quinta-feira, 28 de julho de 2011

Tentando dar uma Demostração para o Último Teorema de Fermat (Parte 2)

Olá caros leitores, quem acompanhou a última postagem (Tentando dar uma Demonstração para o Último Teorema de Fermat (Parte 1)) viu toda trajeória deste incrível teorema, que agora se chama Teorema de Fermat-Wiles devido a demonstração do mesmo pelo matemático britânico Andrews Wiles, e como prometido irei apresentar a vocês uma tentativa para demonstrar o último teorema de Fermat utilizando recursos mais acessíveis. 
Este artigo foi enviado pelo Prof. Sebá (Sebastião Vieira do Nascimento) e é com muito prazer que aqui eu o apresento esta demonstração:

Primeiramente apresentamos alguns casos particulares do Último Teorema de Fermat:

Lema 1 (Caso n=4). Não há solução inteira positiva para a equação 
[;x^4+y^4=z^4;].
Prova: Basta ver que 
[;x^4+y^4=z^4\Leftrightarrow\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2=\left(z^2\right)^2;]
e considerar a terna [;x^2,y^2,z^2;].

Em geral podemos provar o caso [;n=4k;] onde [;k\in\left{1,2,3,\ldots\right};].

Lema 2 (Caso n=4k). Não há solução inteira positiva para a equação 
[;x^{4k}+y^{4k}=z^{4k};] 
Prova: Basta notar que 
[;x^{4k}+y^{4k}=z^{4k}\Leftrightarrow (x^k)^4+(y^k)^4=(z^k)^4;]
e considerar a terna [;(x^k)^2,(y^k)^2,(z^k)^2;].

Na verdade podemos ir mais além: Se [;n;] é um inteiro que possui um fator primo [;p;] ímpar, então se provarmos que [;x^p+y^p=z^p;] não tem solução inteira positiva, teremos provado que [;x^{kp}+y^{kp}=z^{kp};] também não possui solução inteira, onde [;p=kp;].

Teorema de Sebá:
A equação [;A^n+B^n=C^m;] tem solução em inteiros positivos para [;n;] e [;m;] primos entre si ([;mdc(m,n)=1;]).

Demonstração: Seja [;a^n+b^n=c^m;], com [;a,b,c,n;] e [;m;] inteiros positivos.
Multiplicando ambos os membros de [;a^n+b^n=c^m;]  por [;(a^n+b^n)^m;], obtêm-se:
[;(a^n+b^n)(a^n+b^n)^m=c^m(a^n+b^n)^m\qquad (1);] 
 Como [;c^m=a^n+b^n;], logo, substituindo o valor de [;c^m;] em [;(1);], obtêm-se:
[;(a^n+b^n)(a^n+b^n)^m=(a^n+b^n)^{m+1};]
ou
[;a^n(a^n+b^n)^m+b^n(a^n+b^n)^m=(a^n+b^n)^{m+1}\qquad (2);]
Se escolhermos valores para [;a;] e [;b;]  tal que [;a\leq b;] ou [;a\geq b;], e substituirmos em [;(2);], obtém-se valores inteiros positivos para [;A,B;] e [;C;].


