quinta-feira, 22 de março de 2012

Progressões Aritméticas Com Números Primos

Este artigo foi enviado pelo leitor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) e adaptado por mim. Participe você também enviando seus artigos ou sugestões, basta clicar na aba Enviar Arquivo logo acima.
Fonte: Science Blogs



 Você já imaginou quantos números primos existem? Pois saiba que eles são infinitos, ou seja, sempre haverá um primo que é maior que um número qualquer dado. Mas a questão é: Como os primos se distribuem sobre a reta? Existe uma "lei" que rege a "aparição" dos primos ao decorrer da reta?

Para entender um pouco do que trata esta postagem imagine a seguinte situação:
 
Um carteiro está encarregado de entregar as correspondências de algumas casas na Rua dos Inteiros, ele deverá entregar a primeira casa no primo 2, depois no primo 3, depois no primo 5, e assim sucessivamente. 
Depois de entregar a carta na primeira casa, ele percebe que o próximo destinatário é o vizinho, depois desta casa a próxima é "pulando" um número, o próximo tambem, mas o posterior está à três casas de distâncias, daí em diante o carteiro percebe que os destinatários estão cada vez mais distantes um dos outros, algumas vezes três ou mais destinatártios se encontram à mesma distância. Ele percebe então que o trabalho não será fácil hoje!!!
Na história, a rua representa o conjunto dos inteiros positivos que contém números primos e não-primos, cada destinatário reprenta um número primo, vale salientar as seguintes propriedades sobre os primos:

1) A distância entre dois primos aumenta a medida que prosseguimos na contagem dos números inteiros.

2) Alguns primos se encontram a mesma distância, ou seja, existe uma RAZÃO na sua distância.

Para saber sobre alguns fatos interessantes sugiro que leia a postagem Teorema Interessantes sobre Números Primos do Prof. Paulo Sérgio.

Em relação ao apontamento 1) indico a leitura do artigo Deserto Entre Números Primos que está no Blog O Baricentro da Mente e que foi enviado por este mesmo leitor (Prof. Sebá)

O artigo se focará no segundo apontamento, um estudo sobre P.A.'s entre os números primos.

Observação: Vale ressaltar que uma P.A. é uma sequência formada com pelo menos 3 elementos e que possuem razão constante.

Primeiramente iremos verificar a EXISTÊNCIA de algumas Progressões entre os primos compreendidos entre 2 e 500.

Algumas possibilidades:

a) razão da P.A. sendo um número PAR, terminado em ZERO, menor que 100, NÃO divisível por 3:
Nessas condições não se encontrou nenhuma P.A. com três termos.

b) razão da P.A. sendo um número PAR, NÃO terminado em ZERO,  menor que 100, NÃO divisível por 3:
Nessas condições não se encontrou nenhuma P.A. com três termos.

c) razão da P.A. sendo um número PAR, terminado em ZERO, menor que 100, divisível por 3:
Nessas condições se encontrou as seguintes P.A.'s com três ou mais termos, com razão igual à 30, 60 ou 90:

[97, 127, 157 (r = 30)]
[37, 67, 97, 127, 157 (r = 30)]
[11, 41, 71, 101, 131 (r = 30)]
[13, 43, 73, 103 (r = 30)
[23, 53, 83, 113 (r = 30)]
[29, 59, 89 (r =30)]
[41, 71, 101, 131(r =30)]
[43, 73, 103 (r = 30)]
[53, 83, 113 (r =30)]
[71, 101, 131 (r = 30)]
[67, 97, 127, 157 (r =30)]
[79, 109, 139 (r = 30)]
[7, 37, 67, 97, 127, 157 (r = 30)]
[43, 103, 163, 223, 283 (r=60)]
[11, 71, 131, 191, 251, 311 (r = 60)]
[47, 107, 167, 227 (r = 60)]
[19, 79, 139, 199 (r = 60)]
[17, 107, 197 (r = 90)]
[37, 97, 157 (r = 60)]
[29, 89, 149 (r = 60)]
[23, 83, 113 (r = 60)]
[7, 67, 127 (r = 60)]
[79, 139, 199 (r = 60)]
[53, 113, 173, 233, 293, 353 (r = 60)]
[71, 131, 191, 251, 311 (r = 60)]
[47, 137, 227, 317 (r = 90)]
[59, 149, 239 (r = 90)]
[19, 109, 199 (r = 90)]
[11, 101, 191, 281 (r = 90)]
[83, 173, 263, 353, 443 (r = 90)]
[61, 151, 241, 331, 421 (r = 90)]
[13, 103, 193, 283, 373, 463 (r = 90)]
[89, 179, 269, 359, 449 (r = 90)]

