Giga Matemática: A existência de "e"

domingo, 1 de maio de 2011

A existência de "e"

Nesse post iremos tratar do famoso número de Euler $[;e;]$ , assim chamado em homenagem ao matemático suiço Leonard Euler, e o mesmo é a base dos logaritmos naturais. Iremos mostrar sua existência e que é limitado, $[;e<3;]$ .

Definimos $[;e;]$ como sendo o seguinte limite

$[;e=\lim_{n\to\infty}{(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n};]$

Para isso, iremos provar que esse limite existe.

Considere a quantidade

$[;x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n;]$

Pelo Teorema do Binômio de Newton temos que

$[;x_n=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot\frac{1}{n^3}+\cdots +\frac{1}{n^n};]$

$[;\displaystyle =1+1+\frac{1}{1\cdot 2}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots +\frac{1}{n^n};]$ (1)

Note que à medida que $[;n;]$ cresce o número de termos dessa soma cresce, formando uma sequência crescente, assim

$[;x_1<x_2<x_3<\cdots <x_n<x_{n+1}<\cdots;]$ (2)

Afirmação: Para $[;n>1;]$ é verdade que $[;\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n!}.;]$ .

Demonstração: Basta mostrar que $[;\left(1-\frac{1}{n}\right)<1;]$ ,é óbvio, pois se $[;n>1;]$ então $[;0<\frac{1}{n}<1;]$ , assim

$[;0<\frac{1}{n}<1 \Rightarrow -1<\frac{-1}{n}<0\Rightarrow 0<1-\frac{1}{n}<1;]$

Portanto, como $[;\frac{1}{n!}>1;]$ , temos $[;\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n!}.;]$ .

De (1), temos que

$[;x_n&lt;1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3}+\cdots +\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}<1+1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots + \frac{1}{2^{n-1}}\right)<1+1+1=3;]$ (3)

Pois a expressão entre parênteses é parte da série geométrica

$[;\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}+\cdots=1;]$

De (2) e (3), vemos que os $[;x_n;]$ crescem uniformemente, porém não ultrapassam o valor 3, assim eles tendem, a um valor-limite.Em nosso contexto, esse valor-limite é $[;e;]$ por definição. Esse argumento prova que

$[;e=\lim_{n\to\infty}{(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n};]$

Referência Bibliográfica: Simmons, George F., 1925 - Cálculo comGeometria Analítica - São Paulo: MacGraw- Hill, 1987

2 comentários:

Anônimo29 de março de 2012 às 16:10
$ÓTIMA DEMONSTRAÇÃO VAI ME AJUDAR MUITO NA PROVA DE ANÁLISE MATEMATICA$
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Respostas

Você pode inserir suas fórmulas e equações no formato $\LaTeX$ nos comentários, basta escrevê-lo entre os símbolos $\$ \ldots \$$ . Por exemplo, se você deseja escrever a seguinte fórmula:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$\$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $\$$
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como $ x^2=a $).

Agora é com você, comente à vontade, seu comentário é uma ferramenta fundamental para o crescimento do Giga Matemática!!!

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