A Matemática das Bolas de Futebol e Fulerenos

Olá leitores, aproveito o clima de copa do mundo para trazer uma curiosidade matemática envolvendo a forma das bolas de futebol e os fulerenos.

Os fulerenos são uma forma alotrópica do Carbono, foram descobertos acidentalmente em 1985 por três químicos, que posteriormente ganhariam o prêmio Nobel de Química por essa descoberta, foram eles:

 

Harold W. Kroto, Robert F. Curl e Richard E. Smalley, inicialmente essa estrutura molecular foi batizada de Buckminsterfulereno ($C_{60}$). Note que essa estrutura molecular possui exatamente 60 átomos de carbono, então guarde bem essa informação:

O Fulereno $C_{60}$ possui 60 átomos em sua composição.

Abaixo temos uma representação tridimensional dessa estrutura, note a semelhança da mesma com uma bola de futebol.

DESAFIO: Quadriláteros e Paralelogramos (Soluções)

Hoje trago as soluções enviadas para o Giga Matemática através de seus leitores. Não viu o desafio? Então clica aqui!!!

Solução 1

A primeira solução foi enviada pelo leitor Alexandre Fernandes, parceiro do Giga Matemática, conheça o blog dele o Happy Hour Matemático. É uma solução OBJETIVA e RÁPIDA (minhas preferidas).

Video da postagem "Qual a distância até a linha do horizonte?"

Olá pessoal, a postagem hoje é para divulgar o resultado de uma parceria do Giga Matemática com o blog Matemática Rio. No vídeo é apresentado a postagem Qual a distância da linha do horizonte?. Visualizem abaixo:







Não deixem de visitar o blog matemática rio e visitar o canal matematicario

Até mais !

Qual a "distância" da Linha do Horizonte?

Quando eu era criança fui à praia para um dia de lazer, sempre fui muito curioso e sempre queria ter uma explicação para todas as coisas (talvez isso me motivou escolher a Matemática), dessa vez me deparei com a Linha do Horizonte e me perguntei:

- Qual a distância da beira da praia até a linha do horizonte?

Fiquei bastante intrigado, até perguntei pra algumas pessoas, mas elas não souberam me responder naquele momento, resolvi então deixar para depois, pensei que no futuro talvez soubesse a resposta para essa dúvida. Os anos passaram e no último sábado estava em minha casa navegando na Internet e me deparei com a imagem do início dessa postagem e novamente me veio a pergunta não respondida da minha infância, mas dessa vez sabia que eu mesmo podia chegar ao resultado, e é essa experiência que compartilho hoje com os leitores do Giga Matemática.

Intuição x Matemática

Muitas vezes antes de tentarmos resolver um problema de matemática temos um "pré-resultado" formado em nossas mentes, ou seja, um resultado que já era esperado, por exemplo, ao efetuar a multiplicação de dois números com dois dígitos temos a "intuição" de que a resposta será possivelmente um número de três ou quatro dígitos (de fato, pois se considerarmos dois números de dois dígitos eles terão a forma $(ab)_{10}$ e $(cd)_{10}$, assim, ao efetuarmos a multiplicação teremos o seguinte resultado: $(10a+b)\cdot (10c+d) = 100a+10(ad+bc)+bd$, o resultado possui ao menos três dígitos) , nesse caso a nossa intuição foi uma ferramenta útil, mas existem casos onde não podemos confiar em nossa intuição, apresentaremos duas situações onde você irá se surpreender com a resposta, veja:

Caso 1: Considere um campo de futebol com 100m de comprimento por 50m de largura, um jogador decide amarrar uma corda inelástica em cada extremidade do comprimento desse campo (para isso ele fixa as pontas da corda em cada uma das traves), de modo que a corda fique totalmente esticada e tocando o gramado (note que a corda possui extamente 100m), após esse procedimento o jogador "aumenta" o comprimento em  apenas 1m e realiza o mesmo procedimento, como a corda ficou frouxa o jogador decide ir até o centro do gramado e levantar a corda até que a mesma fique novamente esticada. Pergunto, quantos centímetros ( ou metros) o jogador conseguirá levantar a corda acima do gramado até que ela fique totalmente esticada?

Se nos deixarmos levar por nossa intuição seremos levados a crer que o jogador conseguirá erguer a corda à alguns centímetros do gramados até que a mesma fique esticada, mas se fizermos os cálculos veremos que o jogador nem sequer conseguirá atingir a tal altura, pois não existem ser humanos com um pouco mais de 7 metros! Isso mesmo, a corda pode ser erguida à uma altura de aproximadamente 7 metros e 9 centímetros, se duvida disso, basta utilizar o teorema de pitágoras como abaixo:

Assim, temos:

$$50,5^2=h^2+50^2$$

$$h=\sqrt{50,5^2-50^2}$$

$$h\approx 7,09 m$$

Esse resultado é totalmente contra intuitivo, pois estávamos esperando um resultado bem menor.

Por que uma mesa com três pernas não balança?

Em um domingo qualquer eu estava almoçando e algo me incomodava, toda vez que algém se apoiava sobre a mesa, ela pendia para um lado e retornava a sua posição quando esta pessoa se afastava dela, e esse processo se repetia diversas vezes. Até então estava conformado em saber que "coisas" caem, 1+1=2 e mesas balançam, mas isso mudou quando me deparei com uma mesa bem peculiar, ela tinha apenas três pernas, no momento eu me questionei sobre a firmesa daquela mesa, ora, se uma mesa com quatro pernas balança, então esta com três deve desabar se colocarmos algo sobre ela, para a minha surpresa a mesa não balançou quando coloquei um objeto sobre ela e achei incrível este fato, me perguntei no mesmo instante:

- Por que uma mesa com três pernas não balança?

