As consequências do Teorema do Valor Intermediário

Olá, hoje iremos tratar de um resultado bastante simples (essa é minha opinião) em análise real, mas que possui bastantes aplicações, tanto em resolução de problemas de matemática quanto na prática.

Esse resultado é o Teorema do Valor Intermediário, iremos enunciá-lo logo abaixo:

Teorema ( Teorema do Valor Intermediário): Seja $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ contínua. Se $f(a)<d<f(b)$ então existe $c\in (a,b)$ tal que $f(c)=d$.

Vamos entender os elementos envolvidos nesse teorema:

O Problema da Constante de Euler-Mascheroni

Este problema foi enviado pelo leitor e colaborador Prof. Aldenor Lemos, a motivação desta postagem veio do livro Logaritmos do Elon. o problema é o seguinte:

Mostre que a soma 

é maior do que e conclua que . Isto se escreve também assim:

 

Solução: Para todo [x;] diferente de zero é verdade que .

Basta ver que , assim (Você pode ver uma prova geométrica aqui) , daí:

Fazendo , com , temos:

Como a função logaritmo natural é monótona crecente (isto quer dizer que dados ), obtemos:

Portanto,

Logo,

 

 

Conclusão:

, pois .

Existem outras formas de solucionar esse problema, quem quiser saber mais entre em contato com o Giga aqui, ou envie seu arquivo aqui .

Não perca a continuação desta postagem, abordaremos o porque o título e o que é a constante de euler-mascheroni.

Bibliografia: Logaritmos - LIMA, Elon Lages; SBM, 4ª Edição, Rio de Janeiro 2009

 

Capacidade cardíaca

 

A postagem anterior (Regra de Simpson) será utilizada nesta postagem, se você não sabe o que é a Regra de Simpson basta clicar no link.

O cálculo pode ser utilizada em muitos ramos e um deles é a medicina. A figura acima mostra o sistema cardiovascular humano. O sistema cardiovascular funciona da seguinte maneira: o sangue retorna do corpo através das veias, entra no átrio direito do coração e é bombeado para os pulmões pelas artérias pulmonares para a oxigenação, então volta para o átrio  esquerdo por meio das veias pulmonares e daí circula para o resto do corpo através da aorta. A capacidade cardíaca do coração é o volume de sangue bombeado pelo coração por unidade de tempo, isto é, a taxa de fluxo da aorta. Para medir a capacidade cardíaca é utilizado frequentemente o método da diluição do contraste. O contraste (materiais radiopacos que são utilizados para contrastar a imagem) é injetado no átrio direito e flui através do coração na aorta. Uma sonda inserida na aorta mede a concentração do contraste saindo do coração a intervalos regulares de tempo durante um intervalo até que o contraste tenha terminado.

Regra de Simpson

Todos que utilizam o cálculo em suas vidas como um intrumento prático já se deparou com o cálculo de integrais. Normalmente quando temos uma integral definida do tipo iniciamos procurando uma função tal que , dizemos que é uma primitiva de . Deste modo o cálculo desta integral se reduz à calcular o seguinte:

 

Mas este tipo de abordagem não gera resultados quanto tentamos calcular algumas integrais aparentemente simples, tais como:

Isso se deve ao fato de que não existem funções elementares cujas derivadas sejam e . 

Para resolver esse problema usaremos uma técnica do cálculo numérico denominada Regra de Simpson.

Se você tomar um livro de cálculo você encontrará outros métodos (Regra do trapésio, regra dos retângulos, regra dos pontos médios), porém nos deteremos à Regra de Simpson pois esta nos dá um valor muito mais aproximado do verdadeiro valor do que as outras regras.