quinta-feira, 1 de agosto de 2013

Números Autobiográficos + DESAFIO

Hoje apresento uma propriedade interessante de alguns números, como o título já informa, iremos falar dos números autobiográficos.

Definição: Um número autobiográfico é um número $N$ com no máximo 10 dígitos, tal que seu primeiro dígito informa quantos zeros $N$ possui, o segundo dígito informa quantos 1's $N$ possui, e assim sucessivamente.

Por exemplo, o número $3211000$ é um número autobiográfico, pois ele nos informa que ele possui três zeros, dois 1's, um 2, um 3, zero 4, zero 5, zero 6.

É fácil ver que não existem uma quantidade infinita de números autobiográficos, pois eles possuem no máximo 10 dígitos.

Note alguns fatos sobre esses números:


  1. Os números autobiográficos possuem no máximo 10 dígitos. Segue-se da definição;
  2. A soma dos dígitos de um número autobiográfico é igual a soma da quantidade de dígitos que esse número possui, consequentemente a soma dos dígitos não é maior do que 10 (De fato, cada dígito informa a quantidade de zeros, 1's, 2's, e assim sucessivamente);
  3.  Como o primeiro dígito informa a quantidade de zeros, então um número autobiográfico possui pelo menos um zero;
  4. De (2) e de (3), podemos concluir que a soma de todos os dígitos, exceto o primeiro, é igual a quantidade de dígitos não nulos que restou mais 1. (acrescentamos +1, pois o primeiro dígito estava sendo contado por algum dos números que restaram, assim acrescentamos uma unidade à contagem para continuar com uma afirmação verdadeira);
  5. De (4), vemos que os demais dígitos (após o primeiro) não nulos forma uma sequência de 1's e apenas um único 2 (Ora, a soma desses dígitos não-nulos, pelo item 4, é igual a quantidade deles mais 1, ou seja, cada dígito contribui com 1 na contagem, como a soma dessa contagem é igual a soma deles mais 1,temos uma sequência de 1's e apenas um 2);
  6. Em particular, a quantidade de 1's é 0,1 ou 2 (consequência dos itens anteriores).
Assim podemos encontrar todos os números autobiográficos, bastando para isso considerar a quantidade de 1's que ele possui.

Faremos aqui o caso quando a quantidade de 1's é zero, os demais casos ficam ao cargo do leitor.

  • Se o número de 1's é zero, então o único dígito (exceto o primeiro) não-nulo é 2;
  • Como 2 pertence à autobiografia do número, e o segundo dígito é zero (estamos considerando o número de 1's sendo nulo), então o terceiro dígito deve ser 2. (se fosse o quarto, quinto, etc, teríamos algum dígito maior que 2, absurdo!)
  • Como o terceiro dígito informa a quantidade de 2's, esse número possui dois 2's.
  • De (5), temos que o outro dígito 2 só poderá ser o primeiro!
  • Logo ele deve ser 2020.
Encontramos aqui um número autobiográfico, realidade existem ................. ISSO QUEM VAI DIZER É O LEITOR, PORQUE ESSE É O DESAFIO GIGA MATEMÁTICA!!! , então fica aqui o desafio para o leitor:

Quantos números autobiográficos existem? 
Quais são eles?
 Os leitores tem até 09/08 para enviar a solução através da página Enviar Arquivo. Suas respostas serão publicadas aqui e os leitores terão seus nomes divulgados, por isso é importante enviar o nome juntamente com a solução, mãos à obra!

Até a próxima!

6 comentários:

  1. impressionante! hehe.

    teu post http://gigamatematica.blogspot.com.br/2013/03/como-descobrir-o-dia-da-semana-em-que.html me ajudou a resolver meu programa em linguagem C para um exercício da faculdade - FATEC São José dos Campos.

    Abração

    Higor com H

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    1. Que bom Higor, é ótimo saber que o Giga Matemática auxiliou você em seus estudos.
      Volte sempre!

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  2. recentemente encontrei, em minhas andanças pela net, a versão digital de um dos melhores livros de matemática que já li. Ele custa cerca de 700,00 reais na saraiva mas a versão em pdf sai por menos de 10,00 reais. paguei pelo mercado pago e recebi no mesmo dia. espero ter ajudado.


    Fundamentos De Matemática Elementar 11 Vol.+livros Prof. Pdf
    http://imperiobranco.mercadoshops.com.br/fundamentos-de-matematica-elementar-11-vollivros-prof-pdf_6xJM

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    1. No Y!R o seu nome é Camila e desde que criou conta lá ´so tem aproveirado para colocar anúncios de venda ...desde relógios de leds até livros de matemática .. não respeitando nem as perguntas nem as categorias ..num aproveitamento claro da comunidade para a sua exploração ...sobretudo como este "post" em que diz que nunca encontrou livro melhor nas suas andanças pela net ...o texto é rigorosamente o mesmo que usa no Y!R e dá a entender que ´comprou e é utilizadora do referido livro! Não faça dos outros parvos ..aprenda a governar a sua vida sem ter que enganar as pessoas!

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  3. I just wanted to add a comment here to mention thanks for you very nice ideas. I appreciate when I see well written material. Life Experience Degree | Company Logo Design

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Você pode inserir suas fórmulas e equações no formato $\LaTeX$ nos comentários, basta escrevê-lo entre os símbolos $ \$ \ldots \$ $. Por exemplo, se você deseja escrever a seguinte fórmula:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

Agora é com você, comente à vontade, seu comentário é uma ferramenta fundamental para o crescimento do Giga Matemática!!!