O Floco de Neve Koch

"Niels Fabian Helge Van Koch  foi um matemático sueco que deu o seu nome ao famoso fractal conhecido como Floco de Neve Koch, que foi um dos primeiros fractais de curvas a se descrito." (Wikipédia) 

Se você quiser saber um pouco mais sobre a Geometria Fractal o blog Fatos Matemáticos possui uma postagem sobre esse assunto: Um Convite à Geometria Fractal.  Lá você descobrirá alguns fatos interessantes sobre essa curva, como por exemplo que a dimensão dessa curva é igual à .

O objetivo desse post é mostrar mais um aparente paradoxo da matemática.(para quem perdeu o primeiro paradoxo basta clicar Aqui - Trombeta de Gabriel).

O Paradoxo que existe é que o Floco de Neve Koch (ou Estrela de Koch) possui uma área finita, porém seu perímetro é infinito. Posteriormente ilustrarei melhor esse fato.

Começaremos construindo O Floco de Neve Koch.

 Para construir o floco de neve de Koch iniciamos com um triângulo equilátero de lado , e seguimos os seguintes passos:

1. Divida cada lado em três segmentos iguais ();
2. Desenhe um triângulo equilátero tendo como base o segmento central da divisão do lado do passo 1. (geramos nessa primeira interação três novo triângulos);
3. Remova a base utilizada para construir os triângulos do passo 2. 

O floco de neve Koch irá surgir à medida que os passos acima são repetidos infinitamente. 
Obs: Quando tomamos um segmento, ao invés de um triângulo equilátero, e executamos os passos acima temos o que chamamos de Curva de Koch, assim o Floco de Neve Koch nada mais é do que a união de três curvas de Koch. 

Como mencionamos anteriormente, o floco de neve Koch possui um perímetro infinito e uma área finita. Vejamos cada caso separadamente:

Usando a Parábola para Multiplicar

Hoje iremos falar de uma propriedade bastante interessante sobre a parábola .
Esta parábola tem a seguinte propriedade:

Dados dois pontos na parábola , de modo que um ponto esteja no 1º quadrante (+,+) e o outro no segundo quadrante (-,+). Tomamos o segmento que une esses pontos, esse segmento intercepta o eixo das ordenadas () no ponto .
Temos que a projeção de e sobre o eixo geram os pontos e .
Definimos e . Mostraremos que .

Quer observar isso na prática? Pois abaixo segue um applet em que você pode alterar a posição dos pontos sobre o eixo das abscissas e observar como os pontos se movimentam sobre a parábola, como se forma o ponto e verificar o resultado.

A Agulha de Buffon

Durante o século XVIII, o matemático e naturalista francês Conde de Buffon estava interessado na probabilidade de uma agulha de comprimento lançada num plano marcado por linhas paralelas tocar numa destas linhas marcadas. Essas linhas estão separadas por uma distância das outras, onde . Mantemos constante os valores e , lançamos a agulha, queremos saber se houve, ou não, o contato entre essa agulha e alguma das linhas. Para calcular a probabilidade dessa agulha tocar uma das linhas procedemos da seguinte maneira:

1. Calcula-se as possibilidades da agulha "tocar" uma das linhas, chamamos essas possibilidades de , ou seja, possibilidades favoráveis;
2. Em seguida calculamos as possibilidades totais de a agulha tocar ou não umas das linhas, chamamos essas possibilidades de , ou seja, possibilidades totais;
3. Por último, calculamos a probabilidade da agulha tocar uma das linhas, fazemos isso dividindo os casos favoráveis pelo caso total.

I - POSSIBILIDADES TOTAIS :

Seja,
,  a distância entre duas linhas paralelas;
,  o comprimento da agulha;
,  o centro dessa agulha;
, o ângulo formado entre a agulha e a horizontal paralela as linhas;
, ditância entre o centro da agulha e a linha mais próxima.

Note que a distância não depende do comprimento da agulha, sendo quando o centro estiver sobre uma das linhas e quando o centro estiver na metade da distância entre as linhas, assim, 

Veja que o ângulo não depende da posição do ponto , e esse ângulo sempre terá seu valor compreendido entre e , assim

 

A região do plano cartesiano que representa as condições e está desenhada abaixo:

  Portanto, .

II - POSSIBILIDADES FAVORÁVEIS:

 Neste caso, consideramos os casos onde a agulha toca, ou cruza, uma das linhas, para isso (veja na figura acima esse fato).

Agora, , assim .

Portanto, e temos as condições e .

Representamos essa região abaixo:

Assim , note que a área é a área compreendida entre os eixos coordenados e a curva , logo

 

 

III - PROBABILIDADE:

Como dissemos anteriormente, o cálculo da probabilidade da agulha tocar ou cruzar alguma das linhas será a razão entre os casos favoráveis e os casos totais, assim:

 

Assim, a probabilidade dessa agulha tocar ou cruzar alguma das retas é .

Se repetirmos o experimento um número de  vezes ( grande ) teremos um artifício para calcular o valor aproximado de , se anotarmos o número de veses em que a agulha tocou ou cruzou alguma das linhas, teremos:

Buffon havia descoberto uma maneira de calcular o valor de , usando para isso agulhas e linhas traçadas no plano.

Até a próxima postagem!