sábado, 14 de maio de 2011

A Reta de Euler


Quando falamos em Euler e os resultados obtidos pelo mesmo não deixamos de nos surpreender com as descobertas desse gênio da matemática, o mesmo contribuiu com a geometria plana, e ele notou que em um triângulo qualquer o Ortocentro (Encontro das alturas relativas as bases), o Circuncentro (Encontro das mediatrizes relativas aos lados do triângulo) e o Baricentro, são colineares, ou seja, existe uma reta que passa pelo ortocentro, circuncentro e baricentro. 


Deste modo, enunciamos o seguinte teorema:

Teorema: Em um triângulo ABC qualquer, o baricentro, o ortocentro e o circuncentro são colineares.


Demonstração: Considere um triângulo qualquer, utilizaremos em nossa demonstração um triângulo acutângulo para garantirmos que os três pontos citados se encontram no interior desteg triângulo, entretanto a demontração é análoga para triângulos obtusângulos e retângulos, assim temos:
 
O Baricentro [;G;] (contido na mediana) e o circincentro [;O;] (contido na mediatriz) são pontos distintos, haja vista que a mediana é distinta da mediatriz. Traçamos a reta [;\ell;] que passa por  [;G;] e [;O;]. Seja [;H';] um ponto pertecente a semi-reta [;\vec{OG};] tal que [;\overline{GH'}=2\overline{GO};]. Note que [;P;] é o ponto médio de [;\overline{BC};], pois o mesmo pertence à mediana relativa a esse lado. Considere a mediana e a mediatriz relativa ao lado [;\overline{BC};].
Note que [;\triangle GH'A;] e [;\triangle GOP;] são semelhantes, pois:

  • [;\overline{GH'}\equiv 2\overline{GO};]  (por construção);
  • [;A\widehat{G}H'\equiv P\widehat{G}O;]  (o.p.v.) ;
  • [;\overline{AG}\equiv 2\overline{GP};] (propriedade do baricentro).
 Assim, seus ângulos correspondentes, [;A\widehat{H'}G;] e [;P\widehat{O}G;] são congruentes.
Dessa forma a reta suporte que contêm o segmento [;\overline{AH'};] é paralela à mediatriz [;\overline{OP};], consequentemente, [;H';] é um ponto pertecente à altura relativa ao lado [;\overline{BC};].


   Analogamente, vamos tomar agora a mediana e a mediatriz relativas ao lado [;\overline{AC};] da figura abaixo:
Seja [;P';] o ponto médio do lado [;\overline{AC};]. Veja que [;\triangle GH'B;] e [;\triangle GOP';] são semelhantes, pois:
  • [;\overline{GH'}\equiv 2\overline{GO};] (por construção );
  • [;B\widehat{G}H'\equiv P'\widehat{G}O;] (o.p.v.);
  • [;\overline{BG}\equiv 2\overline{GP'};] (propriedade do baricentro).
Dessa forma, os ângulos correpondentes [;B\widehat{H'}G;] e [;P'\widehat{O}G;] são congruentes. A reta suporte que contêm o segmento [;BH';] é paralela a mediatriz [;OP';]. Consequentemente, [;H';] é um ponto pertencente a altura relativa ao lado [;\overline{AC};].
Como [;H';] é a interseção de duas alturas do triangulo [;\triangle ABC;], temos que [;H'=H;] (ortocentro).

Concluímos assim que, Circuncentro ( O ), Baricentro ( G ) e Ortocentro ( H )
são colineares e a Reta [;\ell;] é a Reta de Euler do Triângulo [;\triangle ABC;].  


  Até mais !

11 comentários:

  1. Olá, notei que tornou-se um seguidor do BLOG MANTHANO e adicionou o nosso banner. Caso tenha um banner entre em contato para eu adicionar na minha lista de blogs parceiros. (http://manthanos.blogspot.com/)
    Até.
    Pedro R.

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  2. É bem interessante este teorema de Euler. Parabéns pela postagem. Algumas dicas:
    Se puder coloque a área em que estão as três colunas mais larga e assim, aumente a largura da terceira coluna. Para isto, basta ir em design de modelo e alterar. Irei também adicionar o link do seu blog ao meu.

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  3. Obrigado Prof. Paulo Sérgio, já realizei as alterações necessárias, realmente o blog ficou melhor de se visualizar.
    Parabéns pelo seu blog!

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  4. Cara parabéns por essa iniciativa e pelos desafios e demonstrações! Vi que você é fera! Se possível gostaria de uma demonstração que não consegui fazer, que é a de demonstrar que " o numero de Euler "e" elevado ao quadrado é irracional" e generelizar que que " e elevado a r, r um numero natural, será sempre irracional".

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  5. Caro anônimo, fico muito agradecido pela sua visita ao meu blog, quanto à sua sugestão, eu posso lhe dizer com muito prazer que irei reponder sua pergunta, que é muito interessante.
    De maneira prévia, na verdade, o número "e" ele é mais que irracional, ele é transcedente, por isso ele ser irracional quando elevado a qualquer potência, mas não se preocupe, irei fazer uma postagem o mais rápido possível explicando isso, até mais e obrigado pela visita!

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  6. Ok Diego, fico grato por sua atenção! Adorei sua demonstração sobre a irracionalidade do número "e" e achei muito interessante, com certeza você fará o mesmo com essa minha questão!

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  7. Respostas
    1. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  8. obrigada, excelente demonstração. Continue assim, contribuindo para o aprendizado.

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  9. Diego,

    Parabéns! Esta explicação está excelente! Nem sabes do que me livraste.

    Abraço de Portugal

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Você pode inserir suas fórmulas e equações no formato $\LaTeX$ nos comentários, basta escrevê-lo entre os símbolos $ \$ \ldots \$ $. Por exemplo, se você deseja escrever a seguinte fórmula:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

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