Aritmética Modular + Solução do Desafio "Combinando Dígitos"

Olá pessoal, hoje apresentarei a solução do desafio proposto anteriormente aqui blog, quer tentar resolvê-lo antes de prosseguir essa postagem? então clique aqui! 

Antes de fornecer a resposta temos que lembrar o conceito de congruência modular.

Definição: Dado um inteiro positivo $n$, dois inteiros $a$ e $b$ são congruentes módulo $n$ se a diferença $a-b$ é um múltiplo de $n$, ou seja $n|(a-b)$ ($n$ divide $a-b$), representamos a congruência como abaixo:

$$a\equiv b\ (mod\ n)$$

Exemplos: 

a) $10\equiv 1\ (mod\ 3)$, pois $10-1=9$ e $3|9$.

b) Se $n$ é ímpar, então $n^2\equiv 1\ (mod\ 2)$.

De fato, $n=2k+1$, logo $n^2=4k^2+2k+1$, assim $n^2-1=2(2k^2+k)$, portanto $2|(n^2-1)$.

Propriedades:

a) $a\equiv a\ (mod\ n)$.

De fato, 

$$a-a=0\Rightarrow n|0.$$

b) Se $a\equiv b\ (mod\ n)$, então $b\equiv a\ (mod\ n)$.

Suponha que $a\equiv b\ (mod\ n)$, assim

$$n|(a-b)\Rightarrow n|(b-a)$$

Logo $b\equiv a\ (mod\ n)$.

c) Se $a\equiv b\ (mod\ n)$ e $b\equiv c\ (mod\ n)$, então $a\equiv c\ (mod\ n)$.

As duas primeiras hipóteses nos dizem que

$$n|(a-b)\quad\mbox{e}\quad n|(b-c).$$

Ora, se $n$ divide dois números, então $n$ divide a soma destes, assim

$$n|(a-b+b-c)\Rightarrow n|(a-c),$$

logo

$$a\equiv c\ (mod\ n).$$  

d) Se $a\equiv b\ (mod\ n)$ e $c\equiv d\ (mod\ n)$, então $a\pm e\equiv b\pm d\ (mod\ n)$ e $ac\equiv bd\ (mod\ n)$

As duas primeiras hipóteses nos diz que

$$n|(a-b)\quad\mbox{e}\quad n|(c-d).$$

Se $n$ divide dois números, então $n$ divide a soma destes, assim

$$n|[(a-b)+(c-d)]\Rightarrow n|[(a+c)-(b+d)],$$

logo

$$a+c\equiv b+d\ (mod\ n).$$

Agora, devemos provar que $n|(ac-bd)$, assim é fácil ver que $n|c(a-b)$ e $n|b(c-d)$, usando o resultado anterior, $n$ divide a soma, logo

$$n|(ac-bc+bc-bd)\Rightarrow n|(ac-bd),$$

ou seja

$$ac\equiv bd\ (mod\ n).$$

Muitas problemas podem ser resolvidos usando congruência, em outros momentos irei explorar mais essa ferramenta aqui no blog, mas por enquanto vamos a solução do desafio.

O desafio era o seguinte:

Considere os 16 dígitos abaixo

2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9.

Eles podem ser combinados de modo a criar dois números A e B de 8 dígitos cada, de modo que B=2A?

Solução: Note inicialmente que todo número é congruente a soma de seus dígitos módulo 3.

De fato, seja podemos escrever um número em função de seus dígitos da seguinte forma:

$$n=a_0+a_1\cdot 10+a_2\cdot 10^2+\cdots+a_k\cdot 10^k,$$

onde $0\leq a_i\leq 9,\forall i\in\{0,\ldots,k\}$.

Agora
$$n-(a_0+a_1+\cdots+a_k)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot 10^i -\sum_{i=0}^n a_i.$$
Agrupando os termos temos

$$n-(a_0+a_1+\cdots+a_k)=3(3a_1+33a_2+\cdots+\underbrace{33\ldots 3}_{k\ \textrm{vezes}}).$$
Assim $n|[n-(a_0+a_1+\cdots+a_k)]$, portanto
$$n\equiv (a_0+a_1+\cdots+a_k)\ (mod\ 3).$$

Suponha agora que existissem tais números no desafio proposto. 

Por um lado teríamos que

$$A+2B\equiv 2(2+\cdots+ 9)\ (mod\ 3),$$

ou seja

$$A+2B\equiv 88\ (mod\ 3),$$

mas $88\equiv 1\ (mod 3)$, logo

$$A+2B\equiv 1\ (mod 3).$$

Por outro lado, se $B=2A$, então $A+B=3A$ e como $3|3A$ isso nos diz que

$$3A\equiv 0\ (mod\ 3).$$  

Absurdo, pois ambas as congruências não podem ocorrer ao mesmo tempo, logo não é possível encontrar tais números.

Vou ficando por aqui, mas em breve mostrarei mais aplicações e questões utilizando congruência, até mais!