(12)=s(12)-d(12)=H-0>0$, portanto $f(8)\cdot f(12)<0$, logo, existe $c\in [8,12]$ tal que $f(c)=0$, logo $s(c)=d(c)$. Assim, existe um ponto na subida e na descida em que o rapaz passou no mesmo horário do que o dia anterior.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="color: red;">Note que poderíamos melhorar esse resultado e chegar a conclusão de que $c\in [8,10]$, isso fica ao cargo do leitor (I feel like a math book writer!).</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="color: red;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Em breve postarei um outro teorema relacionado a este que possui muitas aplicações (O Teorema do Ponto Fixo em dimensão 1).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Até mais !</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
</span><br />
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span>Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-4644031291496195112013-03-18T15:29:00.000-03:002013-03-18T15:29:43.997-03:00Qual a "distância" da Linha do Horizonte?<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqssd1PVJzoKDuDY8Vg48aNBQyNW6hJT9PzfOBfl6H7rVI2kYOl2EFPoqUvrtxjT1GVIKxwYbryGh9LHJJcJIjaAaO3Z00jIJrDLNjL4lImJcpGH5h5fO9jPwY2SfZOHmr9gm_KTjoKKU/s1600/SAM_2111.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqssd1PVJzoKDuDY8Vg48aNBQyNW6hJT9PzfOBfl6H7rVI2kYOl2EFPoqUvrtxjT1GVIKxwYbryGh9LHJJcJIjaAaO3Z00jIJrDLNjL4lImJcpGH5h5fO9jPwY2SfZOHmr9gm_KTjoKKU/s1600/SAM_2111.JPG" /></a></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Quando eu era criança fui à praia para um dia de lazer, sempre fui muito curioso e sempre queria ter uma explicação para todas as coisas (talvez isso me motivou escolher a Matemática), dessa vez me deparei com a <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Horizonte" target="_blank">Linha do Horizonte</a> e me perguntei:</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>- Qual a distância da beira da praia até a linha do horizonte?</b></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Fiquei bastante intrigado, até perguntei pra algumas pessoas, mas elas não souberam me responder naquele momento, resolvi então deixar para depois, pensei que no futuro talvez soubesse a resposta para essa dúvida. Os anos passaram e no último sábado estava em minha casa navegando na Internet e me deparei com a imagem do início dessa postagem e novamente me veio a pergunta não respondida da minha infância, mas dessa vez sabia que eu mesmo podia chegar ao resultado, e é essa experiência que compartilho hoje com os leitores do Giga Matemática.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span><br />
<a name='more'></a><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Primeiramente, o que é a linha do horizonte? Eis a definição de alguns dicionários:</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i>"1. Lugar em que céu e terra parecem que se unem. </i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i> 2. Linha que se estende até onde alcança o olhar.</i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i> 3. Toda faixa de mar, céu ou terra que pode ser vista por alguém em campo aberto."</i></span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><i><br /></i></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Usaremos aqui a definição 2. Note que pela definição 3, fatores na paisagem alteram a distância da linha do horizonte, tais como elevações, vegetação, construções, etc. Desse modo, nos focaremos em uma situação particular, onde o observador está visualizando o mar.</span><br />
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Vou listar abaixo algumas perguntas que serão respondidas ao final da postagem:</span><br />
<br />
<ol>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>A altura da pessoa altera a distância do horizonte?</b></span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>A elevação em relação ao nível do mar altera essa distância?</b></span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>A curvatura da Terra influencia essa distância?</b></span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Qual seria então a distância da Linha do Horizonte em outros planetas?</b></span></li>
</ol>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1rAGzNyDFU-t-yCLsTm-QwuecJ0Mp90NBylaGcDfD6POhXhWbfpe4FXGZcBgWK04fDDx2ii_7OrcOkCQ3d2OlrJ5el4V0WIAQHB6x2aOavxKDLqWw2dOT4Kbjzm33uTgyPRWhjmnuJCg/s1600/meme+na+terra.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1rAGzNyDFU-t-yCLsTm-QwuecJ0Mp90NBylaGcDfD6POhXhWbfpe4FXGZcBgWK04fDDx2ii_7OrcOkCQ3d2OlrJ5el4V0WIAQHB6x2aOavxKDLqWw2dOT4Kbjzm33uTgyPRWhjmnuJCg/s1600/meme+na+terra.jpg" /></a></div>
<div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvYOkqQ4jr6OM64trCh5yVwlemaL4XVmg_7F0C21LV17jwZS1Z0W7szw7hyphenhyphenlhqm6ZYD2d-ZzK5qqCpwmigivuthiaPtBDkYNdJOKWz2v4EJR2w2oPTDsbAWFz7AT8Lwbyt73x_JeRQ4t0/s1600/olhando.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvYOkqQ4jr6OM64trCh5yVwlemaL4XVmg_7F0C21LV17jwZS1Z0W7szw7hyphenhyphenlhqm6ZYD2d-ZzK5qqCpwmigivuthiaPtBDkYNdJOKWz2v4EJR2w2oPTDsbAWFz7AT8Lwbyt73x_JeRQ4t0/s1600/olhando.png" /></a><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Ora, o Horizonte nada mais é do que um efeito visual gerado pela curvatura da Terra, ou seja, a linha do horizonte depende de "quão curva" a terra é, assim iremos assumir que a Terra é uma Esfera de raio $R$ ($R\approx 6378,1 km$). Se traçarmos um segmento de reta partindo de nossos olhos e tangenciando a superfície da terra então podemos definir a distância $D$ que a linha do horizonte de encontra de nossos olhos, então um dos fatores que irá influenciar no cálculo dessa distância será a altura $h$ que nossos olhos se encontram do chão.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Então três medidas estarão envolvidas:</span></div>
<div>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">O raio da terra $(R)$;</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">A altura do observador $(h)$;</span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;">A distância da Linha do Horizonte $(D)$.</span></li>
