quinta-feira, 23 de junho de 2011

Introdução aos números Algébricos e Transcendentes




Mostramos em uma postagem anterior que o número [;e;] é irracional, mas existe um fato interessante quanto a esse número:



Dado [;n\in \mathbb{N};] temos que [;e^n;] continua sendo irracional. 

Mas por que isso ocorre? Teremos de mostrar isso para cada [;n\in\mathbb{N};]?

O número [;e;], assim como outros números que apresentaremos aqui são o que denominamos transcendentes. Um número é transcendente quando não é algébrico. Assim, temos a definição a seguir:

Definição: Um número real [;a;] é dito algébrico se é solução de alguma equação polinomial do tipo:

[;a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0;] ,

sendo que os coeficientes [;a_0,a_1,...,a_n;] são todos  inteiros e [;a_0\neq 0;]. Dizemos que um número [;a;] é trancendente quando não for algébrico.

Exemplos:  
  1. [;1;] é algébrico, pois é solução da equação [;x-1=0;];
  2.  [;\sqrt{2};] é algébrico, pois o mesmo é solução da equação polinomial [;x^2-2=0;]. Note aqui que um número algébrico pode ser irracional;
  3. [;i=\sqrt{-1};] e [;-i;] são algébricos, pois são raízes de [;x^2+1=0;].Observe que a definição de números algébricos, e consequentemente transcendentais, se estende para os complexos.
  4.   Os números [;\pi;] e [;e;] são trancendentais;
  5. O Teorema de Gelfond-Schneider garante que [;2^{sqrt{2}};] e [;e^{\pi};]são trancendentais;
  6. O Teorema de Lindermann-Weiertrass diz que [;e^{\sqrt{2}};], [;sen 1;] e [;ln 2;] são transcendentais;
  7. O número de Champernowne [;0,123456789101112...;] é transcendental.
 Esses são só alguns exemplos pois Cantor mostrou que a maioria dos números são transcendentes, ele mostrou que o conjunto dos números transcendentes é não-enumerável.

Recentemente recebi uma pergunta de um leitor do blog:
"[Sandro Lima]: (...) demonstrar que "o número de euler "[;e;]" elevado ao quadrado é irracional" e generalizar que "[;e;] elevado a [;r;], [;r;] um número natural, será sempre irracional"."

  Para responder a pergunta acima enuciaremos o seguinte teorema:

Teorema: Se [;\alpha;] é um número transcedente, então para todo [;r\in\mathbb{N};],[;n\neq 0;] temos que [;\alpha^r;] é transcendente.

Demonstração: Tomemos um número [;\alpha;] transcendente, temos que [;\alpha;] não é algébrico, ou seja, não existe um polinômio de coeficientes inteiros [;P(x);] tal que [;P(\alpha)=0;],

[;a_n \alpha^n+a_{n-1} \alpha^{n-1}+\cdots+ a_r\alpha^r+\cdots+a_1\alpha+a_0\neq 0, \forall n\in \mathbb{N}, a_0\neq 0;]

Desse modo, basta fixarmos [;r\in\mathbb{N};]   , note que se [;k\in\mathbb{N};] então [;rk\in\mathbb{N};] , assim tomamos a seguinte equação:

[;a_{nr}\alpha^{nr}+a_{(n-1)r}\alpha^{(n-1)r}+\cdots+a_r\alpha^r+a_0\neq 0;] 

A equação acima continua válida, pois [;\alpha;] é transcendente.
Temos que,

[;a_{nr}(\alpha^r)^n+a_{(n-1)r}(\alpha^r)^{n-1}+\cdots+a_r(\alpha^r)+a_0\neq 0;],[;\forall n\in\mathbb{N};]
Desse modo, [;\alpha^r;] é transcendente, pois a equação polinomial acima é diferente de zero para qualquer [;n;] natural, isso decorre do fato que [;\alpha;] é transcendente.

Portanto, se [;\alpha;] é transcendente, então [;\alpha^r;] também é transcendente para todo [;r\in\mathbb{N};].
Corolário: [;e^2;] é transcendente. De modo geral, [;e^r;] é transcendente para todo [;r;] natural.
Demonstração: Ora, [;e;] é transcendente, logo pelo Teorema anterior basta tomarmos [;r=2;], assim [;e^2;] é transcendente. Note que o caso para [;r;]  natural se segue.
Tubo bem até aqui, mas o que o fato de um número ser transcendente tem haver com o fato dele ser irracional? TEM TUDO HAVER!!! Atente para a seguinte afirmação:

Afirmação: Se [;\alpha;] é transcendente, então [;\alpha;] é irracional.
Prova: Tome [;\alpha;] um número transcendente. Suponha que ele seja racional, ou seja, existem [;a,b\in\mathbb{Z},b\neq 0;] de modo que [;\alpha=\frac{a}{b};], assim [;\alpha;] é algébrico (Basta tomar a equação [;bx-a=0;]),contradição, pois [;\alpha;] é transcendental.
Portanto, [;\alpha;] é  irracional.
Agora você pode perguntar: "Diego, dessa forma todo irracional é transcendente?" A resposta é NÃO, pois o número [;\sqrt{2};] é irracional, já mostramos esse fato, porém o mesmo é algébrico (Basta tomar a equação [;x^2-2=0;]). De posse dessas informações podemos responder a pergunta de nosso leitor.
Problema: Mostre que [;e^2;] é irracional. Generalize o caso para [;r;] natural e mostre que [;e^r;] é irracional.
Solução: Pelo Corolário vimos que [;e^2;] é transcendente, assim pela Afirmação temos que [;e^2;] é irracional.
De modo geral, [;e^r;] é transcendente para um [;r;] natural, consequentemente, [;e^r;] é irracional para todo [;r;] natural.
Agradeço a todos que colaboram para fazer deste blog uma ferramenta muito útil para seu aprendizado. Até mais !
(Problema enviado pelo leitor Sandro Lima.)
  
  




   
Postado por Diego Sousa às 13:49
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6 comentários:

  1. Sandro Lima23 de junho de 2011 às 14:42

    Muito grato por sua demosntração! Muito bem formulado, explicitado e argumentado. Parabéns mais uma vez pelo blog e pela rapidez em resolver e postar as soluções e demosntrações.

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  2. Diego Sousa23 de junho de 2011 às 14:46

    Obrigado pela visita e volte sempre!

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  3. Anônimo12 de julho de 2012 às 19:27

    Ótimo blog, continue que você só tem a crescer.Queria apenas
    corrigir um erro, que claro, ocorreu na hora de digitar, depois dos exemplos de números trancendentes está escrito que o conjunto deles é enumerável.

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  4. Anônimo26 de junho de 2014 às 02:08

    nao ficou nada claro a diferença entre numeros irracionais e Transcendentais

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    Respostas
    1. Diego Sousa26 de junho de 2014 às 18:14

      O que especificamente você não entendeu? Ficarei grato em lhe explicar suas dificuldades caso esteja interessado.

      Até mais!

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  5. Unknown9 de abril de 2017 às 23:48

    Explicarm até bem o que são numeros algébricos e não explicaram em quase nada o que são números transcendentes
    seno de 20 graus ou logarímo decimal de 5 são numeros transcendentais?

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Você pode inserir suas fórmulas e equações no formato $\LaTeX$ nos comentários, basta escrevê-lo entre os símbolos $ \$ \ldots \$ $. Por exemplo, se você deseja escrever a seguinte fórmula:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

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