sexta-feira, 2 de setembro de 2011

Um Problema de Geometria Analítica

Olá caros leitores do Giga Matemática, como vocês devem ter percebido, o blog ficou um tempo sem ser atualizado, isso se deve à corrreria no meio acadêmico em que vivo. Como uma postagem de volta trago à vocês mais uma questão enviada por um leitor do blog (Vocês estão me surpreendendo cada vez mais!), A questão, juntamente com a solução, foi enviada pelo leitor Alexandre Lima, quando vi a mesma fiquei muito entusiasmado, pois essa questão se mostra bastante perspicaz, assim segue a mesma abaixo:

Construção do Problema:
No primeiro quadrante, ligue com uma reta todos os pontos, inteiros, do eixo das ordenadas [;(0,y);] com o eixo das abcissas [;(x,0);], tais que a soma [;x+y;] seja constante. Seja [;k;] o valor da soma [;x+y;].
Figura gerada para k =11


Desafio: Calcular a área dessa região em função de [;k;].

Explicação: Suponha que o valor da constante seja igual a [;6;], assim, os pontos do primeiro quadrante da forma [;(x,0);] e [;(0,y);] que devem se ligados são aqueles tais que [;x+y=6;].
Portanto, existem [;5;] pares de números inteiros tais que a soma seja [;6;]. Assim, ligamos os seguintes pontos:
[;(0,5);] com o ponto [;(1,0);]
[;(0,4);] com o ponto [;(2,0);]
[;(0,3);] com o ponto [;(3,0);]
[;(0,2);] com o ponto [;(4,0);] 
[;(0,1);] com  o ponto [;(5,0);] 
O problema consiste em calcular a área dessa região.

Solução encontrada pelo Leitor:


Resolveremos primeiro para um caso particular, depois generalizaremos o cálculo dessa área. Deste modo, tome [;k=6;], adiante consideraremso o caso quando [;k\in\mathbb{N},k\neq 0;].
Note que a figura acima é formada por [;5;] triângulos ([;k-1;] triângulos), de modo que cada base é a diferença entre dois valores consecutivos da ordenada e a altura igual o valor da abicissa do ponto de encontro das retas. No caso do exemplo acima, temos os seguintes triângulos formados:
[;\Delta_{5,4,\phi_1};], [;\Delta_{4,3,\phi_2};], [;\Delta_{3,2,\phi_3;], [;\Delta_{2,1,\phi_4};], [;\Delta_{1,0,\phi_5};] 
Portanto, a área dessa região é dada por:
[;A=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5;]
onde, [;A_1,A_2,A_3,A_4,A_5;] são as áreas dos triângulos definidos anteriormente,essa área é dada por [;A_n=\frac{1}{2}\left(Base_n\times Altura_n\right);].

O próximo passo será calcular as coordenadas dos pontos de encontros entre as retas. Note que todas as bases são igual à [;1;] , pois é a diferença entre dois valores consecutivos das ordenadas e a altura é numericamente igual à abcissa do ponto de encontro das retas.
As coordenadas do ponto [;\phi_n;] serão dadas pela solução do sistema formado pelas equações das retas que passam por ele. Assim, basta resolvermos os seguintes sistemas:

Para [;\phi_1;][;x+\frac{y}{5}=1;] e [;\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1;], a solução do sistema é [;x_1=\frac{1}{3};] 

Para [;\phi_2;] : [;\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1;] e [;\frac{x}{3}+\frac{y}{3}=1;], a solução do sistema é [;x_2=1;] 

Para [;\phi_3;][;\frac{x}{3}+\frac{y}{3}=1;] e [;\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1;], a solução do sistema é [;x_3=2;]
Para [;\phi_4;]: [;\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1;] e [;\frac{x}{5}+y=1;], a solução do sistema é [;x_4=\frac{10}{3};] 

Para [;\phi_5;]: Nesse caso, o ponto está sobre o eixo das abcissas, assim, [;x_5=5;].

Atribuindo na relação da área temos:

[;A=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5;]
[;A=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot x_1+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot x_2+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot x_3+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot x_4+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot x_5;]
[;A=\frac{1}{2}\left(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\right);]
[;A=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+1+2+\frac{1}{3}+5\right);]
[;A=\frac{35}{6};] 
 Temos aqui a nossa área para [;k=6;]