</ul>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiadCgQRfrz1E2D4gA4BWag_qCn1_EVb64KIhTx_wVBgc1UHMa9OkXPsK9eXmDoGAeKRGRnaJNfJo2JQ6hkFeWqQYV-u_LTr8t4EYceL-3IvmnBwYV_cDfvfIyKJze9IoqrjyhxQSh6FxQ/s1600/meme+na+terra+com+triangulo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiadCgQRfrz1E2D4gA4BWag_qCn1_EVb64KIhTx_wVBgc1UHMa9OkXPsK9eXmDoGAeKRGRnaJNfJo2JQ6hkFeWqQYV-u_LTr8t4EYceL-3IvmnBwYV_cDfvfIyKJze9IoqrjyhxQSh6FxQ/s1600/meme+na+terra+com+triangulo.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">A figura acima mostra um esquema de como podemos obter essa distância, note que o segmento de reta de comprimento $D$ é perpendicular ao raio da Terra, pois a reta à qual contém esse segmento tangencia um grande círculo da terra. Utilizando um <i>Milenar Teorema da Geometria advindo da Escola Pitagórica, </i>conhecido também por Teorema de Pitágoras (risos), temos a solução para nossos problemas:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$(R+h)^2=R^2+D^2$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$R^2+2hR+h^2=R^2+D^2$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$2hR+h^2=D^2$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$D=\sqrt{h^2+2hR}$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Podemos considerar a distância do horizonte como uma função que depende do valor de $h$, ou seja, a distância depende da altura que o observador se encontra em relação ao nível do mar. A tabela abaixo mostra alguns valores para algumas alturas:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrhkLVCqQJ7R0nUmPTkJOAT6xOQDL9TFfrZ912V_KmNI0kMWVrKrK8EkPBd6pdGoM1Ljo6rIAowO1R1rmz_ed7OImG_3MgRbK_TAgoFmlxPBE28MOECIwke4_lMjsW_w9xnTvi8zbVorE/s1600/tabela.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrhkLVCqQJ7R0nUmPTkJOAT6xOQDL9TFfrZ912V_KmNI0kMWVrKrK8EkPBd6pdGoM1Ljo6rIAowO1R1rmz_ed7OImG_3MgRbK_TAgoFmlxPBE28MOECIwke4_lMjsW_w9xnTvi8zbVorE/s1600/tabela.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">À medida que nos elevamos do nível do mar, a distância da Linha do Horizonte aumenta, ou seja, a Linha do Horizonte da minha infância agora está mais longe! Antes era em torno de 4,37 km, hoje é 4,66 km.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Iremos agora responder as perguntas formuladas começo da postagem:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>1. </b></span><b style="font-family: Verdana, sans-serif;">A altura da pessoa altera a distância do horizonte?</b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Acabamos de ver que sim, pois o cálculo dessa distância depende da altura $h$ que os olhos do observador se encontra do nível do mar.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>2. </b></span><b style="font-family: Verdana, sans-serif;">A elevação em relação ao nível do mar altera essa distância?</b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Sim, nesse caso a fórmula ficaria da seguinte forma:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$D=\sqrt{(h+a)^2+2(h+a)R}$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">onde, $h$ é a altura da pessoa, $a$ é a elevação em relação ao nível do mar e $R$ é o raio da Terra em metros.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Por exemplo, uma pessoa de 1,80 m (em média, os olhos se encontram à 10 cm do topo da cabela, por isso aqui será usado $h=1,70$) que está no alto de uma montanha com 50 m de altura do nível do mar ($a=50$)irá enxergar o horizonte à uma distância de aproximadamente 25,51 km. </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>3.</b> </span><b style="font-family: Verdana, sans-serif;">A curvatura da Terra influencia essa distância?</b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Este é um conceito de Geometria Diferencial, a curvatura gaussiana $K$ de uma esfera depende do raio da esfera considerada, de fato, $K=\frac{1}{R^2}$, assim, em alguns pontos da Terra o horizonte está mais perto ou mais longe, perto da Linha do Equador o horizonte está mais perto do que próximo ao pólos, mas a diferença é muito pequena.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>4. </b></span><b style="font-family: Verdana, sans-serif;">Qual seria então a distância da Linha do Horizonte em outros planetas?</b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Nesse caso a fórmula ficaria da seguinte forma:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$D=\sqrt{(h+a)^2+2(h+a)R_p}$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">onde, $h$ é altura dos olhos do observador ao solo, $a$ é a altitude em relação ao ponto mais baixo do planeta(não considerando crateras) e $R_p$ é o raio do planeta considerado.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Note que essa fórmula é bem geral, a tabela abaixo mostra a distância do horizonte em alguns planetas, na lua e no sol. (Consideraremos uma pessoa de 1,80 m de altura, com os olhos à uma distância de 1,70 m do solo e no ponto mais baixo do planeta).</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrEXAaIeU3jxzIT9Wr3DyhMiWuCeSOLXGPa6ua6x_GCqH0VGG4nIy5XADDbOspsH5okW0nTzbclPZrS_tC3h4vRaZRAULw8JqYx2jRh7UzZaT7F3ntW4_xqz0QIjNpb2Rf3IVKmGV2wj8/s1600/tabela2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrEXAaIeU3jxzIT9Wr3DyhMiWuCeSOLXGPa6ua6x_GCqH0VGG4nIy5XADDbOspsH5okW0nTzbclPZrS_tC3h4vRaZRAULw8JqYx2jRh7UzZaT7F3ntW4_xqz0QIjNpb2Rf3IVKmGV2wj8/s1600/tabela2.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Encerro esta postagem deixando a</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"> célebre frase de Isaac Newton que agora faz todo sentido (risos):</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><i>"Se pude enxergar mais longe, é porque me apoiei nos ombros de gigantes".</i></b></span></div>
</div>
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span>Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com147tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-85961634556520730312013-03-11T23:08:00.001-03:002013-03-11T23:12:47.885-03:00Calendário Permanente<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Na postagem anterior, falamos de um método utilizado para descobrir o dia da semana em que uma data ocorreu, nos comentários o leitor Renan Santos fez uma observação sobre a praticidade do método (<a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/2013/03/como-descobrir-o-dia-da-semana-em-que.html?showComment=1363042399723#c7177052819435336814" target="_blank">Clique aqui para ver o comentário</a>), e de fato, o método anterior é um pouco demorado e exige um pouco de velocidade nos cálculos mentais, como sugestão o mesmo citou o Calendário Permanente, e é sobre isso que iremos falar agora!</span><br />
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Não se sabe quem inventou o calendário permanente, mas tudo leva a crer que a "culpa" foi de um matemático, esse calendário é uma forma matemática de se descobrir onde caiu um dia da semana em qualquer data entre os anos de 1901 e 2092. Veja o mesmo abaixo:</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGf1OU-lbvAUMiUns60v7iP_1I7nyI72Aa8aHfo1_CTCsosEJeKbvQWjISQ1ZIbzAbLk5IUM1k1-zWeaBKzbyExylqbqiaqOgY_TkqZZ6n8-UUdbK1hgBaYxHViDGBEv7STQu8N47CUlY/s1600/calper+1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGf1OU-lbvAUMiUns60v7iP_1I7nyI72Aa8aHfo1_CTCsosEJeKbvQWjISQ1ZIbzAbLk5IUM1k1-zWeaBKzbyExylqbqiaqOgY_TkqZZ6n8-UUdbK1hgBaYxHViDGBEv7STQu8N47CUlY/s1600/calper+1.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fonte: <a href="http://www.quediaehoje.net/" target="_blank">quediaehoje.net</a><br />
