Formato da Terra, vamos argumentar!

Olá caro leitores, 

algumas postagens aqui blog são mais acessadas do que outras, mas com certeza nada supera a postagem Qual a "distância" da Linha do Horizonte?  (Clique e conheça mais!)

Nessa postagem tivemos a "ousadia" de supor que a Terra era redonda, o fato é que existem pontos de vista distintos como você pode conferir nos comentários da postagem.

Após algumas mensagens de vocês leitores (agradeço o apoio e motivação!) decidi expor aqui o ponto de vista do blog sobre o formato da Terra.

A TERRA NÃO É PLANA!!!

MAS TAMBÉM NÃO É ESFÉRICA...

E agora? Tudo que fazemos através da hipótese de que a terra é redonda está errado?

Não! Em uma postagem futura falarei um pouco mais sobre o formato da Terra e Topologia (não se preocupe, vai ser bem esclarecedor!).

Ao preparar essa postagem me deparei com o vídeo do canal do Youtube Nerdologia. Acompanho esse canal a bastante tempo e as postagens ali contidas são bem preparadas e bem produzidas (recomendo a visita!). Bem, hoje o Átila Iamarino tratou sobre esse assunto em um dos seus vídeos.

Vou deixar vocês com esse excelente vídeo, mas em breve teremos uma postagem apresentando o lado matemático desse assunto.

Antecipando um pouco o conteúdo da próxima postagem e fornecendo uma resposta parcial para as distâncias na linha do horizonte terem comprimentos distintos em diferentes partes do mundo:

Para efeitos didáticos, na postagem Qual a "distância" da Linha do Horizonte?, assumimos que a Terra era completamente esférica e obtivemos nesse caso uma distância média da linha do horizonte, mas na prática essa distância pode variar, mas isso não implica que a NASA está conspirando contra nós, mas que não podemos confiar apenas em nossa intuição, todavia devemos nos apoiar em fatos comprovados através do métodos científicos existentes.

Até a próxima!

A Matemática das Bolas de Futebol e Fulerenos

Olá leitores, aproveito o clima de copa do mundo para trazer uma curiosidade matemática envolvendo a forma das bolas de futebol e os fulerenos.

Os fulerenos são uma forma alotrópica do Carbono, foram descobertos acidentalmente em 1985 por três químicos, que posteriormente ganhariam o prêmio Nobel de Química por essa descoberta, foram eles:

 

Harold W. Kroto, Robert F. Curl e Richard E. Smalley, inicialmente essa estrutura molecular foi batizada de Buckminsterfulereno ($C_{60}$). Note que essa estrutura molecular possui exatamente 60 átomos de carbono, então guarde bem essa informação:

O Fulereno $C_{60}$ possui 60 átomos em sua composição.

Abaixo temos uma representação tridimensional dessa estrutura, note a semelhança da mesma com uma bola de futebol.

Números Autobiográficos + DESAFIO

Hoje apresento uma propriedade interessante de alguns números, como o título já informa, iremos falar dos números autobiográficos.

Definição: Um número autobiográfico é um número $N$ com no máximo 10 dígitos, tal que seu primeiro dígito informa quantos zeros $N$ possui, o segundo dígito informa quantos 1's $N$ possui, e assim sucessivamente.

Por exemplo, o número $3211000$ é um número autobiográfico, pois ele nos informa que ele possui três zeros, dois 1's, um 2, um 3, zero 4, zero 5, zero 6.

É fácil ver que não existem uma quantidade infinita de números autobiográficos, pois eles possuem no máximo 10 dígitos.

Note alguns fatos sobre esses números:

Por que só existem 5 sólidos platônicos?

Essa pergunta pode ser comum para muitos estudantes durante sua vida, pelo menos para mim foi. Quando estudamos Geometria Espacial nos deparamos com esses sólidos bem peculiares descobrimos que só existem apenas cinco deles, mas por quê? É isso que iremos descobrir durante essa postagem, boa leitura!

DESAFIO: Quadriláteros e Paralelogramos

Hoje o Giga Matemática inicia um novo tipo de postagem, a POSTAGEM DESAFIO, aqui o leitor será desafiado à provar algum fato interessante relacionado à matemática, o leitor terá o prazo de uma semana para enviar a resposta, ao final da semana a resposta (ou respostas) serão divulgadas aqui com os devidos créditos.

O Desafio de hoje é o seguinte:

Video da postagem "Qual a distância até a linha do horizonte?"

