Giga Matemática: setembro 2011

sexta-feira, 2 de setembro de 2011

Um Problema de Geometria Analítica

Olá caros leitores do Giga Matemática, como vocês devem ter percebido, o blog ficou um tempo sem ser atualizado, isso se deve à corrreria no meio acadêmico em que vivo. Como uma postagem de volta trago à vocês mais uma questão enviada por um leitor do blog (Vocês estão me surpreendendo cada vez mais!), A questão, juntamente com a solução, foi enviada pelo leitor Alexandre Lima, quando vi a mesma fiquei muito entusiasmado, pois essa questão se mostra bastante perspicaz, assim segue a mesma abaixo:

Construção do Problema:
No primeiro quadrante, ligue com uma reta todos os pontos, inteiros, do eixo das ordenadas $[;(0,y);]$ com o eixo das abcissas $[;(x,0);]$ , tais que a soma $[;x+y;]$ seja constante. Seja $[;k;]$ o valor da soma $[;x+y;]$ .

Figura gerada para k =11

Desafio: Calcular a área dessa região em função de $[;k;]$ .

Explicação: Suponha que o valor da constante seja igual a $[;6;]$ , assim, os pontos do primeiro quadrante da forma $[;(x,0);]$ e $[;(0,y);]$ que devem se ligados são aqueles tais que $[;x+y=6;]$ .
Portanto, existem $[;5;]$ pares de números inteiros tais que a soma seja $[;6;]$ . Assim, ligamos os seguintes pontos: