quarta-feira, 25 de maio de 2011

A Agulha de Buffon

Durante o século XVIII, o matemático e naturalista francês Conde de Buffon estava interessado na probabilidade de uma agulha de comprimento [;\ell;] lançada num plano marcado por linhas paralelas tocar numa destas linhas marcadas. Essas linhas estão separadas por uma distância [;d;] das outras, onde [;d\geq \ell;]. Mantemos constante os valores [;d;] e [;\ell;], lançamos a agulha, queremos saber se houve, ou não, o contato entre essa agulha e alguma das linhas. Para calcular a probabilidade dessa agulha tocar uma das linhas procedemos da seguinte maneira:
  1. Calcula-se as possibilidades da agulha "tocar" uma das linhas, chamamos essas possibilidades de [;p_f;], ou seja, possibilidades favoráveis;
  2. Em seguida calculamos as possibilidades totais de a agulha tocar ou não umas das linhas, chamamos essas possibilidades de [;p_t;], ou seja, possibilidades totais;
  3. Por último, calculamos a probabilidade da agulha tocar uma das linhas, fazemos isso dividindo os casos favoráveis pelo caso total.
I - POSSIBILIDADES TOTAIS :
Seja,
[;d;],  a distância entre duas linhas paralelas;
[;\ell;],  o comprimento da agulha;
[;C;],  o centro dessa agulha;
[;\theta;] , o ângulo formado entre a agulha e a horizontal paralela as linhas;
[; x;], ditância entre o centro da agulha e a linha mais próxima.

Note que a distância [; x;] não depende do comprimento da agulha, sendo [;x=0;] quando o centro [;C;] estiver sobre uma das linhas e [;x=d/2;] quando o centro [;C;] estiver na metade da distância entre as linhas, assim, 


[;0\leq x\leq d/2 \quad (1);]
Veja que o ângulo [;\theta;] não depende da posição do ponto [;C;] , e esse ângulo sempre terá seu valor compreendido entre [;0;] e [;\pi;] , assim

[;0\leq\theta\leq\pi\quad (2);] 
A região do plano cartesiano que representa as condições [;(1);] e [;(2);] está desenhada abaixo:
  Portanto, [;p_t=A_1=\frac{\pi d}{2};].

II - POSSIBILIDADES FAVORÁVEIS:
 Neste caso, consideramos os casos onde a agulha toca, ou cruza, uma das linhas, para isso [;x\leq y;] (veja na figura acima esse fato).

Agora, [;sen\theta=y/(\ell/2);] , assim [;y=(\ell/2)sen\theta;].

Portanto, [;x\leq (\ell/2)sen\theta;] e temos as condições [;0\leq \theta\leq\pi;] e [;0\leq x\leq d/2;].

Representamos essa região abaixo:
Assim [;p_f=A_2;], note que a área [;A_2;] é a área compreendida entre os eixos coordenados e a curva [;x=(\ell/2)sen\theta;], logo

[;A_2=\int_{0}^{\pi} \left(\frac{\ell}{2}\right)sen\theta d\theta;]
[;A_2=\left(\frac{\ell}{2}\right)\left[-cos\pi + cos 0\right];] 

[;A_2=\left(\frac{\ell}{2}\right)[1+1]=\left(\frac{\ell}{2}\right)\cdot 2;] 

[;A_2=\ell;]

III - PROBABILIDADE:

Como dissemos anteriormente, o cálculo da probabilidade da agulha tocar ou cruzar alguma das linhas será a razão entre os casos favoráveis e os casos totais, assim:

[;P=\frac{p_f}{p_t};]
[;P=\frac{A_2}{A_1};]

[;P=\frac{\ell}{\pi d/2};]
[;P=\frac{2\ell}{\pi d};] 

Assim, a probabilidade dessa agulha tocar ou cruzar alguma das retas é [;\frac{2\ell}{\pi d};] .

Se repetirmos o experimento um número [;n;] de  vezes ([;n;] grande ) teremos um artifício para calcular o valor aproximado de [;\pi;], se anotarmos o número [;k;] de veses em que a agulha tocou ou cruzou alguma das linhas, teremos:

[;\frac{n}{k}\frac{2\ell}{d}\approx \pi;]
Buffon havia descoberto uma maneira de calcular o valor de [;\pi;], usando para isso agulhas e linhas traçadas no plano.

Até a próxima postagem!
Postado por Diego Sousa às 23:52
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5 comentários:

  1. Prof. Paulo Sérgio25 de maio de 2011 às 23:59

    Excelente e muito bem escrito este post. Tinha pensado em publicar este problema, mas agora torna-se desnecessário devido a sua bela apresentação. Parabéns!

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  2. Diego Sousa26 de maio de 2011 às 00:01

    Obrigado Prof. Paulo Sérgio, vindo da sua parte isso é muito gratificante, estou lendo sua última postagem, é bastante interessante!

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  3. Paulo Henrique Junqueira Amorim30 de maio de 2011 às 20:26

    Excelente postagem, brilhante!

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  4. Francisco Valdir15 de novembro de 2011 às 17:43

    Olá, Diego!
    Muito boa essa sua postagem! Parabéns, grande parceiro!

    Uma curiosidade a respeito desse trabalho do matemático Buffon (Putz! Devia comer muito repôlho, ovos e batatas E ficou com o apelido, não?! KKKKKKKKKKKK!) que muitos consideraram como uma... brincadeira! Pois, sim..., essa brincadeira de 300 anos, mais ou menos, foi o que nos dias atuais, permitiu o uso da tomografia computadorizada. Você já tinha ouvido falar disso?

    Um abraço!!!!!

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  5. Unknown20 de setembro de 2012 às 16:41

    Faltou a referência bibliográfica do texto original.
    http://www.cin.ufpe.br/~ldl/buffon.pdf

    Muito bom o artigo.
    Abraz

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Você pode inserir suas fórmulas e equações no formato $\LaTeX$ nos comentários, basta escrevê-lo entre os símbolos $ \$ \ldots \$ $. Por exemplo, se você deseja escrever a seguinte fórmula:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

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