<br /></td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhscMa_M-oukva2S0SKece7_W-DxWPQ6PO3q7USW8vmuMJZuV8mvWDb3WfocCOACLErkvCFlR3vvv1qgzBCyI2Zo05fY9t_tQ3uHft_TNluLSIg10lq5blp5fMCnx-sleBBPQk44Xl9Kvo/s1600/calper+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhscMa_M-oukva2S0SKece7_W-DxWPQ6PO3q7USW8vmuMJZuV8mvWDb3WfocCOACLErkvCFlR3vvv1qgzBCyI2Zo05fY9t_tQ3uHft_TNluLSIg10lq5blp5fMCnx-sleBBPQk44Xl9Kvo/s1600/calper+2.jpg" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fonte: <a href="http://www.quediaehoje.net/" target="_blank">quediaehoje.net</a></td></tr>
</tbody></table>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"> </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Mas como utilizá-lo? É mais simples que o método anterior, dada uma data basta seguir os seguintes passos:</span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><u style="font-weight: bold;">Passo 1:</u> Encontrar o ano na Tabela A;</span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><u style="font-weight: bold;">Passo 2:</u> Seguindo na mesma linha à direita localizar o número na Tabela B associado ao mês considerado;</span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><u style="font-weight: bold;">Passo 3:</u> Adicionar ao número encontrado no Passo 2, o dia desejado;</span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><u style="font-weight: bold;">Passo 4:</u> Verificar o resultado na Tabela C.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"></span><br />
<a name='more'></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Como exemplo, vamos recalcular o dia da semana do nascimento do personagem Derpson da postagem anterior (Quer rever o encontro de Derpson com seu amigo? <a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/2013/03/como-descobrir-o-dia-da-semana-em-que.html" target="_blank">Clique Aqui!</a>)</span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">A data era 17 de Julho de 1986.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Pela Tabela A temos 86 na 6ª linha, seguindo para a direita na Tabela B no mês de Julho temos o número 2, somando 2+17 temos 19, verificando na Tabela C temos Quinta-Feira, o mesmo resultado da postagem anterior!</span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">O desafio na postagem anterior era descobrir a "matemática" por trás do método, fica aqui um novo desafio: Descobrir porque o Calendário Permanente funciona, por que ele está organizado dessa forma, e qual o "segredo matemático" presente aqui.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Se quiserem acessar o blog do Renan basta <a href="http://pontodeacumulacao.blogspot.com.br/" target="_blank">clicar aqui!</a></span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Até mais !</span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">P.S. Duas postagens em um só dia, isso é um recorde! </span></div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com25tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-21470336714575814802013-03-11T17:16:00.001-03:002017-08-17T14:20:07.342-03:00Como Descobrir o Dia da Semana em que Você Nasceu<script language="LiveScript">
function mod(x, x_div){
for (var i=x; i>=x_div; i -= x_div);
return i;
}
function checkNum(str, min, max) {
if (str == "") {
alert("Enter a number in the field, please.");
return false;
}
for (var i = 0; i < str.length; i++) {
var ch = str.substring(i, i + 1);
if (ch < "0" || ch > "9") {
alert("Try a number, please.");
return false;
}
}
var val = parseInt(str, 10);
if ((val < min) || (val > max)) {
alert("Try a number from 1 to "+max+".");
return false;
}
return true;
}
function pushbutton(form){
if ((checkNum(form.day.value,1,31)) && (checkNum(form.month.value,1,12)) && (checkNum(form.year.value,0,99))){
var cur_day = parseInt(form.day.value,10);
var cur_month = parseInt(form.month.value,10);
var cur_year = parseInt(form.year.value,10);
var sig_val;
if (cur_month == 1)
sig_val = 0;
else if (cur_month == 2)
sig_val = 3;
else if (cur_month == 3)
sig_val = 3;
else if (cur_month == 4)
sig_val = 6;
else if (cur_month == 5)
sig_val = 1;
else if (cur_month == 6)
sig_val = 4;
else if (cur_month == 7)
sig_val = 6;
else if (cur_month == 8)
sig_val = 2;
else if (cur_month == 9)
sig_val = 5;
else if (cur_month == 10)
sig_val = 0;
else if (cur_month == 11)
sig_val = 3;
else if (cur_month == 12)
sig_val = 5;
var val1 = mod((cur_year + parseInt(cur_year/4) + cur_day + sig_val),7);
//Display the correct file
if (val1 == 0)
alert("Você nasceu em um Domingo!");
else if (val1 == 1)
alert("Você nasceu em uma Segunda-feira!");
else if (val1 == 2)
alert("Você nasceu em uma Terça-feira!");
else if (val1 == 3)
alert("Você nasceu em uma Quarta-feira!");
else if (val1 == 4)
alert("Você nasceu em uma Quinta-feira!");
else if (val1 == 5)
alert("Você nasceu em uma Sexta-feira!");
else if (val1 == 6)
alert("Você nasceu em um Sábado!");
return true;
}
else
return false;
}
</script><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">
</span>
<br />
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">
</span>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJlIsfSiWq0bD34fPFoYf7E4Aw5q2Kbqhr1_EdrATZqR3mWKtBe7YJFJQGpYfp-PiXSNhQODOz4ebkfCLFz6S6lySww1MCRshSa53IK75dH1kNmKvk65j3gc4NraBP8MM2lMcU2SD4OhE/s1600/tirinha+giga+matem%C3%A1tica.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJlIsfSiWq0bD34fPFoYf7E4Aw5q2Kbqhr1_EdrATZqR3mWKtBe7YJFJQGpYfp-PiXSNhQODOz4ebkfCLFz6S6lySww1MCRshSa53IK75dH1kNmKvk65j3gc4NraBP8MM2lMcU2SD4OhE/s1600/tirinha+giga+matem%C3%A1tica.png" /></a></div>
<div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span><span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Parece mágica, mas o que o personagem da tirinha fez é possível e tem uma explicação matemática.</span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Primeiramente dê uma olhada no calendário de 1986:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDjdgUmKp4RpZaoi7wUfUv7CgktFQisS5JutKCC9a4U_lV_O6_Xcxk1b3tIjC3K8TFCIXaycDrBqZBYQNKFu5hMnI7vrBhJVrmY-UULKrvl4K_98ZNWdZ1myz0R11oJPrBScCYQwjckqU/s1600/pcp_orlx_calendario_0009.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDjdgUmKp4RpZaoi7wUfUv7CgktFQisS5JutKCC9a4U_lV_O6_Xcxk1b3tIjC3K8TFCIXaycDrBqZBYQNKFu5hMnI7vrBhJVrmY-UULKrvl4K_98ZNWdZ1myz0R11oJPrBScCYQwjckqU/s1600/pcp_orlx_calendario_0009.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Realmente o personagem acertou! Mas como isso é possível?</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">De fato, existe uma regra para determinarmos o dia da semana de qualquer data entre 01 de Janeiro de 1900 até 2399. Basta seguir os seguintes passos:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><u style="font-weight: bold;">Passo 1:</u> Calcule quantos anos se passaram desde 1900 até o ano em que você nasceu. Chamaremos esse valor de <b>A</b>.