Exemplo: Divida um quadrado em dois cubos diferentes.
Temos a seguinte situação:
[;C^2=A^3+B^3;]
Note que o expoente de [;A;] e [;B;] é [;3;], fazendo [;n=3;] em [;(2);] temos:
[;a^3(a^3+b^3)^m+b^3(a^3+b^3)^m=(a^3+b^3)^{m+1}\qquad (3);]
Como na equação [;A^3+B^3=C^2;], o membro da direita tem expoente [;3;] e o da esquerda, expoente [;2;], temos que encontrar dois números [;m;] e [;m+1;] que seja possível decompor [;m;] em potência de [;3;] e [;m+1;] em potência de [;2;]. Isso só será possível se [;m;] e [;m+1;] forem, respectivamente, múltiplo de [;3;] e [;2;].
Logo, [;m=6k-3;] e [;m+1=6k-2;].
Substituindo os valores de [;m;][;m+1;] em [;(3);], temos:
[;a^3(a^3+b^3)^{6k-3}+b^3(a^3+b^3)^{6k-3}=(a^3+b^3)^{6k-2}\qquad (4);]
A equação acima é uma SOLUÇÃO GERAL para o problema.
Seja [;k=1;] e [;a=b=1;]. Substituindo os valores de [;k,a;] e [;b;] em [;(4);] temos:
[;2^3+2^3=(2^2)^2;]
Solução:  [;A=B=2;] e [;C=4;]
Acima temos uma SOLUÇÃO PARTICULAR para o problema.
Se escolhermos [;k=2;] e [;a=b=1;], e substituirmos em [;(4);] temos:
[;2^5)^3+(2^5)^3=(2^8)^2;]
Solução: [;A=B=32;] e [;C=256;] 
Temos acima outra SOLUÇÃO PARTICULAR

Utilizaremos o processo acima para mostrar que a equação [;x^p+y^p=z^p;] não tem solução em inteiros positivos para [;p;] primo maior que [;2;].
Afirmação:  A equação [;x^p+y^p=z^p;] para [;p>2;] primo não possui solução em inteiros positivos.

Demostração: Sem perda de generalidade, vamos escrever a equação [;x^p+y^p=z^p;] da seguinte forma: [;a^p+b^p=c^p;].Onde [;p;] é um primo maior que [;2;].
Multiplicando ambos os membros de [;a^p+b^p=c^p;] p or [;(a^p+b^p)^m;], obtêm-se:
[;(a^p+b^p)(a^p+b^p)^m=(a^p+b^p)^mc^p\qquad (I);]
Como [;c^p=a^p+b^p;], logo, substituindo o valor de [;c^p;] em [;(I);] temos:
[;(a^p+b^p)(a^p+b^p)^m=(a^p+b^p)^{m+1};]
ou
[;a^p(a^p+b^p)^m+b^p(a^p+b^p)^m=(a^p+b^p)^{m+1}\qquad (II);]
Seja, por exemplo, dividir um cubo em dois cubos:
[;x^3+y^3=z^3;] 
Como na equação [;x^3+y^3=z^3;] os expoentes de [;x,y;] e [;z;] são do 3º grau, fazemos [;p=3;] em [;(II);], assim:
[;a^3(a^3+b^3)^m+b^3(a^3+b^3)^m=(a^3+b^3)^{m+1}\qquad (III);]
Tomando [;a=b=1;] e substituindo em [;(III);], temos:
[;(2)^m+(2)^m=(2)^{m+1}\qquad (IV);]
Seguimos a mesma linha de raciocínio quando resolvemos  [;x^3+y^3=z^2;].
Como na equação [;x^3+y^3=z^3;], o membro da direita tem expoente [;3;] e o da esquerda também tem expoente [;3;], logo, por [;(IV);], temos que encontrar dois números [;m;] e [;m+1;] também em potência de [;3;]. Isso só seria possível se [;m;] e [; m+1;] fossem ambos múltiplos de [;3;], o que é impossível, haja vista que se [;m=3\Rightarrow m+1=4;] e obteríamos a equação [;A^3+B^3=C^4;] que possui solução em inteiros (verifique). Como não é possível encontrar dois números [;m;] e [;m+1;] que sejam múltiplos de [;p=3;], logo, também não é possível encontrar dois números [;m;] e [;m+1;] que sejam ambos múltiplos de [;p>3;]. Portanto, se a equação de Fermat não tem solução para [;p>2;] (primo), então fica assim provado que 
[;x^{kp}+y^{kp}=z^{kp};]
também não possui solução inteira para [;p=kp;].

Portanto, dado um número qualquer [;\alpha\in\mathbb{Z},\alpha>2;] então a equação
[;x^{\alpha}+y^{\alpha}=z^{\alpha};]
não possui solução inteira, pois existe [;p;] primo tal que [;\alpha=kp;], vimos anteriormente que não existe solução para [;p;] primo e seus múltiplos.

