Giga Matemática: Introdução aos números Algébricos e Transcendentes

quinta-feira, 23 de junho de 2011

Introdução aos números Algébricos e Transcendentes

Mostramos em uma postagem anterior que o número $[;e;]$ é irracional, mas existe um fato interessante quanto a esse número:

Dado $[;n\in \mathbb{N};]$ temos que $[;e^n;]$ continua sendo irracional.

Mas por que isso ocorre? Teremos de mostrar isso para cada $[;n\in\mathbb{N};]$ ?

O número $[;e;]$ , assim como outros números que apresentaremos aqui são o que denominamos transcendentes. Um número é transcendente quando não é algébrico. Assim, temos a definição a seguir:

Definição: Um número real $[;a;]$ é dito algébrico se é solução de alguma equação polinomial do tipo:

$[;a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0;]$ ,

sendo que os coeficientes $[;a_0,a_1,...,a_n;]$ são todos inteiros e $[;a_0\neq 0;]$ . Dizemos que um número $[;a;]$ é trancendente quando não for algébrico.

Exemplos:

$[;1;]$ é algébrico, pois é solução da equação $[;x-1=0;]$ ;
$[;\sqrt{2};]$ é algébrico, pois o mesmo é solução da equação polinomial $[;x^2-2=0;]$ . Note aqui que um número algébrico pode ser irracional;
$[;i=\sqrt{-1};]$ e $[;-i;]$ são algébricos, pois são raízes de $[;x^2+1=0;]$ .Observe que a definição de números algébricos, e consequentemente transcendentais, se estende para os complexos.
Os números $[;\pi;]$ e $[;e;]$ são trancendentais;
O Teorema de Gelfond-Schneider garante que $[;2^{sqrt{2}};]$ e $[;e^{\pi};]$ são trancendentais;
O Teorema de Lindermann-Weiertrass diz que $[;e^{\sqrt{2}};]$ , $[;sen 1;]$ e $[;ln 2;]$ são transcendentais;
O número de Champernowne $[;0,123456789101112...;]$ é transcendental.

Esses são só alguns exemplos pois Cantor mostrou que a maioria dos números são transcendentes, ele mostrou que o conjunto dos números transcendentes é não-enumerável.

Recentemente recebi uma pergunta de um leitor do blog:

"[Sandro Lima]: (...) demonstrar que "o número de euler " $[;e;]$ " elevado ao quadrado é irracional" e generalizar que " $[;e;]$ elevado a $[;r;]$ , $[;r;]$ um número natural, será sempre irracional"."

Para responder a pergunta acima enuciaremos o seguinte teorema:

Teorema: Se $[;\alpha;]$ é um número transcedente, então para todo $[;r\in\mathbb{N};]$ , $[;n\neq 0;]$ temos que $[;\alpha^r;]$ é transcendente.

Demonstração: Tomemos um número $[;\alpha;]$ transcendente, temos que $[;\alpha;]$ não é algébrico, ou seja, não existe um polinômio de coeficientes inteiros $[;P(x);]$ tal que $[;P(\alpha)=0;]$ ,

$[;a_n \alpha^n+a_{n-1} \alpha^{n-1}+\cdots+ a_r\alpha^r+\cdots+a_1\alpha+a_0\neq 0, \forall n\in \mathbb{N}, a_0\neq 0;]$

Desse modo, basta fixarmos $[;r\in\mathbb{N};]$ , note que se $[;k\in\mathbb{N};]$ então $[;rk\in\mathbb{N};]$ , assim tomamos a seguinte equação:

$[;a_{nr}\alpha^{nr}+a_{(n-1)r}\alpha^{(n-1)r}+\cdots+a_r\alpha^r+a_0\neq 0;]$

A equação acima continua válida, pois $[;\alpha;]$ é transcendente.

Temos que,

$[;a_{nr}(\alpha^r)^n+a_{(n-1)r}(\alpha^r)^{n-1}+\cdots+a_r(\alpha^r)+a_0\neq 0;]$ , $[;\forall n\in\mathbb{N};]$

Desse modo, $[;\alpha^r;]$ é transcendente, pois a equação polinomial acima é diferente de zero para qualquer $[;n;]$ natural, isso decorre do fato que $[;\alpha;]$ é transcendente.

Portanto, se $[;\alpha;]$ é transcendente, então $[;\alpha^r;]$ também é transcendente para todo $[;r\in\mathbb{N};]$ .

Corolário: $[;e^2;]$ é transcendente. De modo geral, $[;e^r;]$ é transcendente para todo $[;r;]$ natural.

Demonstração: Ora, $[;e;]$ é transcendente, logo pelo Teorema anterior basta tomarmos $[;r=2;]$ , assim $[;e^2;]$ é transcendente. Note que o caso para $[;r;]$ natural se segue.

Tubo bem até aqui, mas o que o fato de um número ser transcendente tem haver com o fato dele ser irracional? TEM TUDO HAVER!!! Atente para a seguinte afirmação:

Afirmação: Se $[;\alpha;]$ é transcendente, então $[;\alpha;]$ é irracional.

Prova: Tome $[;\alpha;]$ um número transcendente. Suponha que ele seja racional, ou seja, existem $[;a,b\in\mathbb{Z},b\neq 0;]$ de modo que $[;\alpha=\frac{a}{b};]$ , assim $[;\alpha;]$ é algébrico (Basta tomar a equação $[;bx-a=0;]$ ),contradição, pois $[;\alpha;]$ é transcendental.

Portanto, $[;\alpha;]$ é irracional.

Agora você pode perguntar: "Diego, dessa forma todo irracional é transcendente?" A resposta é NÃO, pois o número $[;\sqrt{2};]$ é irracional, já mostramos esse fato, porém o mesmo é algébrico (Basta tomar a equação $[;x^2-2=0;]$ ). De posse dessas informações podemos responder a pergunta de nosso leitor.

Problema: Mostre que $[;e^2;]$ é irracional. Generalize o caso para $[;r;]$ natural e mostre que $[;e^r;]$ é irracional.

Solução: Pelo Corolário vimos que $[;e^2;]$ é transcendente, assim pela Afirmação temos que $[;e^2;]$ é irracional.

De modo geral, $[;e^r;]$ é transcendente para um $[;r;]$ natural, consequentemente, $[;e^r;]$ é irracional para todo $[;r;]$ natural.

Agradeço a todos que colaboram para fazer deste blog uma ferramenta muito útil para seu aprendizado. Até mais !

(Problema enviado pelo leitor Sandro Lima.)

6 comentários:

Sandro Lima23 de junho de 2011 às 14:42
Muito grato por sua demosntração! Muito bem formulado, explicitado e argumentado. Parabéns mais uma vez pelo blog e pela rapidez em resolver e postar as soluções e demosntrações.
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Diego Sousa23 de junho de 2011 às 14:46
Obrigado pela visita e volte sempre!
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Anônimo12 de julho de 2012 às 19:27
Ótimo blog, continue que você só tem a crescer.Queria apenas
corrigir um erro, que claro, ocorreu na hora de digitar, depois dos exemplos de números trancendentes está escrito que o conjunto deles é enumerável.
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Anônimo26 de junho de 2014 às 02:08
nao ficou nada claro a diferença entre numeros irracionais e Transcendentais
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Unknown9 de abril de 2017 às 23:48
Explicarm até bem o que são numeros algébricos e não explicaram em quase nada o que são números transcendentes
seno de 20 graus ou logarímo decimal de 5 são numeros transcendentais?
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Você pode inserir suas fórmulas e equações no formato $\LaTeX$ nos comentários, basta escrevê-lo entre os símbolos $\$ \ldots \$$ . Por exemplo, se você deseja escrever a seguinte fórmula:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$\$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $\$$
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como $ x^2=a $).

Agora é com você, comente à vontade, seu comentário é uma ferramenta fundamental para o crescimento do Giga Matemática!!!

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