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><u style="font-weight: bold;">Passo 2:</u> Calcule quantos 29 de Fevereiro existiram depois de 1900. Para isso, basta dividir por 4 o valor de A, sem considerar o resto da divisão. Chamaremos esse valor de <b>B</b>. Caso seja ano bissexto e a data for anterior ou igual a 29 de Fevereiro, considere então <b> B-1</b>.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><u style="font-weight: bold;">Passo 3:</u> Considerando o mês do nascimento, obtenha o número associado a ele (que chamaremos de <b>C</b>), que está presente na seguinte tabela:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghtQOagGCu85GloI8Rp0zLzFkITeP-yx2Goy_nsK8qTaumh8zsI9fiSs8kzO6SlT4nE_YVuLiIUebNlysNsFNbfRBsh70W4jFLzc_rbRq3frng8iB55suezMDQRqfIlyZFgm2OVgnw-W0/s1600/tabela.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghtQOagGCu85GloI8Rp0zLzFkITeP-yx2Goy_nsK8qTaumh8zsI9fiSs8kzO6SlT4nE_YVuLiIUebNlysNsFNbfRBsh70W4jFLzc_rbRq3frng8iB55suezMDQRqfIlyZFgm2OVgnw-W0/s1600/tabela.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><u style="font-weight: bold;">Passo 4:</u> Considere o dia do nascimento <b>x</b>. Calcule <b>x-1</b>, chamaremos essa quantidade de <b>D</b>.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><u style="font-weight: bold;">Passo 5:</u> Some os quatro valores anotados <b>A,B (ou B-1), C </b>e <b>D</b> então divida o resultado por 7 e tome o resto dessa divisão, após isso confira o dia da semana associado à esse resto:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhR36fTfxsqwU1JvqVN79ahRpz5Hy0XqdpfV3cMmJGhIMvTnMn13m33j3dQGIVxpBznuR7Y027z74lr4kFVmXX6fAdBCRPgwoKDxG-ILwwBYc-LW6or8U66QC7Cba3Xd7gFQQsY1gBfA2U/s1600/tabela2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhR36fTfxsqwU1JvqVN79ahRpz5Hy0XqdpfV3cMmJGhIMvTnMn13m33j3dQGIVxpBznuR7Y027z74lr4kFVmXX6fAdBCRPgwoKDxG-ILwwBYc-LW6or8U66QC7Cba3Xd7gFQQsY1gBfA2U/s1600/tabela2.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"></span></div>
<a name='more'></a><span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Como um exemplo, vamos reproduzir os cálculos do personagem da tirinha.</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Vejamos, a data de nascimento é 17 de Julho de 1986, temos:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">A = 86 (1986-1900)</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">B = 21 ( 86 dividido por 4 é igual à 21 e possui resto 2, e 1986 não foi bissexto)</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">C = 6 (Julho)</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">D = 16 (17-1)</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">A+B+C+D = 129</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">129:7 = 18 e resto 3</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Conferindo na tabela da semana vemos que 3 está associado à Quinta-Feira!</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<form name="What_Day">
<div align="center">
<center>
<br /><br />
</center>
</div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Até mais !</span><br />
<br /></form>
</div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com77tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-66151727869451211382013-02-09T15:57:00.002-03:002013-03-11T23:13:06.517-03:00Intuição x Matemática<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8oTOt0CH0dGEYwbjQPyRZKsGmrynO7OlAFb8hJf1_pjPGTCFnN1H4dOh2hyphenhyphenxhyphenhypheng8DqDiyNQCK6l-ybt6CN7mxxUa_RV8PcZfYBZcXzptvElVafMjmqojpfVKMOaJFlUQ6AqacZWlsIOk/s1600/intui%C3%A7%C3%A3o+x+matem%C3%A1tica.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8oTOt0CH0dGEYwbjQPyRZKsGmrynO7OlAFb8hJf1_pjPGTCFnN1H4dOh2hyphenhyphenxhyphenhypheng8DqDiyNQCK6l-ybt6CN7mxxUa_RV8PcZfYBZcXzptvElVafMjmqojpfVKMOaJFlUQ6AqacZWlsIOk/s1600/intui%C3%A7%C3%A3o+x+matem%C3%A1tica.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Muitas vezes antes de tentarmos resolver um problema de matemática temos um "pré-resultado" formado em nossas mentes, ou seja, um resultado que já era esperado, por exemplo, ao efetuar a multiplicação de dois números com dois dígitos temos a "intuição" de que a resposta será possivelmente um número de três ou quatro dígitos <span style="color: blue;">(de fato, pois se considerarmos dois números de dois dígitos eles terão a forma $(ab)_{10}$ e $(cd)_{10}$, assim, ao efetuarmos a multiplicação teremos o seguinte resultado: $(10a+b)\cdot (10c+d) = 100a+10(ad+bc)+bd$, o resultado possui ao menos três dígitos)</span> , nesse caso a nossa intuição foi uma ferramenta útil, mas existem casos onde não podemos confiar em nossa intuição, apresentaremos duas situações onde você irá se surpreender com a resposta, veja:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><u>Caso 1</u>: Considere um campo de futebol com 100m de comprimento por 50m de largura, um jogador decide amarrar uma corda inelástica em cada extremidade do comprimento desse campo (para isso ele fixa as pontas da corda em cada uma das traves), de modo que a corda fique totalmente esticada e tocando o gramado (note que a corda possui extamente 100m), após esse procedimento o jogador "aumenta" o comprimento em apenas 1m e realiza o mesmo procedimento, como a corda ficou frouxa o jogador decide ir até o centro do gramado e levantar a corda até que a mesma fique novamente esticada. Pergunto, quantos centímetros ( ou metros) o jogador conseguirá levantar a corda acima do gramado até que ela fique totalmente esticada?</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLg1Kj04BM1Gd0-xu4keQ3MvvfJM593kAbnBzAI6x3cbcL1coEWPbz4KKNmWsJiMIc_BC7aLBn9DcVQ843U7FN-LyFLuIiHGczVlUBK2cJ8ex3G-MtXg3QFhi6sUdU6I1MiFZ9qyYQ2II/s1600/campo+de+futebol+com+corda.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="270" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLg1Kj04BM1Gd0-xu4keQ3MvvfJM593kAbnBzAI6x3cbcL1coEWPbz4KKNmWsJiMIc_BC7aLBn9DcVQ843U7FN-LyFLuIiHGczVlUBK2cJ8ex3G-MtXg3QFhi6sUdU6I1MiFZ9qyYQ2II/s400/campo+de+futebol+com+corda.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Se nos deixarmos levar por nossa intuição seremos levados a crer que o jogador conseguirá erguer a corda à alguns centímetros do gramados até que a mesma fique esticada, mas se fizermos os cálculos veremos que o jogador nem sequer conseguirá atingir a tal altura, pois não existem ser humanos com um pouco mais de <b>7 metros! </b>Isso mesmo, a corda pode ser erguida à uma altura de aproximadamente 7 metros e 9 centímetros, se duvida disso, basta utilizar o teorema de pitágoras como abaixo:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXIaMWwTqwtAB6Fp-sxpXCHOIKR7k5gkd5lIg_KRjeULo_UMfPFNe01lkaNZTA7bHPdNYPo_WMp2tg4Mo1CksnlsBo627D8WiJ0irAhyP7hsTz412JRpSjfrMiRdiVX4v4ehabsTtkk_E/s1600/tri.+ret.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="219" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXIaMWwTqwtAB6Fp-sxpXCHOIKR7k5gkd5lIg_KRjeULo_UMfPFNe01lkaNZTA7bHPdNYPo_WMp2tg4Mo1CksnlsBo627D8WiJ0irAhyP7hsTz412JRpSjfrMiRdiVX4v4ehabsTtkk_E/s320/tri.+ret.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Assim, temos:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$50,5^2=h^2+50^2$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$h=\sqrt{50,5^2-50^2}$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$h\approx 7,09 m$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Esse resultado é totalmente contra intuitivo, pois estávamos esperando um resultado bem menor.</span></div>
