As consequências do Teorema do Valor Intermediário

Olá, hoje iremos tratar de um resultado bastante simples (essa é minha opinião) em análise real, mas que possui bastantes aplicações, tanto em resolução de problemas de matemática quanto na prática.

Esse resultado é o Teorema do Valor Intermediário, iremos enunciá-lo logo abaixo:

Teorema ( Teorema do Valor Intermediário): Seja $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ contínua. Se $f(a)<d<f(b)$ então existe $c\in (a,b)$ tal que $f(c)=d$.

Vamos entender os elementos envolvidos nesse teorema:

Conjuntos Enumeráveis

Desde o surgimento da matemática a humanidade utiliza os números para representar quantidades, medir distâncias, calcular, etc.

Quando você escuta a expressão "contar", o que lhe vem à mente? Você pode dizer contar, classificar, ENUMERAR, note que a última palavra chama bastante atenção, pois a mesma designa a possibilidade de "contar" os elementos de um conjunto. No dia-a-dia nos deparamos com situações diversas, onde temos que contar, enumerar objetos, no cotidiano você dispõe de um ambiente e objetos inseridos nele, na matemática temos conjuntos e elementos pertencentes à este conjunto, por isso vamos definir o que é um conjunto enumerável.

Definição: Um conjunto $K$ é dito enumerável se um dos critérios abaixo for válido:

(a) $K$ é finito;

(b) Existe uma bijeção $f:\mathbb{N}\rightarrow K$.

No segundo caso, dizemos que $K$ é um conjunto infinito enumerável.

Observe que o caso (a) é óbvio, pois podemos "contar" os elementos de um conjunto finito, o segundo caso deverá ser discutido um pouco mais.

Um conjunto infinito enumerável é aquele que possui infinitos termos, porém somos capazes de nomear cada um deles, considere o conjunto $X=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}$ um conjunto finito, encontramos facilmente uma bijeção deste conjunto com os naturais, será dada por $f(n)=x_n$, assim, $x_1=f(1),x_2=f(2),\ldots,x_n=f(n),\ldots$.

Um conjunto infinito não-enumerável é aquele que possui uma infinidade tão imensa de termos que não somos capazes de "registrar" todos eles, o maior exemplo de conjunto não enumerável é o conjunto dos números reais $\mathbb{R}$, não somos capazes de exibir pelo menos uma bijeção entre os reais e os naturais, ou seja, os reais possuem mais elementos que possamos imaginar!

O Porquê dos Complexos não ser um Corpo Ordenado

Quem é maior, 
$1+2i$ ou $2+1$ ?

Se você já se fez essa pergunta, com certeza se indagou motivo de não saber respondê-la, o motivo disso é o fato de que o corpo dos complexos não pode ser ordenado. Mas afinal, o que quer dizer um corpo ser "ordenado"? E por que os complexos não pode ser ordenado? Iremos responder essas perguntas ao decorrer desse artigo, por isso fique atento.

Definição: Um conjunto $X$ diz-se ordenado quando está definida entre seus elementos uma relação de ordem, ou seja, uma relação binária $x<y$, com as seguintes propriedades:

1. Dados $x$ e $y$ em $X$, temos que $x<y$, ou $y<x$, ou $x=y$, cada uma das possibilidades exclui as outras, denominamos isso de tricotomia.
2. Se $x<y$ e $y<z$ , então $x<z$ , denominamos isso de transitividade.

Olhando atentamente a definição acima vemos que podemos ordenar um conjunto qualquer de inúmeras formas.
Façamos o seguinte, vamos criar uma relação de ordem para o conjunto $\mathbb{C}$   dos complexos, chamaremos essa relação de "ordem do dicionário", definida da seguinte maneira:

Dados $z=a+bi$ e $w=c+di$, temos que $z<w$ quando $a<c$, ou seja, quando a parte real de $z$ é menor que a de $w$, analogamente temos $w<z$ quando $c<a$ . Se tivermos $a=c$, utilizamos os valores da parte imaginária dos números complexos dados, assim $z<w$ se $b<d$ e $w<z$ se $d<b$.