Tentando dar uma Demostração para o Último Teorema de Fermat (Parte 2)

Olá caros leitores, quem acompanhou a última postagem (Tentando dar uma Demonstração para o Último Teorema de Fermat (Parte 1)) viu toda trajeória deste incrível teorema, que agora se chama Teorema de Fermat-Wiles devido a demonstração do mesmo pelo matemático britânico Andrews Wiles, e como prometido irei apresentar a vocês uma tentativa para demonstrar o último teorema de Fermat utilizando recursos mais acessíveis. 
Este artigo foi enviado pelo Prof. Sebá (Sebastião Vieira do Nascimento) e é com muito prazer que aqui eu o apresento esta demonstração:

Primeiramente apresentamos alguns casos particulares do Último Teorema de Fermat:

Lema 1 (Caso n=4). Não há solução inteira positiva para a equação 

.

Prova: Basta ver que 

e considerar a terna .

Em geral podemos provar o caso onde .

Lema 2 (Caso n=4k). Não há solução inteira positiva para a equação 

 

Prova: Basta notar que 

e considerar a terna .

Na verdade podemos ir mais além: Se é um inteiro que possui um fator primo ímpar, então se provarmos que não tem solução inteira positiva, teremos provado que também não possui solução inteira, onde .

Teorema de Sebá:
A equação tem solução em inteiros positivos para e primos entre si ().

Demonstração: Seja , com e inteiros positivos.

Multiplicando ambos os membros de   por , obtêm-se:

 

 Como , logo, substituindo o valor de em , obtêm-se:

ou

Se escolhermos valores para e  tal que ou , e substituirmos em , obtém-se valores inteiros positivos para e .

Exemplo: Divida um quadrado em dois cubos diferentes.

Temos a seguinte situação:

Note que o expoente de e é , fazendo em temos:

Como na equação , o membro da direita tem expoente e o da esquerda, expoente , temos que encontrar dois números e que seja possível decompor em potência de e em potência de . Isso só será possível se e forem, respectivamente, múltiplo de e .

Logo, e .

Substituindo os valores de e  em , temos:

A equação acima é uma SOLUÇÃO GERAL para o problema.

Seja e . Substituindo os valores de e em temos:

Solução:  e

Acima temos uma SOLUÇÃO PARTICULAR para o problema.

Se escolhermos e , e substituirmos em temos:

Solução: e  

Temos acima outra SOLUÇÃO PARTICULAR

Utilizaremos o processo acima para mostrar que a equação não tem solução em inteiros positivos para primo maior que .

Afirmação:  A equação para primo não possui solução em inteiros positivos.

Demostração: Sem perda de generalidade, vamos escrever a equação da seguinte forma: .Onde é um primo maior que .

Multiplicando ambos os membros de p or , obtêm-se:

Como , logo, substituindo o valor de em temos:

ou

Seja, por exemplo, dividir um cubo em dois cubos:

 

Como na equação os expoentes de e são do 3º grau, fazemos em , assim:

Tomando e substituindo em , temos:

Seguimos a mesma linha de raciocínio quando resolvemos  .

Como na equação , o membro da direita tem expoente e o da esquerda também tem expoente , logo, por , temos que encontrar dois números e também em potência de . Isso só seria possível se e fossem ambos múltiplos de , o que é impossível, haja vista que se e obteríamos a equação que possui solução em inteiros (verifique). Como não é possível encontrar dois números e que sejam múltiplos de , logo, também não é possível encontrar dois números e que sejam ambos múltiplos de . Portanto, se a equação de Fermat não tem solução para (primo), então fica assim provado que 

também não possui solução inteira para .

Portanto, dado um número qualquer então a equação

não possui solução inteira, pois existe primo tal que , vimos anteriormente que não existe solução para primo e seus múltiplos.

* Este artigo foi enviado pelo leitor e colaborador Prof. Sebastião Vieira do Nascimento (Prof. Sebá). Agradeço a colaboração!