Generalizando para [;k;]natural qualquer
Vemos que para [;k-1;] triângulos teremos teremos a área da figura dada por:
[;A=\frac{1}{2}\left(x_1+x_2+\cdots+x_{k-2}+x_{k-1}\right);] 
Para generalizarmos a solução , basta calcularmos os valores das abscissas em função de [;n;][;k;]. Então, o sistema será dado por:
[;\frac{x}{n}+\frac{y}{k-n}=1\qquad (i);] 
[;\frac{x}{n+1}+\frac{y}{k-n-1}=1\qquad (ii);]
Onde [;n\in\(1,k-1);].
Para resolver esses sistemas basta igular as equações [;(i);] e [;(ii);], temos:
[;\frac{x}{n}+\frac{y}{k-n}=\frac{x}{n+1}+\frac{y}{k-n-1};]
[;\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)x=\left(\frac{1}{k-n-1}-\frac{1}{k-n}\right)y;]
[;\frac{x}{n(n+1)}=\frac{y}{(k-n)(k-n-1)};]
[;y=\frac{(k-n)(k-n-1)}{n(n+1)}x;]  
Substituindo este valor em [;(ii);], temos :
[;\frac{x}{n+1}+\frac{\frac{(k-n)(k-n-1)}{n(n+1)}x}{k-n-1}=1;]
[;\frac{x}{n+1}+\frac{(k-n}{n(n+1)}x=1;]
[;\frac{x}{n+1}\left(1+\frac{k-n}{n}\right)=1;] 
[;\frac{x}{n+1}=\frac{n}{k}\Rightarrow x_n=\frac{n^2+n}{k};]
Note que introduzimos [;x_n;], isso se deve fato de que seu valor depende de [;n;], tendo já estabeecido o valor de [;k;].
Não utilizaremos o valor de [;y_n;] , mas à nivel de curiosidade:
[;y_n=\frac{(k-n)^2+n-k}{k};] , verifique!!!
Agora, basta substituir na expressão da área:
[;A=\frac{1}{2}\left(x_1+x_2+\cdots+x_{k-2}+x_{k-1}\right);]
Sendo [;x_n=\frac{n^2+n}{k};]

Portanto,
[;A=\frac{1}{2}\left(\frac{1^2+1}{k}+\frac{2^2+2}{k}+\cdots+\frac{(k-2)^2+(k-2)}{k}+\frac{(k-1)^2+(k-1)}{k}\right);]
[;A=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{k-1}\left(\frac{n^2+n}{k}\right);]
[;A=\frac{1}{2k}\sum_{n=1}^{k-1}(n^2+n);]
[;A=\frac{1}{2k}\left(\sum_{n=1}^{k-1}n^2+\sum_{n=1}^{k-1}n\right);]
Sabemos que:
[;\sum_{n=1}^{k-1}n^2=\frac{k}{6}(k-1)(2k-1);] e [;\sum_{n=1}^{k-1}n=\frac{k}{2}(k-1);]
Substituindo na expressão, temos:
[;A=\frac{1}{2k}\left(\frac{k}{6}(k-1)(2k-1)+\frac{k}{2}(k-1)\right);]
[;A=\frac{1}{2k}\left(\frac{k}{3}(k^2-1)\right);]
[;A=\frac{1}{6}\left(k^2-1\right);] 
[;A=\frac{k^2-1}{6}\qquad (*);]
A igualdade [;(*);] é a área da nossa região.
Verificando a solução: No exemplo anterior, [;k=6;]. Na primeira parte calculamos o valor da área total apenas somando cada área dos triângulos separadamente. Usando a fórmula, teremos:
[;A=\frac{k^2-1}{6}=\frac{6^2-1}{6}=\frac{35}{6};]
Aqui se encerra a questão enviada pelo leitor.

Gostou da questão? Você tem alguma resolvida, ou para resolver? Então clique Aqui para enviar a sua!
Agradecimentos ao Leitor Alexandre Lima.






4 comentários:

  1. Olá,

    Somos da UBM e gostaríamos de convidar você a participar de nossa segunda promoção, criando uma frase utilizando as palavras EDUCAÇÃO, TRANSFORMAÇÃO e FUTURO, como resposta à pergunta: COMO A MATEMÁTICA PODE MUDAR NOSSAS VIDAS?

    As respostas serão encaminhada para a Editora Novatec e o autor da frase mais interessante receberá 2 livros.

    Veja mais detalhes no link :

    http://ubmatematica.blogspot.com/2011/09/2-promocao-da-ubm.html

    Contamos com sua participação!

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  2. Ótimo artigo amigo ... Bem, eu não sou bom com matemática, mas com explicações como é que qualquer pessoa pode aprender ...

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  3. Olá Hebert, agradeço imensamente sua visita e volte sempre. É bom saber que a leitura lhe interessou bastante, esse é o objetivo do Giga Matemática, tornar a matemática cada vez mais simples e objetiva, para que todos possam desfrutar de suas maravilhas.
    Até a próxima!

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  4. Eu queria saber se existe alguma curva que satisfaça os pontos de interseção das retas... me parece uma curva conhecida, mas não consegui provas nenhuma, será que alguém conhece, ou já ouviu falar?

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Você pode inserir suas fórmulas e equações no formato $\LaTeX$ nos comentários, basta escrevê-lo entre os símbolos $ \$ \ldots \$ $. Por exemplo, se você deseja escrever a seguinte fórmula:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

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