Giga Matemática

quarta-feira, 25 de maio de 2011

A Agulha de Buffon

Durante o século XVIII, o matemático e naturalista francês Conde de Buffon estava interessado na probabilidade de uma agulha de comprimento $[;\ell;]$ lançada num plano marcado por linhas paralelas tocar numa destas linhas marcadas. Essas linhas estão separadas por uma distância $[;d;]$ das outras, onde $[;d\geq \ell;]$ . Mantemos constante os valores $[;d;]$ e $[;\ell;]$ , lançamos a agulha, queremos saber se houve, ou não, o contato entre essa agulha e alguma das linhas. Para calcular a probabilidade dessa agulha tocar uma das linhas procedemos da seguinte maneira:

Calcula-se as possibilidades da agulha "tocar" uma das linhas, chamamos essas possibilidades de $[;p_f;]$ , ou seja, possibilidades favoráveis;
Em seguida calculamos as possibilidades totais de a agulha tocar ou não umas das linhas, chamamos essas possibilidades de $[;p_t;]$ , ou seja, possibilidades totais;
Por último, calculamos a probabilidade da agulha tocar uma das linhas, fazemos isso dividindo os casos favoráveis pelo caso total.

I - POSSIBILIDADES TOTAIS :

Seja,
$[;d;]$ , a distância entre duas linhas paralelas;
$[;\ell;]$ , o comprimento da agulha;
$[;C;]$ , o centro dessa agulha;
$[;\theta;]$ , o ângulo formado entre a agulha e a horizontal paralela as linhas;
$[; x;]$ , ditância entre o centro da agulha e a linha mais próxima.

Note que a distância $[; x;]$ não depende do comprimento da agulha, sendo $[;x=0;]$ quando o centro $[;C;]$ estiver sobre uma das linhas e $[;x=d/2;]$ quando o centro $[;C;]$ estiver na metade da distância entre as linhas, assim,

$[;0\leq x\leq d/2 \quad (1);]$

Veja que o ângulo $[;\theta;]$ não depende da posição do ponto $[;C;]$ , e esse ângulo sempre terá seu valor compreendido entre $[;0;]$ e $[;\pi;]$ , assim

$[;0\leq\theta\leq\pi\quad (2);]$

A região do plano cartesiano que representa as condições $[;(1);]$ e $[;(2);]$ está desenhada abaixo:

Portanto, $[;p_t=A_1=\frac{\pi d}{2};]$ .

II - POSSIBILIDADES FAVORÁVEIS:

Neste caso, consideramos os casos onde a agulha toca, ou cruza, uma das linhas, para isso $[;x\leq y;]$ (veja na figura acima esse fato).

Agora, $[;sen\theta=y/(\ell/2);]$ , assim $[;y=(\ell/2)sen\theta;]$ .

Portanto, $[;x\leq (\ell/2)sen\theta;]$ e temos as condições $[;0\leq \theta\leq\pi;]$ e $[;0\leq x\leq d/2;]$ .

Representamos essa região abaixo:

Assim $[;p_f=A_2;]$ , note que a área $[;A_2;]$ é a área compreendida entre os eixos coordenados e a curva $[;x=(\ell/2)sen\theta;]$ , logo

$[;A_2=\int_{0}^{\pi} \left(\frac{\ell}{2}\right)sen\theta d\theta;]$

$[;A_2=\left(\frac{\ell}{2}\right)\left[-cos\pi + cos 0\right];]$

$[;A_2=\left(\frac{\ell}{2}\right)[1+1]=\left(\frac{\ell}{2}\right)\cdot 2;]$

$[;A_2=\ell;]$

III - PROBABILIDADE:

Como dissemos anteriormente, o cálculo da probabilidade da agulha tocar ou cruzar alguma das linhas será a razão entre os casos favoráveis e os casos totais, assim:

$[;P=\frac{p_f}{p_t};]$

$[;P=\frac{A_2}{A_1};]$

$[;P=\frac{\ell}{\pi d/2};]$

$[;P=\frac{2\ell}{\pi d};]$

Assim, a probabilidade dessa agulha tocar ou cruzar alguma das retas é $[;\frac{2\ell}{\pi d};]$ .