<a name='more'></a><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><u>Caso 2:</u> Imagine que o mesmo jogador do caso anterior realizou o seguinte procedimento:</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
</div>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Pegou uma bola de futebol e uma corda;</b></span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Deu uma volta no equador da bola (um círculo resultante de um corte seccional que contém o centro da bola) e cortou o que sobrou da corda;</b></span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Calculou a quantidade de corda que seria necessária para "afastar" a corda à uma distância de 1cm de sua superfície, ou seja, todo ponto da corda dista de 1cm da superfície da bola;</b></span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Ele construiu o seguinte desenho:</b></span></li>
</ul>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQVYXQWi9O3YoHY8-0NML9UK9WqOhdULDdz9nEA-h4uXN_BTOZqb5s9NPLQ-HZiBBee9Fe8rgyI6vsFtX7Kj2h4FLscMLeEvoPYLmXIHDj50_RG6MhstxK76wwrhc4-u_stE8dsV0UNbg/s1600/bola+de+futebol+com+corda.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="294" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQVYXQWi9O3YoHY8-0NML9UK9WqOhdULDdz9nEA-h4uXN_BTOZqb5s9NPLQ-HZiBBee9Fe8rgyI6vsFtX7Kj2h4FLscMLeEvoPYLmXIHDj50_RG6MhstxK76wwrhc4-u_stE8dsV0UNbg/s320/bola+de+futebol+com+corda.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Ao realizar os cálculos ele percebeu que bastaria adicionar mais $2\pi$ cm de corda e ele obteria o resultado desejado.</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Agora é a nossa vez, suponha que tivéssemos uma corda suficientemente longa de modo que pudéssemos dar uma volta ao redor do equador da Terra e realizássemos o mesmo procedimento do jogador: afastar a corda da superfície da terra de modo que ela se encontre à uma distância de 1cm de sua superfície. Quantos metros (ou kilômetros) de corda seria necessário adicionar a essa corda de modo que tenhamos a situação desejada? <span style="color: red;">(Lembrete: o raio da terra é de aproximadamente 6.378 km de o equador tem 40.075 km)</span></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOJvRTvp-tUIRjaYV3qPz_6E3wvzNg9T8yx0xDmMJK2T6ugIeC1H9Hhp2UA-S9dOsJijQZk2GRaCSrRXvHJU95BelTb0W0sMpxCq9J2D03kigmk130-XH0YSZG6wmK0FogQec2jM2SrO4/s1600/planeta-terra+com+corda.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="309" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOJvRTvp-tUIRjaYV3qPz_6E3wvzNg9T8yx0xDmMJK2T6ugIeC1H9Hhp2UA-S9dOsJijQZk2GRaCSrRXvHJU95BelTb0W0sMpxCq9J2D03kigmk130-XH0YSZG6wmK0FogQec2jM2SrO4/s320/planeta-terra+com+corda.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Novamente, se deixarmos a nos guiar por nossa intuição seremos levados à acreditar que precisaremos de kilômetros de corda para realizar esse feito, ao realizar os cálculos veremos que precisaremos de <b>$0,00001\cdot 2\pi \ km$ </b>de corda, ou seja, apenas mais <b>$2\pi \ cm$ </b> de corda. Um absurdo? Não acredita? Vamos aos cálculos então:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Seja $R$ o raio da terra e $C$ o comprimento de corda que precisamos para dar uma volta no equador, assim $C=2\pi R$, sabemos que $C=40.075 \ km$. Agora, seja $C'$ o comprimento de corda que satisfaz a condição desejada, assim devemos adicionar $C'-C$ kilômetros de corda. Note que na nova situação o raio da circunferência formada pela corda aumentada é $R+0,00001$ kilômetros, assim, $C'=2\pi (R+0,00001)$. Agora,</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$C'-C=2\pi (R+0,00001)-2\pi R$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$C'-C=2\pi (R+0,00001 -R)$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">$$C'-C=2\pi \cdot 0,00001$$</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Em nossas contas consideramos um raio arbitrário e chegamos ao resultado, ou seja, não importa se fizermos a situação proposta em uma bola, um limão, a Terra, Júpiter ou o Sol, sempre teremos o mesmo resultado. </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxUlOqDbA_xDeXxtP59usce937g4acwWTnHBi0iL2yYDpGutOUxGUPgCd3-FQgpDx1PeBb4WbmqVNJjytpZXT5e9rV5o85c5r-gjwgKMFo8lEcbX-hHaSAiYIghrDg9eLnmzZAu2Nuq_M/s1600/2373292-brain_explode_super.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxUlOqDbA_xDeXxtP59usce937g4acwWTnHBi0iL2yYDpGutOUxGUPgCd3-FQgpDx1PeBb4WbmqVNJjytpZXT5e9rV5o85c5r-gjwgKMFo8lEcbX-hHaSAiYIghrDg9eLnmzZAu2Nuq_M/s1600/2373292-brain_explode_super.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b>Conclusão: MATEMÁTICA $\gg$ INTUIÇÃO.</b></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Observação: O símbolo $\gg$ significa "muito maior que".</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Bem, isso é tudo pessoal!</span></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span>Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-28348141636926687672012-03-22T18:00:00.000-03:002013-03-11T23:13:41.195-03:00Progressões Aritméticas Com Números Primos<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Este artigo foi enviado pelo leitor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) e adaptado por mim. Participe você também enviando seus artigos ou sugestões, basta clicar na aba <a href="http://gigamatematica.blogspot.com.br/p/enviar-arquivo.html">Enviar Arquivo</a></span> <span style="font-family: Verdana,sans-serif;">logo acima. </span><br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="http://scienceblogs.com.br/100nexos/files/2011/08/250pxulamspirale2.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="http://scienceblogs.com.br/100nexos/files/2011/08/250pxulamspirale2.png" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fonte: Science Blogs</td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"> Você já imaginou quantos números primos existem? Pois saiba que eles são infinitos, ou seja, sempre haverá um primo que é maior que um número qualquer dado. Mas a questão é: Como os primos se distribuem sobre a reta? Existe uma "lei" que rege a "aparição" dos primos ao decorrer da reta?</span><br />
<br />
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Para entender um pouco do que trata esta postagem imagine a seguinte situação:</span><br />