d) razão da P.A. sendo um número PAR, NÃO terminado em ZERO, menor que 100, divisível por 3:    
Nessas condições se encontrou as seguintes P.A.'s com três ou mais termos, com razão igual à 6,12,18,24,36,42,48,54,66,72,78,84,96:

[5, 11, 17, 23, 29 (r = 6)]
[7, 13, 19 (r = 6)]
[11, 17, 23, 29 (r = 6)]
[17, 23, 29 (r = 6)]
[31, 37, 43 (r = 6)]
[41, 47, 53, 59 (r = 6)]
[67, 73, 79 (r = 6)]
[97, 103, 109 (r = 6)]
[5, 17, 29, 41, 53 (r = 12)]
[47, 53, 59 (r = 6)]
[61, 67, 73, 79 (r = 6)]
[7, 19, 31, 43 (r = 12)]
[17, 29, 41, 53 (r = 12)]
[19,31, 43 (r = 12)]
[29, 41, 53 (r = 12)]
[59, 71, 83 (r = 12)]
[67, 79, 91, 103 (r = 12)]
[89, 101, 113 (r = 12)]
[47, 59, 71, 83 (r = 12)]
[5, 23, 41, 59 (r = 18)]
[11, 29, 47 (r = 18)]
[23, 41, 59 (r = 18)]
[43, 61, 79, 97 (r = 18)]
[53, 71, 89, 107 (r = 18)]
[61, 79, 97 (r = 18)]
[71, 89, 107 (r = 18)]
[5, 29, 53 (r = 24)]
[19, 43, 67 (r = 24)]
[23, 47, 71 (r = 24)]
[59, 83, 107 (r = 24)]

[83, 107, 131 (r = 24)]
[79, 103, 127, 151 (r = 24)]
[17, 53, 89 (r = 36)]
[67, 103, 139 (r = 36)]
[19, 61, 103 (r = 42)]
[67, 109, 151, 193 (r = 42)]
[5, 53, 101, 149, 197 (r = 48)]
[31, 79, 127 (r = 48)]
[5, 59, 113, 167 (r = 54)]
[61, 109, 157 (r = 48)]
[83, 137, 191 (r = 54)]
[31, 97, 163, 229 (r = 66)]
[17, 83, 149 (r = 66)]
[29, 101, 173 (r = 72)]
[5, 83, 161 (r = 78)]
[73, 151, 229, 307 (r = 78)]
[13, 97, 181 (r = 84)]
[29, 113, 197, 281 (r = 84)]
[3, 167, 251 (r = 84)]
[5, 101, 197, 293, 389 (r = 96)]

[89, 113, 137 (r = 24)]
[11, 47, 83 (r = 36)]
[31, 67, 103, 139 (r = 36)]
[5, 47, 89, 131, 173 (r = 42)]
[29, 71, 113 (r = 42)]
[89, 131, 173 (r = 42)]
[11, 59, 107 (r = 48)]
[41, 89, 137 (r = 48)]
[19, 73, 127, 181 (r = 54)]
[83, 131, 179, 227 (r = 48)]
[5, 71, 137 (r = 66)]
[41, 107, 173, 239 (r = 66)]
[97, 163, 229 (r = 66)]
[37, 109, 181 (r = 72)]
[11, 89, 167 (r = 78)]
[71, 149, 227 (r = 78)]
[23, 107, 191 (r = 84)]
[43, 127, 211 (r = 84)]
[89, 173, 257 (r = 84)]
[31, 127, 223 (r = 96)]