* Este artigo foi enviado pelo leitor e colaborador Prof. Sebastião Vieira do Nascimento (Prof. Sebá). Agradeço a colaboração!
 
   
   
 

16 comentários:

  1. Ando meio ocupado, e só ví esse post agora. Infelizmente estou com uma dor de cabeça terrível. Assim que passar, vou estudar essa prova passo a passo.
    Parabéns pelo post, e parabéns para o Prof. Sebá.
    Depois que eu ler de novo, comento de novo.
    Abraços!

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  2. Olá,eu faço curso de licenciatura em matématica e achei muito interessante este artigo.

    mas,acho que tem um erro ortográfico na parte em que afirma p=p.k , no final desse artigo.

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  3. Esse Teorema de Sebá está com erro,portanto a Demonstração do ultimo teorema de Fermat não está demonstrada.

    Obs: Esse erro não é ortográfico

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  4. Anônimo, não é p = p.k, e sim, é alpha=kp.

    Sebá

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  5. No "teorema" de Sebá, sua tese era de que havia soluções positivas para a equação em questão.
    A sua primeira atitude na "demonstração" foi tomar a, b e c soluções da equação. Há um erro de lógica aqui, você assumiu que havia solução, o que é exatamente o que se quer demonstrar!
    O resultado em (2) é sempre válido, para quaisquer a e b reais ( isso é só fatoração!), o que não implica, nem de longe, que exista solução para a^n + b^n = c^m.
    Outra coisa, onde foi usada a hipótese de m e n serem primos entre si na demostração? Na minha (pequena) experiência, quando não se usa uma das hipóteses na demonstração, algo está errado, rs.
    No exemplo da solução particular, você faz toda a conta como se fosse possível escolher m, mas m já está definido, a equação é

    C² = A³+ B³

    portanto m=2 e n=3; Descendo um pouco eu vejo:

    " temos que encontrar dois números m e (m+1) que seja possível decompor m em potência de 3"

    Alguns erros nessa afirmação:

    1- Se você encontrar m, encontrou (m+1), não é necessário encontrar 2 números.
    2- m = 2, como você quer que m seja potência de 3?


    A prova da afirmação para p primo também está errada. Você não pode concluir nenhum resultado a partir do caso particular a=b=1.

    Abraço, e mais sorte da próxima vez,

    Marlon.

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  6. Galera calma pode espalhar na rede q a demonstracao de wilis ta errada.isso.pq sempre se considera x=y=z mudando.apenas os expoentes.e eu resolvi a equcao de fermat.e eu.resolvi A Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer podem espalhar .meu email.wolverinetropaalfa@gmail.com

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  7. ninguém aqui vai acreditar em mim mas eu demonstrei esse teorema e não achei assim tão difícil, demorei apenas algumas horas, nem so matemático nem nada. mas acreditando ou não vocês ainda vão ouvir falar de mim podecrer.

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  8. Olá, Diego!

    Como Marlon disse, há vários erros nesta demonstração. Mas se você desejar, eu conheço uma demonstração muito simples do Teorema de Fermat, usando conhecimentos básicos sobre congruências e que poderia ser publicada no blog. Isso concerteza, ajudaria muito àqueles que tentam entender esse importante teorema, uma vez que a demonstração de Wiles num trabalho de 176 páginas conta com ideias bem avançadas e até para os iniciados no ramo representa algo muito complicado para se entender.
    Meu contato de e-mail é vander4400@hotmail.com.
    Abraços.

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  9. encontrei uma resposta para p = 3 do teorema.... queria saber se o professor sebá poderia me dizer se eu estou correto ? então professor me responda que eu digo a resposta

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  14. porra eh essa? Não consegui ler nada .. maldito latex.

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Você pode inserir suas fórmulas e equações no formato $\LaTeX$ nos comentários, basta escrevê-lo entre os símbolos $ \$ \ldots \$ $. Por exemplo, se você deseja escrever a seguinte fórmula:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

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