Olá pessoal, a postagem hoje é para divulgar o resultado de uma parceria do Giga Matemática com o blog Matemática Rio. No vídeo é apresentado a postagem Qual a distância da linha do horizonte?. Visualizem abaixo:







Não deixem de visitar o blog matemática rio e visitar o canal matematicario

Até mais !

Qual a "distância" da Linha do Horizonte?

Quando eu era criança fui à praia para um dia de lazer, sempre fui muito curioso e sempre queria ter uma explicação para todas as coisas (talvez isso me motivou escolher a Matemática), dessa vez me deparei com a Linha do Horizonte e me perguntei:

- Qual a distância da beira da praia até a linha do horizonte?

Fiquei bastante intrigado, até perguntei pra algumas pessoas, mas elas não souberam me responder naquele momento, resolvi então deixar para depois, pensei que no futuro talvez soubesse a resposta para essa dúvida. Os anos passaram e no último sábado estava em minha casa navegando na Internet e me deparei com a imagem do início dessa postagem e novamente me veio a pergunta não respondida da minha infância, mas dessa vez sabia que eu mesmo podia chegar ao resultado, e é essa experiência que compartilho hoje com os leitores do Giga Matemática.

Calendário Permanente

Na postagem anterior, falamos de um método utilizado para descobrir o dia da semana em que uma data ocorreu, nos comentários o leitor Renan Santos fez uma observação sobre a praticidade do método (Clique aqui para ver o comentário), e de fato, o método anterior é um pouco demorado e exige um pouco de velocidade nos cálculos mentais, como sugestão o mesmo citou o Calendário Permanente, e é sobre isso que iremos falar agora!

Não se sabe quem inventou o calendário permanente, mas tudo leva a crer que a "culpa" foi de um matemático, esse calendário é uma forma matemática de se descobrir onde caiu um dia da semana em qualquer data entre os anos de 1901 e 2092. Veja o mesmo abaixo:

Fonte: quediaehoje.net

Fonte: quediaehoje.net

 Mas como utilizá-lo? É mais simples que o método anterior, dada uma data basta seguir os seguintes passos:

Passo 1: Encontrar o ano na Tabela A;

Passo 2: Seguindo na mesma linha à direita localizar o número na Tabela B associado ao mês considerado;

Passo 3: Adicionar ao número encontrado no Passo 2, o dia desejado;

Passo 4: Verificar o resultado na Tabela C.

Como Descobrir o Dia da Semana em que Você Nasceu

Parece mágica, mas o que o personagem da tirinha fez é possível e tem uma explicação matemática.
Primeiramente dê uma olhada no calendário de 1986:

Realmente o personagem acertou! Mas como isso é possível?

De fato, existe uma regra  para determinarmos o dia da semana de qualquer data entre 01 de Janeiro de 1900 até 2399. Basta seguir os seguintes passos:

Passo 1: Calcule quantos anos se passaram desde 1900 até o ano em que você nasceu. Chamaremos esse valor de A.

Passo 2: Calcule quantos 29 de Fevereiro existiram depois de 1900. Para isso, basta dividir por 4 o valor de A, sem considerar o resto da divisão. Chamaremos esse valor de B. Caso seja ano bissexto e a data for anterior  ou igual  a 29 de Fevereiro, considere então  B-1.

Passo 3: Considerando o mês do nascimento, obtenha o número associado a ele (que chamaremos de C), que está presente na seguinte tabela:

Passo 4: Considere o dia do nascimento x. Calcule x-1, chamaremos essa quantidade de D.

Passo 5: Some os quatro valores anotados A,B (ou B-1), C e D então divida o resultado por 7 e tome o resto dessa divisão, após isso confira o dia da semana associado à esse resto:

Intuição x Matemática

Muitas vezes antes de tentarmos resolver um problema de matemática temos um "pré-resultado" formado em nossas mentes, ou seja, um resultado que já era esperado, por exemplo, ao efetuar a multiplicação de dois números com dois dígitos temos a "intuição" de que a resposta será possivelmente um número de três ou quatro dígitos (de fato, pois se considerarmos dois números de dois dígitos eles terão a forma $(ab)_{10}$ e $(cd)_{10}$, assim, ao efetuarmos a multiplicação teremos o seguinte resultado: $(10a+b)\cdot (10c+d) = 100a+10(ad+bc)+bd$, o resultado possui ao menos três dígitos) , nesse caso a nossa intuição foi uma ferramenta útil, mas existem casos onde não podemos confiar em nossa intuição, apresentaremos duas situações onde você irá se surpreender com a resposta, veja:

