Questão: Aplicação do Valor Intermediário

A questão que será apresentada aqui aborda mais uma das aplicações do Teorema do Valor Intermediário (para saber mais clique nessa postagem:As Consequências do Teorema do Valor Intermediário ), a questão foi enviada pelo leitor Arlyson A. Nascimento, ele é professor do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Alagoas. Obrigado pela confiança no blog!

A questão pertence ao exame de admissão no programa de pós-graduação em matemática aplicada (2011). Vamos ao enunciado:

Sejam $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ uma função contínua, $x_1,\ldots,x_n$ pontos distintos de $[a,b]$, e números reais de mesmo sinal $w_1,\ldots,w_n$. Mostre que existe pelo menos um ponto $c\in[a,b]$ tal que

$$\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i=f(c)\sum_{i=1}^nw_i$$

O Corpo dos Números Complexos - Parte II

Hoje daremos continuidade ao artigo enviado pelo leitor João (Portugal), quem não viu a primeira parte pode clicar aqui e ver!

Segue o artigo enviando pelo João:

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Antes de continuar o meu artigo quero desde já agradecer ao Diego a oportunidade de postar aqui no blog o meu trabalho. Comecemos por dizer algumas propriedades do corpo dos complexos:

DESAFIO: Quadriláteros e Paralelogramos (Soluções)

Hoje trago as soluções enviadas para o Giga Matemática através de seus leitores. Não viu o desafio? Então clica aqui!!!

Solução 1

A primeira solução foi enviada pelo leitor Alexandre Fernandes, parceiro do Giga Matemática, conheça o blog dele o Happy Hour Matemático. É uma solução OBJETIVA e RÁPIDA (minhas preferidas).

DESAFIO: Quadriláteros e Paralelogramos

Hoje o Giga Matemática inicia um novo tipo de postagem, a POSTAGEM DESAFIO, aqui o leitor será desafiado à provar algum fato interessante relacionado à matemática, o leitor terá o prazo de uma semana para enviar a resposta, ao final da semana a resposta (ou respostas) serão divulgadas aqui com os devidos créditos.

O Desafio de hoje é o seguinte:

O Corpo dos Números Complexos - Parte 1

Hoje o Giga Matemática abre espaço para mais uma publicação do Leitor.

Quem enviou o artigo de hoje foi o leitor João, direto de Portugal.

 João conta que decidiu escrever esse artigo pois acha a Teoria dos Corpos, Anéis e Grupos em Álgebra Abstrata uma teoria muito interessante do nível do raciocínio e das demonstrações.

Primeiramente devemos nos perguntar, o que é um corpo?

Antes de definirmos corpo, iremos definir uma ideia mais básica, a definição de anel.

Um Problema de Geometria Analítica

Olá caros leitores do Giga Matemática, como vocês devem ter percebido, o blog ficou um tempo sem ser atualizado, isso se deve à corrreria no meio acadêmico em que vivo. Como uma postagem de volta trago à vocês mais uma questão enviada por um leitor do blog (Vocês estão me surpreendendo cada vez mais!), A questão, juntamente com a solução, foi enviada pelo leitor Alexandre Lima, quando vi a mesma fiquei muito entusiasmado, pois essa questão se mostra bastante perspicaz, assim segue a mesma abaixo:

Construção do Problema:
No primeiro quadrante, ligue com uma reta todos os pontos, inteiros, do eixo das ordenadas com o eixo das abcissas , tais que a soma seja constante. Seja o valor da soma .

Figura gerada para k =11

Desafio: Calcular a área dessa região em função de .

Explicação: Suponha que o valor da constante seja igual a , assim, os pontos do primeiro quadrante da forma e que devem se ligados são aqueles tais que .
Portanto, existem pares de números inteiros tais que a soma seja . Assim, ligamos os seguintes pontos:

com o ponto

com o ponto

com o ponto

com o ponto  

com  o ponto  

O problema consiste em calcular a área dessa região.

Solução encontrada pelo Leitor:

Tentando dar uma Demostração para o Último Teorema de Fermat (Parte 2)

Olá caros leitores, quem acompanhou a última postagem (Tentando dar uma Demonstração para o Último Teorema de Fermat (Parte 1)) viu toda trajeória deste incrível teorema, que agora se chama Teorema de Fermat-Wiles devido a demonstração do mesmo pelo matemático britânico Andrews Wiles, e como prometido irei apresentar a vocês uma tentativa para demonstrar o último teorema de Fermat utilizando recursos mais acessíveis. 
Este artigo foi enviado pelo Prof. Sebá (Sebastião Vieira do Nascimento) e é com muito prazer que aqui eu o apresento esta demonstração:

Primeiramente apresentamos alguns casos particulares do Último Teorema de Fermat:

Lema 1 (Caso n=4). Não há solução inteira positiva para a equação 

.

Prova: Basta ver que 

e considerar a terna .

Em geral podemos provar o caso onde .

Lema 2 (Caso n=4k). Não há solução inteira positiva para a equação 

 

Prova: Basta notar que 

e considerar a terna .

Na verdade podemos ir mais além: Se é um inteiro que possui um fator primo ímpar, então se provarmos que não tem solução inteira positiva, teremos provado que também não possui solução inteira, onde .

Teorema de Sebá:

O Problema da Constante de Euler-Mascheroni

Este problema foi enviado pelo leitor e colaborador Prof. Aldenor Lemos, a motivação desta postagem veio do livro Logaritmos do Elon. o problema é o seguinte:

Mostre que a soma 

é maior do que e conclua que . Isto se escreve também assim:

 

Solução: Para todo [x;] diferente de zero é verdade que .

Basta ver que , assim (Você pode ver uma prova geométrica aqui) , daí:

Fazendo , com , temos:

Como a função logaritmo natural é monótona crecente (isto quer dizer que dados ), obtemos:

Portanto,

Logo,

 

 

Conclusão:

, pois .

Existem outras formas de solucionar esse problema, quem quiser saber mais entre em contato com o Giga aqui, ou envie seu arquivo aqui .

Não perca a continuação desta postagem, abordaremos o porque o título e o que é a constante de euler-mascheroni.

Bibliografia: Logaritmos - LIMA, Elon Lages; SBM, 4ª Edição, Rio de Janeiro 2009