sábado, 9 de fevereiro de 2013

Intuição x Matemática


Muitas vezes antes de tentarmos resolver um problema de matemática temos um "pré-resultado" formado em nossas mentes, ou seja, um resultado que já era esperado, por exemplo, ao efetuar a multiplicação de dois números com dois dígitos temos a "intuição" de que a resposta será possivelmente um número de três ou quatro dígitos (de fato, pois se considerarmos dois números de dois dígitos eles terão a forma $(ab)_{10}$ e $(cd)_{10}$, assim, ao efetuarmos a multiplicação teremos o seguinte resultado: $(10a+b)\cdot (10c+d) = 100a+10(ad+bc)+bd$, o resultado possui ao menos três dígitos) , nesse caso a nossa intuição foi uma ferramenta útil, mas existem casos onde não podemos confiar em nossa intuição, apresentaremos duas situações onde você irá se surpreender com a resposta, veja:

Caso 1: Considere um campo de futebol com 100m de comprimento por 50m de largura, um jogador decide amarrar uma corda inelástica em cada extremidade do comprimento desse campo (para isso ele fixa as pontas da corda em cada uma das traves), de modo que a corda fique totalmente esticada e tocando o gramado (note que a corda possui extamente 100m), após esse procedimento o jogador "aumenta" o comprimento em  apenas 1m e realiza o mesmo procedimento, como a corda ficou frouxa o jogador decide ir até o centro do gramado e levantar a corda até que a mesma fique novamente esticada. Pergunto, quantos centímetros ( ou metros) o jogador conseguirá levantar a corda acima do gramado até que ela fique totalmente esticada?

Se nos deixarmos levar por nossa intuição seremos levados a crer que o jogador conseguirá erguer a corda à alguns centímetros do gramados até que a mesma fique esticada, mas se fizermos os cálculos veremos que o jogador nem sequer conseguirá atingir a tal altura, pois não existem ser humanos com um pouco mais de 7 metros! Isso mesmo, a corda pode ser erguida à uma altura de aproximadamente 7 metros e 9 centímetros, se duvida disso, basta utilizar o teorema de pitágoras como abaixo:


Assim, temos:
$$50,5^2=h^2+50^2$$
$$h=\sqrt{50,5^2-50^2}$$
$$h\approx 7,09 m$$

Esse resultado é totalmente contra intuitivo, pois estávamos esperando um resultado bem menor.


Caso 2: Imagine que o mesmo jogador do caso anterior realizou o seguinte procedimento:
  • Pegou uma bola de futebol e uma corda;
  • Deu uma volta no equador da bola (um círculo resultante de um corte seccional que contém o centro da bola) e cortou o que sobrou da corda;
  • Calculou a quantidade de corda que seria necessária para "afastar" a corda à uma distância de 1cm de sua superfície, ou seja, todo ponto  da corda dista de 1cm da superfície da bola;
  • Ele construiu o seguinte desenho:

Ao realizar os cálculos ele percebeu que bastaria adicionar mais $2\pi$ cm de corda e ele obteria o resultado desejado.

Agora é a nossa vez, suponha que tivéssemos uma corda suficientemente longa de modo que pudéssemos dar uma volta ao redor do equador da Terra e realizássemos o mesmo procedimento do jogador: afastar a corda  da superfície da terra de modo que ela se encontre à uma distância de 1cm de sua superfície. Quantos metros (ou kilômetros) de corda seria necessário adicionar a essa corda de modo que tenhamos a situação desejada? (Lembrete: o raio da terra é de aproximadamente 6.378 km de o equador tem 40.075 km)
Novamente, se deixarmos a nos guiar por nossa intuição seremos levados à acreditar que precisaremos de kilômetros de corda para realizar esse feito, ao realizar os cálculos veremos que precisaremos de $0,00001\cdot 2\pi \ km$ de corda, ou seja, apenas mais $2\pi \ cm$  de corda. Um absurdo? Não acredita? Vamos aos cálculos então:

Seja $R$ o raio da terra e $C$ o comprimento de corda que precisamos para dar uma volta no equador, assim $C=2\pi R$, sabemos que $C=40.075 \ km$. Agora, seja $C'$ o comprimento de corda que satisfaz a condição desejada, assim devemos adicionar $C'-C$ kilômetros de corda. Note que na nova situação o raio da circunferência formada pela corda aumentada é $R+0,00001$ kilômetros, assim, $C'=2\pi (R+0,00001)$. Agora,
$$C'-C=2\pi (R+0,00001)-2\pi R$$
$$C'-C=2\pi (R+0,00001 -R)$$
$$C'-C=2\pi \cdot 0,00001$$

Em nossas contas consideramos um raio  arbitrário e chegamos ao resultado, ou seja, não importa se fizermos a situação proposta em uma bola, um limão, a Terra, Júpiter ou o Sol, sempre teremos o mesmo resultado. 


Conclusão: MATEMÁTICA $\gg$ INTUIÇÃO.

Observação: O símbolo $\gg$ significa "muito maior que".

Bem, isso é tudo pessoal!

7 comentários:

  1. Eu tambem fui surpreendido com o resultado do problema do campo de futebol. Muito legal!

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    1. Agradeço o comentário Prof. Alexandre, em breve postarei coisas ainda mais interessantes, aguarde!

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  2. Olá, seu blog foi tagueado. Clique aqui para ver do que se trata.

    Abraço.

    Pedro R.

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  3. Olá, Diego:
    Até que enfim você voltou.
    Ainda existem dois triângulos retângulos com a medida da hipotenusa igual a 50,5m:

    (21,7; 45,6; 50,5) e (33,6; 37,7; 50,5)

    Abraços

    Sebá

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  4. essa postagem também é muito interessante! já havia visto um problema similar em algum lugar, mas não me lembro... daria um belo vídeo! :) seu blog é realmente muito bom, parabéns!

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  5. Este comentário foi removido pelo autor.

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Você pode inserir suas fórmulas e equações no formato $\LaTeX$ nos comentários, basta escrevê-lo entre os símbolos $ \$ \ldots \$ $. Por exemplo, se você deseja escrever a seguinte fórmula:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

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