Neste post inaugural iremos tratar de um assunto muito importante em matemática: Grupos. Para alguns um assunto sem muitas aplicações, porém iremos ver mais adiante em postagens futuras que a Teoria dos Grupos pode se tornar uma ferramenta muita com aplicações em Física e Química, e uma importante contribuição para solucionar o cubo de Rubik, iremos ver algo sobre isso futuramente.
Mas, o que é um grupo?
Iremos responder essa pergunta mais adiante:
Um grupo é um conjunto
com a operação binária
possuindo as seguintes propriedades:
- A operação
é fechada, ou seja, se
então
;
- A operação
é associativa, ou seja, se
então
;
- Existe o elemento identidade
, ou seja, para todo
, temos
;
- Todo elemento tem inverso, ou seja, se
então existe
tal que
.
O conjunto dos inteiros
Os conjuntos dos racionais
O conjunto dos naturais
Os grupos acima são infinitos e comutativos, ou seja dados
Em geral os grupos não são comutativos.
Notação:
Proposição 1: O elemento identidade é único.
Demonstração: De fato, se
Mas também
Logo,
Portanto, o elemento identidade é único
Proposição 2: O elemento inverso é único.
Demonstração: Semelhantemente à demonstração anterior, se
Porém,
Assim, cada elemento do grupo possui um único inverso.
Observação 1: De acordo com a proposição acima, em um grupo
Observação 2: De um modo mais abrangente, dados quaisquer
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\lim_{x\to\infty}f(x)=0
basta digitar a seguinte fórmula:
\$ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 \$
(Um exemplo mais simples: x^2=a é escrito como $ x^2=a $).
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