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"> </span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9yLuxrl6jA1_cs9B22MuXR6Yhz5wiBfE-Q6zdtVXXl2T6dV80h0iOxkUwdpSxw0CWuDVhiuE50Mb5XK4Nqs5Opg0jdyTvd9Ne3JdKxg1psS6blM0Nfq9LNbiaXB42gM98b-XRUNQVxMQ/s1600/numeros+primos+e+carteiro.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="259" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9yLuxrl6jA1_cs9B22MuXR6Yhz5wiBfE-Q6zdtVXXl2T6dV80h0iOxkUwdpSxw0CWuDVhiuE50Mb5XK4Nqs5Opg0jdyTvd9Ne3JdKxg1psS6blM0Nfq9LNbiaXB42gM98b-XRUNQVxMQ/s400/numeros+primos+e+carteiro.JPG" width="400" /> </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<i><span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Um carteiro está encarregado de entregar as correspondências de algumas casas na <b>Rua dos Inteiros</b>, ele deverá entregar a primeira casa no primo 2, depois no primo 3, depois no primo 5, e assim sucessivamente. </span></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<i><span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Depois de entregar a carta na primeira casa, ele percebe que o próximo destinatário é o vizinho, depois desta casa a próxima é "pulando" um número, o próximo tambem, mas o posterior está à três casas de distâncias, daí em diante o carteiro percebe que os destinatários estão <b>cada vez mais distantes um dos outros</b>, algumas vezes três ou mais destinatártios <b>se encontram à mesma distância. </b>Ele percebe então que o trabalho não será fácil hoje!!!</span></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<i><span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b> </b></span></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Na história, a rua representa o conjunto dos inteiros positivos que contém números primos e não-primos, cada destinatário reprenta um número primo, vale salientar as seguintes propriedades sobre os primos:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b>1) A distância entre dois primos aumenta a medida que prosseguimos na contagem dos números inteiros.</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b>2) Alguns primos se encontram a mesma distância, ou seja, existe uma RAZÃO na sua distância.</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Para saber sobre alguns fatos interessantes sugiro que leia a postagem <a href="http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/06/teoremas-interessantes-sobre-numeros.html" target="_blank">Teorema Interessantes sobre Números Primos</a><b> </b>do Prof. Paulo Sérgio.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Em relação ao apontamento <b>1) </b>indico a leitura do artigo <a href="http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/09/deserto-entre-numeros-primos.html" target="_blank">Deserto Entre Números Primos </a>que está no Blog O Baricentro da Mente e que foi enviado por este mesmo leitor (Prof. Sebá) </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">O artigo se focará no segundo apontamento, um estudo sobre P.A.'s entre os números primos.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b>Observação: </b>Vale ressaltar que uma P.A. é uma sequência formada com pelo menos 3 elementos e que possuem razão constante. </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Primeiramente iremos verificar a EXISTÊNCIA de algumas Progressões entre os primos compreendidos entre 2 e 500.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"></span></div>
<a name='more'></a><span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Algumas possibilidades:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b>a) razão da P.A. sendo um número PAR, terminado em ZERO, menor que 100, NÃO divisível por 3:</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Nessas condições não se encontrou nenhuma P.A. com três termos.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b>b) razão da P.A. sendo um número PAR, NÃO terminado em ZERO, menor que 100, </b></span><span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b>NÃO divisível por 3:</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Nessas condições não se encontrou nenhuma P.A. com três termos.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b>c) razão da P.A. sendo um número PAR, terminado em ZERO, menor que 100, divisível por 3:</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Nessas condições se encontrou as seguintes P.A.'s com três ou mais termos, com razão igual à 30, 60 ou 90:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b>[97, 127, 157 (r = 30)]<br />[37, 67, 97, 127, 157 (r = 30)]<br />[11, 41, 71, 101, 131 (r = 30)]<br />[13, 43, 73, 103 (r = 30)<br />[23, 53, 83, 113 (r = 30)]<br />[29, 59, 89 (r =30)]<br />[41, 71, 101, 131(r =30)]<br />[43, 73, 103 (r = 30)]<br />[53, 83, 113 (r =30)]<br />[71, 101, 131 (r = 30)]<br />[67, 97, 127, 157 (r =30)]<br />[79, 109, 139 (r = 30)]<br />[7, 37, 67, 97, 127, 157 (r = 30)]<br />[43, 103, 163, 223, 283 (r=60)]<br />[11, 71, 131, 191, 251, 311 (r = 60)]<br />[47, 107, 167, 227 (r = 60)]<br />[19, 79, 139, 199 (r = 60)]<br />[17, 107, 197 (r = 90)]<br />[37, 97, 157 (r = 60)]<br />[29, 89, 149 (r = 60)]<br />[23, 83, 113 (r = 60)]<br />[7, 67, 127 (r = 60)]<br />[79, 139, 199 (r = 60)]<br />[53, 113, 173, 233, 293, 353 (r = 60)]<br />[71, 131, 191, 251, 311 (r = 60)]<br />[47, 137, 227, 317 (r = 90)]<br />[59, 149, 239 (r = 90)]<br />[19, 109, 199 (r = 90)]<br />[11, 101, 191, 281 (r = 90)]<br />[83, 173, 263, 353, 443 (r = 90)]<br />[61, 151, 241, 331, 421 (r = 90)]<br />[13, 103, 193, 283, 373, 463 (r = 90)]<br />[89, 179, 269, 359, 449 (r = 90)]</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b>d) </b></span><span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b>razão da P.A. sendo um número PAR, NÃO terminado em ZERO, menor que 100, divisível por 3:</b></span><span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b> </b><b> </b></span><span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b> </b> </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Nessas condições se encontrou as seguintes P.A.'s com três ou mais termos, com razão igual à 6,12,18,24,36,42,48,54,66,72,78,84,96:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b>[5, 11, 17, 23, 29 (r = 6)]<br />[7, 13, 19 (r = 6)]<br />[11, 17, 23, 29 (r = 6)]<br />[17, 23, 29 (r = 6)]<br />[31, 37, 43 (r = 6)]<br />[41, 47, 53, 59 (r = 6)]<br />[67, 73, 79 (r = 6)]<br />[97, 103, 109 (r = 6)]<br />[5, 17, 29, 41, 53 (r = 12)]<br />[47, 53, 59 (r = 6)]<br />[61, 67, 73, 79 (r = 6)]<br />[7, 19, 31, 43 (r = 12)]<br />[17, 29, 41, 53 (r = 12)]<br />[19,31, 43 (r = 12)]<br />[29, 41, 53 (r = 12)]<br />[59, 71, 83 (r = 12)]<br />[67, 79, 91, 103 (r = 12)]<br />[89, 101, 113 (r = 12)]<br />[47, 59, 71, 83 (r = 12)]<br />[5, 23, 41, 59 (r = 18)]<br />[11, 29, 47 (r = 18)]<br />[23, 41, 59 (r = 18)]<br />[43, 61, 79, 97 (r = 18)]<br />[53, 