Caso 1: Considere um campo de futebol com 100m de comprimento por 50m de largura, um jogador decide amarrar uma corda inelástica em cada extremidade do comprimento desse campo (para isso ele fixa as pontas da corda em cada uma das traves), de modo que a corda fique totalmente esticada e tocando o gramado (note que a corda possui extamente 100m), após esse procedimento o jogador "aumenta" o comprimento em  apenas 1m e realiza o mesmo procedimento, como a corda ficou frouxa o jogador decide ir até o centro do gramado e levantar a corda até que a mesma fique novamente esticada. Pergunto, quantos centímetros ( ou metros) o jogador conseguirá levantar a corda acima do gramado até que ela fique totalmente esticada?

Se nos deixarmos levar por nossa intuição seremos levados a crer que o jogador conseguirá erguer a corda à alguns centímetros do gramados até que a mesma fique esticada, mas se fizermos os cálculos veremos que o jogador nem sequer conseguirá atingir a tal altura, pois não existem ser humanos com um pouco mais de 7 metros! Isso mesmo, a corda pode ser erguida à uma altura de aproximadamente 7 metros e 9 centímetros, se duvida disso, basta utilizar o teorema de pitágoras como abaixo:

Assim, temos:

$$50,5^2=h^2+50^2$$

$$h=\sqrt{50,5^2-50^2}$$

$$h\approx 7,09 m$$

Esse resultado é totalmente contra intuitivo, pois estávamos esperando um resultado bem menor.

Progressões Aritméticas Com Números Primos

Este artigo foi enviado pelo leitor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) e adaptado por mim. Participe você também enviando seus artigos ou sugestões, basta clicar na aba Enviar Arquivo logo acima.

Fonte: Science Blogs

 Você já imaginou quantos números primos existem? Pois saiba que eles são infinitos, ou seja, sempre haverá um primo que é maior que um número qualquer dado. Mas a questão é: Como os primos se distribuem sobre a reta? Existe uma "lei" que rege a "aparição" dos primos ao decorrer da reta?

Para entender um pouco do que trata esta postagem imagine a seguinte situação:
 

 

Um carteiro está encarregado de entregar as correspondências de algumas casas na Rua dos Inteiros, ele deverá entregar a primeira casa no primo 2, depois no primo 3, depois no primo 5, e assim sucessivamente. 

Depois de entregar a carta na primeira casa, ele percebe que o próximo destinatário é o vizinho, depois desta casa a próxima é "pulando" um número, o próximo tambem, mas o posterior está à três casas de distâncias, daí em diante o carteiro percebe que os destinatários estão cada vez mais distantes um dos outros, algumas vezes três ou mais destinatártios se encontram à mesma distância. Ele percebe então que o trabalho não será fácil hoje!!!

Na história, a rua representa o conjunto dos inteiros positivos que contém números primos e não-primos, cada destinatário reprenta um número primo, vale salientar as seguintes propriedades sobre os primos:

1) A distância entre dois primos aumenta a medida que prosseguimos na contagem dos números inteiros.

2) Alguns primos se encontram a mesma distância, ou seja, existe uma RAZÃO na sua distância.

Para saber sobre alguns fatos interessantes sugiro que leia a postagem Teorema Interessantes sobre Números Primos do Prof. Paulo Sérgio.

Em relação ao apontamento 1) indico a leitura do artigo Deserto Entre Números Primos que está no Blog O Baricentro da Mente e que foi enviado por este mesmo leitor (Prof. Sebá)

O artigo se focará no segundo apontamento, um estudo sobre P.A.'s entre os números primos.

Observação: Vale ressaltar que uma P.A. é uma sequência formada com pelo menos 3 elementos e que possuem razão constante.

Primeiramente iremos verificar a EXISTÊNCIA de algumas Progressões entre os primos compreendidos entre 2 e 500.

