A questão pertence ao exame de admissão no programa de pós-graduação em matemática aplicada (2011). Vamos ao enunciado:
Sejam f:[a,b]\to\mathbb{R} uma função contínua, x_1,\ldots,x_n pontos distintos de [a,b], e números reais de mesmo sinal w_1,\ldots,w_n. Mostre que existe pelo menos um ponto c\in[a,b] tal que
\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i=f(c)\sum_{i=1}^nw_i
Solução: Suponha sem perda de generalidade que w_i>0 para todo 1\leq i\leq n, (a demonstração é análoga para o outro caso). Note inicialmente que [a,b] é compacto, assim, visto que f é contínua, f atinge seu valor de máximo e mínimo no domínio, logo, exitem c_1,c_2 tais que f(c_1)=m,f(c_2)=M e
m\leq f(x)\leq M,\quad\forall x\in [a,b]\qquad (1)
Defina F:[a,b]\to\mathbb{R} por
F(x)=\sum_{i=1}^n[f(x)-f(x_i)]w_i
F é claramente contínua, pois f é contínua. Observe que
F(c_1)=\sum_{i=1}^n[m-f(x_i)]w_i\leq0,
pois de (1) temos m\leq f(x)\Rightarrow m-f(x)\leq0,\forall x \in[a,b] e por hipótese w_i>0.
Analogamente,
F(c_2)=\sum_{i=1}^n[M-f(x_i)]w_i\geq0,
pois de (1) temos M\geq f(x)\Rightarrow M-f(x)\geq0,\forall x \in[a,b] e por hipótese w_i>0.
Temos agora três casos a considerar:
Caso 1: F(c_1)=0, se ocorrer esse caso, então acabamos a questão, pois
F(c_1)=0
\sum_{i=1}^n[f(c_1)-f(x_i)]w_i=0
\sum_{i=1}^nf(c_1)w_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i
f(c_1)\sum_{i=1}^nw_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i
Caso 2: F(c_2)=0, concluímos como no caso anterior que c_2 satisfaz a igualdade desejada.
Caso 3: F(c_1),F(c_2)\neq0, assim só podemos ter F(c_1)<0 e F(c_2)>0. Como F é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c\in[a,b] tal que F(c)=0, nesse caso:
F(c)=0
\sum_{i=1}^n[f(c)-f(x_i)]w_i=0
\sum_{i=1}^nf(c)w_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i
f(c)\sum_{i=1}^nw_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i
Portanto, existe pelo menos um ponto c\in[a,b] tal que
\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i=f(c)\sum_{i=1}^nw_i
É isso, dúvidas em relação à solução poderão ser postadas nos comentários.
Até mais !
Bem interessante...
ResponderExcluirNão pude deixar de notar a semelhança desse resultado com o teorema da média ponderada para integrais:
Se f e g são contínuas em [a,b] e g nunca muda de sinal no intervalo, então \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = f(c)\int_{a}^{b}g(x)dx, c \in [a,b]
Fica a pergunta: será que o resultado obtido pode ser usado para demonstrar o teorema?
A demonstração que eu conheço utiliza o fato de que m \leq f(x) \leq M, pois f é contínua no intervalo fechado [a,b]. Então:
mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x)
m \int_{a}^{b}g(x)dx \leq \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx \leq M \int_{a}^{b}g(x)dx
Supondo g(x)>0 \forall x \in [a,b], temos \int_{a}^{b}g(x)dx \geq 0 e, dividindo pela integral:
m \leq \frac {\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx}{\int_{a}^{b}g(x)dx} \leq M
O resultado segue pelo teorema do valor intermediário. Se g \equiv 0 o resultado vale para todo c e se g for negativa o resultado é análogo para -g.
Bela observação caro leitor!
ExcluirIsso mesmo, podemos utilizar a mesma idéia da postagem para resolver sua questão, supondo g positiva (o caso nulo é trivial e o caso negativa é análogo), basta considerar a função
F(y)=\int_a^b(f(y)-f(x))g(x)\,dx.
Tal função é contínua e pelas mesmas idéias contidas na postagem podemos verificar que a mesma troca de sinal.
Fazendo um estudo de casos semelhante ao da postagem podemos verificar que de fato existe c\in[a,b] tal que
\int_a^bf(x)g(x)\,dx=f(c)\int_a^bg(x)\,dx.
Obrigado pela visita e sugestão!
Volte sempre!