Se repetirmos o experimento um número $[;n;]$ de vezes ( $[;n;]$ grande ) teremos um artifício para calcular o valor aproximado de $[;\pi;]$ , se anotarmos o número $[;k;]$ de veses em que a agulha tocou ou cruzou alguma das linhas, teremos:

$[;\frac{n}{k}\frac{2\ell}{d}\approx \pi;]$

Buffon havia descoberto uma maneira de calcular o valor de $[;\pi;]$ , usando para isso agulhas e linhas traçadas no plano.

Até a próxima postagem!

sábado, 14 de maio de 2011

A Reta de Euler

Quando falamos em Euler e os resultados obtidos pelo mesmo não deixamos de nos surpreender com as descobertas desse gênio da matemática, o mesmo contribuiu com a geometria plana, e ele notou que em um triângulo qualquer o Ortocentro (Encontro das alturas relativas as bases), o Circuncentro (Encontro das mediatrizes relativas aos lados do triângulo) e o Baricentro, são colineares, ou seja, existe uma reta que passa pelo ortocentro, circuncentro e baricentro.

Deste modo, enunciamos o seguinte teorema:

Teorema: Em um triângulo ABC qualquer, o baricentro, o ortocentro e o circuncentro são colineares.

Demonstração: Considere um triângulo qualquer, utilizaremos em nossa demonstração um triângulo acutângulo para garantirmos que os três pontos citados se encontram no interior desteg triângulo, entretanto a demontração é análoga para triângulos obtusângulos e retângulos, assim temos:

O Baricentro $[;G;]$ (contido na mediana) e o circincentro $[;O;]$ (contido na mediatriz) são pontos distintos, haja vista que a mediana é distinta da mediatriz. Traçamos a reta $[;\ell;]$ que passa por $[;G;]$ e $[;O;]$ . Seja $[;H';]$ um ponto pertecente a semi-reta $[;\vec{OG};]$ tal que $[;\overline{GH'}=2\overline{GO};]$ . Note que $[;P;]$ é o ponto médio de $[;\overline{BC};]$ , pois o mesmo pertence à mediana relativa a esse lado. Considere a mediana e a mediatriz relativa ao lado $[;\overline{BC};]$ .

Note que $[;\triangle GH'A;]$ e $[;\triangle GOP;]$ são semelhantes, pois:

$[;\overline{GH'}\equiv 2\overline{GO};]$ (por construção);
$[;A\widehat{G}H'\equiv P\widehat{G}O;]$ (o.p.v.) ;
$[;\overline{AG}\equiv 2\overline{GP};]$ (propriedade do baricentro).

Assim, seus ângulos correspondentes, $[;A\widehat{H'}G;]$ e $[;P\widehat{O}G;]$ são congruentes.
Dessa forma a reta suporte que contêm o segmento $[;\overline{AH'};]$ é paralela à mediatriz $[;\overline{OP};]$ , consequentemente, $[;H';]$ é um ponto pertecente à altura relativa ao lado $[;\overline{BC};]$ .

Analogamente, vamos tomar agora a mediana e a mediatriz relativas ao lado $[;\overline{AC};]$ da figura abaixo:

Seja $[;P';]$ o ponto médio do lado $[;\overline{AC};]$ . Veja que $[;\triangle GH'B;]$ e $[;\triangle GOP';]$ são semelhantes, pois:

$[;\overline{GH'}\equiv 2\overline{GO};]$ (por construção );
$[;B\widehat{G}H'\equiv P'\widehat{G}O;]$ (o.p.v.);
$[;\overline{BG}\equiv 2\overline{GP'};]$ (propriedade do baricentro).

Dessa forma, os ângulos correpondentes $[;B\widehat{H'}G;]$ e $[;P'\widehat{O}G;]$ são congruentes. A reta suporte que contêm o segmento $[;BH';]$ é paralela a mediatriz $[;OP';]$ . Consequentemente, $[;H';]$ é um ponto pertencente a altura relativa ao lado $[;\overline{AC};]$ .
Como $[;H';]$ é a interseção de duas alturas do triangulo $[;\triangle ABC;]$ , temos que $[;H'=H;]$ (ortocentro).

Concluímos assim que, Circuncentro ( O ), Baricentro ( G ) e Ortocentro ( H )
são colineares e a Reta $[;\ell;]$ é a Reta de Euler do Triângulo $[;\triangle ABC;]$ .

Até mais !

domingo, 8 de maio de 2011

União dos Blogs de Matemática - UBM

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