71, 89, 107 (r = 18)]<br />[61, 79, 97 (r = 18)]<br />[71, 89, 107 (r = 18)]<br />[5, 29, 53 (r = 24)]<br />[19, 43, 67 (r = 24)]<br />[23, 47, 71 (r = 24)]<br />[59, 83, 107 (r = 24)]<br /><br />[83, 107, 131 (r = 24)]<br />[79, 103, 127, 151 (r = 24)]<br />[17, 53, 89 (r = 36)]<br />[67, 103, 139 (r = 36)]<br />[19, 61, 103 (r = 42)]<br />[67, 109, 151, 193 (r = 42)]<br />[5, 53, 101, 149, 197 (r = 48)]<br />[31, 79, 127 (r = 48)]<br />[5, 59, 113, 167 (r = 54)]<br />[61, 109, 157 (r = 48)]<br />[83, 137, 191 (r = 54)]<br />[31, 97, 163, 229 (r = 66)]<br />[17, 83, 149 (r = 66)]<br />[29, 101, 173 (r = 72)]<br />[5, 83, 161 (r = 78)]<br />[73, 151, 229, 307 (r = 78)]<br />[13, 97, 181 (r = 84)]<br />[29, 113, 197, 281 (r = 84)]<br />[3, 167, 251 (r = 84)]<br />[5, 101, 197, 293, 389 (r = 96)]<br /><br />[89, 113, 137 (r = 24)]<br />[11, 47, 83 (r = 36)]<br />[31, 67, 103, 139 (r = 36)]<br />[5, 47, 89, 131, 173 (r = 42)]<br />[29, 71, 113 (r = 42)]<br />[89, 131, 173 (r = 42)]<br />[11, 59, 107 (r = 48)]<br />[41, 89, 137 (r = 48)]<br />[19, 73, 127, 181 (r = 54)]<br />[83, 131, 179, 227 (r = 48)]<br />[5, 71, 137 (r = 66)]<br />[41, 107, 173, 239 (r = 66)]<br />[97, 163, 229 (r = 66)]<br />[37, 109, 181 (r = 72)]<br />[11, 89, 167 (r = 78)]<br />[71, 149, 227 (r = 78)]<br />[23, 107, 191 (r = 84)]<br />[43, 127, 211 (r = 84)]<br />[89, 173, 257 (r = 84)]<br />[31, 127, 223 (r = 96)]<br /><br />[13, 37, 61 (r = 24)]<br />[7, 43, 79 (r = 36)]<br />[37, 73, 109 (r = 36)]<br />[17, 59, 101 (r = 42)]<br />[47, 89, 131, 173 (r = 42)]<br />[97, 139, 181, 223 (r = 42)]<br />[13, 61, 109, 157 (r = 48)]<br />[53, 101, 149, 197 (r = 48)]<br />[29, 83, 137, 191 (r = 54)]<br />[43, 97, 151 (r = 54)]<br />[7, 73, 139 (r = 66)]<br />[61, 127, 193 (r = 66)]<br />[7, 79, 151, 223 (r = 72)]<br />[67, 109, 181 (r = 72)]<br />[23, 101, 179, 257 (r = 78)]<br />[5, 89, 173, 257 (r = 84)]<br />[73, 157, 241 (r = 84)]<br />[73, 157, 241 (r = 84)]<br />[41, 137, 233 (r = 96)]<br />[71, 167, 263, 359 (r = 96)] </b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Combinando as P.A.’s com os números pares divisíveis por 3, e razão menor que 100, não terminada em zero, com as P.A.’s com os números pares divisíveis por 3, e razão menor que 100, terminada em zero, as razões formam uma P.A. de razão 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,<br />54, 60, 66, 72, 78, 84 e 96.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b>Algumas Curiosidades sobre P.A. e números primos:</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana,sans-serif;">O que tem de curioso nas P.A.’s de razão, 30, 60 e 90? É que o último algarismo de cada termo, de cada PA, é sempre igual.</span></li>
</ul>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><br /></span></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Testando todos os primos entre 100 e 2100 com a razão igual a 210 (número par terminado em zero e divisível por 3), encontrou-se a seguinte P.A. com primos: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 2089. O que tem de curioso nessa P.A.? É que o último algarismo de cada termo da P.A. é igual a 9.</span></li>
</ul>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><br /></span></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Atualmente, a maior P.A. de primos que se conhece é formada pelos 22 termos 11410337850553 + 4609098694200k, com 0 ≤ k ≤ 21, e foi encontrada por Pritchard et al em 1993. Determinando a razão da P.A., encontrou-se: r = 4609098694200 (termina em zero, r é divisível<br />por 3 e cada termo da PA termina em 3).</span></li>
</ul>
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">M. Toplic, um dos membros de um projeto conjunto realizado com o auxílio da internet,<br />encontrou em 15/01/1998 o primeiro exemplo de 10 números primos consecutivos (não existe<br />primo entre os termos da PA) em PA, que são os primos p + 210k com 0 ≤ k ≤ 9, onde</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmaanypsTu_o0ziDv_gFfnBDQBV4GPRjVDrF0DC2yx0fC9GIGY2T65h0v3edUhZ8nQEAwuZ0XGQ3OLLFgVkdzBtc0IcLWWVGWRrQuL5BePIujmKUV1eTbUfHgu04o06XgkWkBObtFbanA/s1600/nn.bmp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmaanypsTu_o0ziDv_gFfnBDQBV4GPRjVDrF0DC2yx0fC9GIGY2T65h0v3edUhZ8nQEAwuZ0XGQ3OLLFgVkdzBtc0IcLWWVGWRrQuL5BePIujmKUV1eTbUfHgu04o06XgkWkBObtFbanA/s1600/nn.bmp" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;">Como p + 210k são os termos da PA, logo, r = 210 (termina em zero, r é divisível por 3 e cada
termo da PA termina em 9).<br />
<br />
Por outro lado, em 23/4/1999, um grupo de 6 pesquisadores achou 10 primos palíndromos (i.e.,
cuja representação decimal é simétrica) consecutivos (dentre os primos palíndromos) em PA,
que são:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"> </span><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBdowKUAq_6KvW1WjVP3qGDbF4ir_QKsf2Olwk991OwkIQ7iVh4OrLZhCVRSFDYrECwz5jSzS5dQSB5ZIgcwQoYBq9sQVknUGsQFqflesVFq6_lpxKEgDOlZRwBLDWSRx3f_Fc7vYLjXA/s1600/ppp.bmp" /></div>
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><br />onde: p=742950290870000078092059247.<br /><br />Determinando a razão da PA, encontra-se: r = 1010100000000000 (termina em zero, r é divisível por 3 e cada termo da PA termina em 7). </span><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"> <b>De acordo com os resultados obtidos acima, elaborou-se as seguintes conjecturas:</b></span><br />
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b>Conjectura (Sebá 1).</b> Há uma infinidade de progressões aritméticas formadas por 3 primos.<br /><br /><b>Conjectura (Sebá 2).</b> Se numa progressão aritmética formada por primos, a razão for divisível por 3 e, além disso, o último algarismo da razão for zero, então, o último algarismo de cada termo da progressão aritmética é igual.<br /><br /><b>Conjectura (Sebá 3).</b> Qualquer progressão aritmética por mais longa que seja, formada por primos, a mais longa será aquela cuja razão é divisível por 3 e o último algarismo da razão é zero.<br /><br />*O autor é professor titular (por concurso) aposentado da UFCG-PB</span><br />
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><br /></span>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b> </b>Até mais, e não deixem de comentar!!!</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b> </b> </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif;"><b> </b></span></div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-86307007768802731722012-03-12T12:17:00.001-03:002013-03-11T23:14:04.704-03:00De Volta as Atividades!!!<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEij-Cmaq-Rcd-VIZee4XfnW_Y6cfZ7JT7AGPRLlV70QF1Z_GHACoQBAa8uyvZ_XvpJ5dKV5Tdp2yCCLRB_mjkKTcIM-k9vS1Hzuy8St5XbJBWiaFstrGXYfrVjQTrU1AfndSeaeA74qPu4/s1600/explain.PNG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEij-Cmaq-Rcd-VIZee4XfnW_Y6cfZ7JT7AGPRLlV70QF1Z_GHACoQBAa8uyvZ_XvpJ5dKV5Tdp2yCCLRB_mjkKTcIM-k9vS1Hzuy8St5XbJBWiaFstrGXYfrVjQTrU1AfndSeaeA74qPu4/s1600/explain.PNG" /></a></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Olá Caros leitores do Giga Matemática, como vocês devem ter percebido, o autor deste blog tomou um "chá de sumiço", muitos leitores me enviaram várias mensagens e alguns que me conhecem pessoalmente me perguntavam o que havia acontecido, agora eu vou explicar o que aconteceu comigo. </span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span><br />