[13, 37, 61 (r = 24)]
[7, 43, 79 (r = 36)]
[37, 73, 109 (r = 36)]
[17, 59, 101 (r = 42)]
[47, 89, 131, 173 (r = 42)]
[97, 139, 181, 223 (r = 42)]
[13, 61, 109, 157 (r = 48)]
[53, 101, 149, 197 (r = 48)]
[29, 83, 137, 191 (r = 54)]
[43, 97, 151 (r = 54)]
[7, 73, 139 (r = 66)]
[61, 127, 193 (r = 66)]
[7, 79, 151, 223 (r = 72)]
[67, 109, 181 (r = 72)]
[23, 101, 179, 257 (r = 78)]
[5, 89, 173, 257 (r = 84)]
[73, 157, 241 (r = 84)]
[73, 157, 241 (r = 84)]
[41, 137, 233 (r = 96)]
[71, 167, 263, 359 (r = 96)]

Combinando as P.A.’s com os números pares divisíveis por 3, e razão menor que 100, não terminada em zero, com as P.A.’s com os números pares divisíveis por 3, e razão menor que 100, terminada em zero, as razões formam uma P.A. de razão 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,
54, 60, 66, 72, 78, 84 e 96.

Algumas Curiosidades sobre P.A. e números primos:

  • O que tem de curioso nas P.A.’s de razão, 30, 60 e 90? É que o último algarismo de cada termo, de cada PA, é sempre igual.

  • Testando todos os primos entre 100 e 2100 com a razão igual a 210 (número par terminado em zero e divisível por 3), encontrou-se a seguinte P.A. com primos: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 2089. O que tem de curioso nessa P.A.? É que o último algarismo de cada termo da P.A. é igual a 9.

  • Atualmente, a maior P.A. de primos que se conhece é formada pelos 22 termos 11410337850553 + 4609098694200k, com 0 ≤ k ≤ 21, e foi encontrada por Pritchard et al em 1993. Determinando a razão da P.A., encontrou-se: r = 4609098694200 (termina em zero, r é divisível
    por 3 e cada termo da PA termina em 3).
M. Toplic, um dos membros de um projeto conjunto realizado com o auxílio da internet,
encontrou em 15/01/1998 o primeiro exemplo de 10 números primos consecutivos (não existe
primo entre os termos da PA) em PA, que são os primos p + 210k com 0 ≤ k ≤ 9, onde

Como p + 210k são os termos da PA, logo, r = 210 (termina em zero, r é divisível por 3 e cada termo da PA termina em 9).

Por outro lado, em 23/4/1999, um grupo de 6 pesquisadores achou 10 primos palíndromos (i.e., cuja representação decimal é simétrica) consecutivos (dentre os primos palíndromos) em PA, que são:
 

onde: p=742950290870000078092059247.

Determinando a razão da PA, encontra-se: r = 1010100000000000 (termina em zero, r é divisível por 3 e cada termo da PA termina em 7).




  De acordo com os resultados obtidos acima, elaborou-se as seguintes conjecturas:

Conjectura (Sebá 1). Há uma infinidade de progressões aritméticas formadas por 3 primos.

Conjectura (Sebá 2). Se numa progressão aritmética formada por primos, a razão for divisível por 3 e, além disso, o último algarismo da razão for zero, então, o último algarismo de cada termo da progressão aritmética é igual.

Conjectura (Sebá 3). Qualquer progressão aritmética por mais longa que seja, formada por primos, a mais longa será aquela cuja razão é divisível por 3 e o último algarismo da razão é zero.

*O autor é professor titular (por concurso) aposentado da UFCG-PB



 Até mais, e não deixem de comentar!!!
 

4 comentários:

  1. Oi, Diego!

    Esta paródia do carteiro foi ótima!

    Eu não sabia que existia progressões aritméticas longas com números primos...Devo pensar que deva existir também PAs (com outras ordens) de primos.

    Aliás, se tratando de infinitas coisas, tudo pode ser encontrado rs

    Muito bom este artigo do Prof.Sebá!!

    Valeu!

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    1. Realmente esse assunto é muito interessante e bastante curioso. Obrigado pelo comentário

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  2. Olá Diego, primeiramente, que bom que está de volta!

    O Sebá sempre tráz assuntos interessantes, enriquecendo a blogosfera. Neste caso, para encontrar uma sequência de primos em PA, não existe uma fórmula, não é? Deve ser por experimentação, o que torna mais difícil para números grandes. Agora temos que demonstrar as conjecturas de Sebá . Um abraço!

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  3. Muito bom o uso da situação do carteiro para explicar o conceito.

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$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

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$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

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