Teorema da Bola Cabeluda

Imagine a seguinte situação: Você acorda de manhã e nota que seus cabelos estão um pouco desalinhados e você decide penteá-los, mas não pode ser de qualquer forma, você possui seu "penteado" e gasta o tempo que for necessário para deixá-lo completamente penteado. Alguns tipos de cabelos, como o do autor deste blog, insistem em não ser penteados adequadamente e exibem o famoso "redemoinho" no alto da cabeça, e aí não adianta nem tentar, isso gastará tanto tempo que você provavelmente irá desistir de tentar. Mas você pensou em pentear uma bola (esfera) que está completamente coberta de pelos (fios de cabelo)? Afirmo uma coisa: Será IMPOSSÍVEL realizar este feito, e isso é provado matematicamente! Podemos dizer o seguinte:

"É impossível pentear uma bola coberta de pelos de forma que não existam buracos ou redemoinhos"

 Um enunciado mais formal para este fato é o que se segue:

"Todo campo vetorial contínuo tangente sobre a esfera terá um ponto de singularidade."

Este teorema foi enunciado no final do século 19 pelo matemático Henri Poincaré (Imagem acima à esquerda) e uma prova rigorosa surgiu em 1912 com Luitzen Brouwer (Imagem acima à direita). 

Este resultado é estudado na área de Topologia e possui muitas aplicações, como veremos a seguir.

Por que uma mesa com três pernas não balança?

Em um domingo qualquer eu estava almoçando e algo me incomodava, toda vez que algém se apoiava sobre a mesa, ela pendia para um lado e retornava a sua posição quando esta pessoa se afastava dela, e esse processo se repetia diversas vezes. Até então estava conformado em saber que "coisas" caem, 1+1=2 e mesas balançam, mas isso mudou quando me deparei com uma mesa bem peculiar, ela tinha apenas três pernas, no momento eu me questionei sobre a firmesa daquela mesa, ora, se uma mesa com quatro pernas balança, então esta com três deve desabar se colocarmos algo sobre ela, para a minha surpresa a mesa não balançou quando coloquei um objeto sobre ela e achei incrível este fato, me perguntei no mesmo instante:

- Por que uma mesa com três pernas não balança?

Um Problema de Geometria Analítica

Olá caros leitores do Giga Matemática, como vocês devem ter percebido, o blog ficou um tempo sem ser atualizado, isso se deve à corrreria no meio acadêmico em que vivo. Como uma postagem de volta trago à vocês mais uma questão enviada por um leitor do blog (Vocês estão me surpreendendo cada vez mais!), A questão, juntamente com a solução, foi enviada pelo leitor Alexandre Lima, quando vi a mesma fiquei muito entusiasmado, pois essa questão se mostra bastante perspicaz, assim segue a mesma abaixo:

Construção do Problema:
No primeiro quadrante, ligue com uma reta todos os pontos, inteiros, do eixo das ordenadas com o eixo das abcissas , tais que a soma seja constante. Seja o valor da soma .

Figura gerada para k =11

Desafio: Calcular a área dessa região em função de .

Explicação: Suponha que o valor da constante seja igual a , assim, os pontos do primeiro quadrante da forma e que devem se ligados são aqueles tais que .
Portanto, existem pares de números inteiros tais que a soma seja . Assim, ligamos os seguintes pontos:

com o ponto

com o ponto

com o ponto

com o ponto  

com  o ponto  

O problema consiste em calcular a área dessa região.

Solução encontrada pelo Leitor:

Tentando dar uma Demostração para o Último Teorema de Fermat (Parte 2)

Olá caros leitores, quem acompanhou a última postagem (Tentando dar uma Demonstração para o Último Teorema de Fermat (Parte 1)) viu toda trajeória deste incrível teorema, que agora se chama Teorema de Fermat-Wiles devido a demonstração do mesmo pelo matemático britânico Andrews Wiles, e como prometido irei apresentar a vocês uma tentativa para demonstrar o último teorema de Fermat utilizando recursos mais acessíveis. 
Este artigo foi enviado pelo Prof. Sebá (Sebastião Vieira do Nascimento) e é com muito prazer que aqui eu o apresento esta demonstração:

Primeiramente apresentamos alguns casos particulares do Último Teorema de Fermat:

Lema 1 (Caso n=4). Não há solução inteira positiva para a equação 

.

Prova: Basta ver que 

e considerar a terna .

Em geral podemos provar o caso onde .

Lema 2 (Caso n=4k). Não há solução inteira positiva para a equação 

 

Prova: Basta notar que 

e considerar a terna .

Na verdade podemos ir mais além: Se é um inteiro que possui um fator primo ímpar, então se provarmos que não tem solução inteira positiva, teremos provado que também não possui solução inteira, onde .

Teorema de Sebá: