O Porquê dos Complexos não ser um Corpo Ordenado

Quem é maior, 
$1+2i$ ou $2+1$ ?

Se você já se fez essa pergunta, com certeza se indagou motivo de não saber respondê-la, o motivo disso é o fato de que o corpo dos complexos não pode ser ordenado. Mas afinal, o que quer dizer um corpo ser "ordenado"? E por que os complexos não pode ser ordenado? Iremos responder essas perguntas ao decorrer desse artigo, por isso fique atento.

Definição: Um conjunto $X$ diz-se ordenado quando está definida entre seus elementos uma relação de ordem, ou seja, uma relação binária $x<y$, com as seguintes propriedades:

1. Dados $x$ e $y$ em $X$, temos que $x<y$, ou $y<x$, ou $x=y$, cada uma das possibilidades exclui as outras, denominamos isso de tricotomia.
2. Se $x<y$ e $y<z$ , então $x<z$ , denominamos isso de transitividade.

Olhando atentamente a definição acima vemos que podemos ordenar um conjunto qualquer de inúmeras formas.
Façamos o seguinte, vamos criar uma relação de ordem para o conjunto $\mathbb{C}$   dos complexos, chamaremos essa relação de "ordem do dicionário", definida da seguinte maneira:

Dados $z=a+bi$ e $w=c+di$, temos que $z<w$ quando $a<c$, ou seja, quando a parte real de $z$ é menor que a de $w$, analogamente temos $w<z$ quando $c<a$ . Se tivermos $a=c$, utilizamos os valores da parte imaginária dos números complexos dados, assim $z<w$ se $b<d$ e $w<z$ se $d<b$.



Note que as propriedades  (1) e (2) são facilmente verificadas para a ordem do dicionário, logo ela torna o conjunto $\mathbb{C}$ dos números complexos um conjunto ordenado. Acabou? Chegamos em uma contradição? Não! O que mostramos foi que o CONJUNTO $\mathbb{C}$ dos números complexos pode ser ordenado, mas não dissemos que $\mathbb{C}$ é um CORPO ORDENADO.

Definição: Um corpo é um conjunto $X$, munido de duas operações, chamadas adição e multiplicação, que satisfazem a certas condições, chamadas os axiomas de corpo, que se seguem abaixo:

A. Axiomas da Adição:

A1. Associatividade: Dados $x,y,z\in X$, temos $(x+y)+z=x+(y+z)$;
A2. Comutatividade: Dados $x,y,z\in X$, temos $x+y=y+x$;
A3. Elemento Neutro: Existe $0\in X$ tal que $x+0=x$, seja qual for $x\in X$. O elemento $0$ chama-se $zero$;
A4. Simétrico: Todo elemento $x\in X$ possui um simétrico $-x\in X$ tal que $x+(-x)=0$.

Observação: A subtração surge quando indicamos a soma $x+(-y)$ como $x-y$. O zero é único, pois se $x+0'=x$ então $0'=x-x$, ou seja, $0'=0$, logo o zero é único.
Um conjunto que está definido somente uma operação satisfazendo a estes axiomas é o que denominamos grupo abeliano.

B. Axiomas da Multiplicação: 

M1. Associatividade: Dados $x,y,z\in X$, temos $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$;
M2. Comutatividade: Para quaisquer $x,y\in X$ temos $x\cdot y=y\cdot x$;
M3. Elemento Neutro: Existe $1\in X$ tal que $1\neq 0$ e $x\cdot 1=x$, qualquer que seja $x\in X$. O elemento $1$ chama-se um;
M4. Inverso Multiplicativo: Todo $x\neq 0$ em $X$ possui um inverso $x^{-1}$, tal que $x\cdot x^{-1}=1$.


Observação: A divisão surge quando indicamos a operação $x\cdot y^{-1}$ como $x/y$. Não se divide por zero: $x/0$ não tem sentido. $1$ é único, pois se $x\cdot 1'=x$ então, multiplicando $x^{-1}$ a ambos os lados, temos $1'=1$, logo $1$ é único.


Por fim, as operações de adição e multiplicação em um corpo $X$ acham-se relacionadas por um axioma, com o qual fica completa a definição de corpo.


D1. Axioma da Distributividade: Dados $x,y,z\in X$ temos $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$.


Assim, notamos que o conjunto $\mathbb{C}$ munido com as operações de adição e multiplicação define um corpo.


Definição: Um corpo ordenado é um corpo no qual se definiu uma relação de ordem "compatível" com as operações de adição e multiplicação, ou seja, com as seguintes propriedades:


CO1) Se $x<y$ então $x+z<y+z$ para todo $z$ no corpo;
CO2) Se $x<y$ então $xz<yz$ para todo $z>0$ no corpo.


A definição "$x<y$ quando $x-y$ é um número positivo" faz do corpo $\mathbb{R}$ dos números reais um corpo ordenado (o mesmo ocorrendo com o corpo $\mathbb{Q}$ dos racionais).


No nosso caso, a ordem do dicionário definida anteriormente não torna os complexos, de fato, um corpo ordenado.
Ela cumpre a condção CO1), ou seja, é compatível com a adição de números complexos, mas não cumpre a condição CO2).
Observe que na ordem do dicionário, os números complexos maiores que zero são os que ou tem parte real positiva, ou são da forma $z=0+bi$ com $b>0$.
Veja que $2+3i<3+2i$ na ordem do dicionário, multiplicando ambos os lados pelo número complexo "positivo" $2-3i$ temos que $13<12-5i$, uma desigualdade falsa segundo a ordem do dicionário.


Afirmação: NENHUMA relação de ordem entre os números complexos pode torna $\mathbb{C}$ um corpo ordenado.


Essa afirmação é consequência dos seguintes argumentos:

a) Num corpo ordenado, tem-se $x>0$ se, e somente se, $-x<0$.

 De fato, suponha $x>0$, somando $-x$ a ambos os lados temos $0>-x$, ou seja, $-x<0$.

b) Num corpo ordenado, o quadrado de todo elemento não nulo é positivo, isto é, $x\neq 0$ implica $x^2>0.
Com efeito, se $x\neq 0$, então $x>0$ ou $x<0$. No primeiro caso, multiplicamos ambos os membros da igualdade $x>0$ pelo elemento positivo $x$, obtemos $x^2>0$. No segundo caso, temos de a) que $-x>0$, pelo primeiro caso, $(-x)^2>0$. Mas $(-x)^2=x^2$, logo, $x^2>0$ em qualquer caso.

c) Em todo corpo ordenado, $1$ é positivo, logo $-1$ é negativo.
De fato, $1$ é quadrado de $1$, logo $1>0$ (por b)) e portanto, $-1<0$ (por a)).  

d) Nenhuma relação de ordem torna o corpo $\mathbb{C}$ dos complexos um corpo ordenado.
Com efeito, temos $-1=i^2$. Se $\mathbb{C}$ fosse um corpo ordenado, o número $-1$ seria negativo em virtude de c)  e positivo em virtude de b), contradição.

Deste modo, podemos concluir que o corpo $\mathbb{C}$ dos complexos é um corpo não-ordenado.

Referência Bibliográfica: 
- Lima, Elon Lages, 1991 - Meu Professor de Matemática e outras histórias - Rio de Janeiro: GRAFTEX Comunicação Visual;

- Lima, Elon Lages, 2008 - Curso de Análise vol.1. 12.ed.- Rio de Janeiro: Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2008 (Projeto Euclides).    

Agradecimentos aos leitores atentos do Giga Matemática por ter mencionado sobre alguns erros de renderização nessa postagem.