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Bem, eu irei concluir minha graduação em 2012.1 e por isso no final de 2011 decidi participar da Escola de Verão da Pós-Graduação em Matemática da UFC, a Escola de Verão seleciona os ingressantes para o mestrado, o estudo durante a escola de verão me forçou a tornar o livro "Um curso de Análise vol.1" do autor Elon Lages Lima me companheiro inseparável, onde quer que eu fosse a análise estava comigo, isso durou dois meses e ao final das aulas da escola de verão ocorreu o exame de admissão no dia 27/02/2012, nesse dia faltou energia e isso adiou por alguns instantes o início da prova, mas após 40 minutos de espera a prova foi aplicada, depois de 3 horas sentado realizando a prova mostrei tudo que havia absorvido durante minha vida acadêmica e durante as aulas da escola de verão. Após três dias o resultado saiu e fiquei na expectativa, pois ali haviam muitos candidatos bons, mas para minha alegria eu fui aprovado e em 2º lugar geral!!!</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Segue o link com a página do resultado: <a href="http://www.mat.ufc.br/PGMAT/docspgmat/SELECIONADOS_MESTRADO_2012.pdf">Resultado da Seleção do Mestrado da UFC</a> </span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Eu irei ingressar em Agosto deste ano, agora uma nova etapa se inicia na vida vida deste jovem matemático.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Daqui a 2 anos espero publicar outra postagem, desta vez anunciando o ingresso no Doutorado.</span></div>
<div>
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
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<span style="font-family: Verdana, sans-serif;">Agora.............. DE VOLTA AO GIGA MATEMÁTICA !!! </span></div>
Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com10tag:blogger.com,1999:blog-4164455657725352545.post-83084881570881243252011-11-29T11:44:00.001-03:002011-11-30T11:23:15.246-03:00Novidade no Giga Matemática<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Tem novidade no Giga Matemática, agradeço ao Kléber do blog O Baricentro da Mente pelas dicas.</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"></span><br />
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<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">O Giga Matemática possui uma uma página especifica onde você poderá clicar e acessar rapidamente tudo o que já foi publicado aqui, basta clicar abaixo do Banner do blog em "Arquivo GM"</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3jofTJCqjGmjRp8P9hN6wZADbyvMNegEQGEVC9azeWlwaKaVbPcNkPOSw-wawFMMTNJhgsbDz7a1SQRNvWUWntVFnj4MivyBAJ_kW01_nihRAiXJtTPOR2Lp7MfONHNU1YCuwCVneQQM/s1600/menu.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3jofTJCqjGmjRp8P9hN6wZADbyvMNegEQGEVC9azeWlwaKaVbPcNkPOSw-wawFMMTNJhgsbDz7a1SQRNvWUWntVFnj4MivyBAJ_kW01_nihRAiXJtTPOR2Lp7MfONHNU1YCuwCVneQQM/s1600/menu.PNG" /></a></div>
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<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Ali você encontra a lista de todas as postagens por ordem de publicação!</span></div>
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<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://gigamatematica.blogspot.com/p/aqui-voce-encontra-todas-as-postagens.html">Clique Aqui para ser direcionado agora!</a></span></div>
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<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Outra novidade é em relação à formatação das equações do blog. Logo no início o Giga Matemática utilizava um plugin do Mozilla, o greasy monkey, com o tempo percebi alguns problemas:</span></div>
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<li><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">A formatação não é muito fiel à formatação do $\LaTeX$;</span></li>
<li><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Os comentários não poderiam ser feitos utilizando o plugin;</span></li>
<li><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Alguns usuários não visualizavam as fórmulas devido ao navegador utilizado;</span></li>
<li><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">O autor deste blog ficava preso à somente utilizar o Mozilla para publicar as postagens.</span></li>
</ul>
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<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Mas agora isso tudo acabou, o blog passa a utilizar uma scrit incorporado ao html do blog, trata-se do Mathjax. Agora, os leitores poderão escrever fórmulas nos comentários, para isso basta seguir os seguintes passos:</span></div>
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<li><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Escreva sua fórmula no formato $\LaTeX$ entre os símbolos \$ FÓRMULA \$;</span></li>
<li><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Por exemplo, se você quiser escrever a fórmula $e^{i\pi}+1=0$, basta escrever o seguinte texto: \$ e^{i\pi}+1=0\$.</span></li>
</ol>
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<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Veja aqui a primeira publicação do Giga Matemática utilizando este recurso:</span></div>
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<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;"><a href="http://gigamatematica.blogspot.com/2011/11/teorema-da-bola-cabeluda.html">O Teorema da Bola Cabeluda</a></span></div>
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<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Com isso os leitores poderão comentar utilizando fórmulas, visualizar o blog em qualquer navegador, até mesmo no celular e irá usufruir de uma bonita formatação!!!</span></div>
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<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">O Giga Matemática se constrói com sua sugestão e seus comentários, não deixe de enviar sua sugestão, basta clicar na Aba <a href="http://gigamatematica.blogspot.com/p/contato-2.html">Contato</a> abaixo do Banner.</span></div>
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<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, sans-serif;">Até mais !</span></div>Diego Sousahttp://www.blogger.com/profile/05114651450767587464noreply@blogger.com6