O Corpo dos Números Complexos - Parte 1

Hoje o Giga Matemática abre espaço para mais uma publicação do Leitor.

Quem enviou o artigo de hoje foi o leitor João, direto de Portugal.

 João conta que decidiu escrever esse artigo pois acha a Teoria dos Corpos, Anéis e Grupos em Álgebra Abstrata uma teoria muito interessante do nível do raciocínio e das demonstrações.

Primeiramente devemos nos perguntar, o que é um corpo?

Antes de definirmos corpo, iremos definir uma ideia mais básica, a definição de anel.

Video da postagem "Qual a distância até a linha do horizonte?"

Olá pessoal, a postagem hoje é para divulgar o resultado de uma parceria do Giga Matemática com o blog Matemática Rio. No vídeo é apresentado a postagem Qual a distância da linha do horizonte?. Visualizem abaixo:







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Até mais !

As consequências do Teorema do Valor Intermediário

Olá, hoje iremos tratar de um resultado bastante simples (essa é minha opinião) em análise real, mas que possui bastantes aplicações, tanto em resolução de problemas de matemática quanto na prática.

Esse resultado é o Teorema do Valor Intermediário, iremos enunciá-lo logo abaixo:

Teorema ( Teorema do Valor Intermediário): Seja $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ contínua. Se $f(a)<d<f(b)$ então existe $c\in (a,b)$ tal que $f(c)=d$.

Vamos entender os elementos envolvidos nesse teorema:

Qual a "distância" da Linha do Horizonte?

Quando eu era criança fui à praia para um dia de lazer, sempre fui muito curioso e sempre queria ter uma explicação para todas as coisas (talvez isso me motivou escolher a Matemática), dessa vez me deparei com a Linha do Horizonte e me perguntei:

- Qual a distância da beira da praia até a linha do horizonte?

Fiquei bastante intrigado, até perguntei pra algumas pessoas, mas elas não souberam me responder naquele momento, resolvi então deixar para depois, pensei que no futuro talvez soubesse a resposta para essa dúvida. Os anos passaram e no último sábado estava em minha casa navegando na Internet e me deparei com a imagem do início dessa postagem e novamente me veio a pergunta não respondida da minha infância, mas dessa vez sabia que eu mesmo podia chegar ao resultado, e é essa experiência que compartilho hoje com os leitores do Giga Matemática.

Calendário Permanente

Na postagem anterior, falamos de um método utilizado para descobrir o dia da semana em que uma data ocorreu, nos comentários o leitor Renan Santos fez uma observação sobre a praticidade do método (Clique aqui para ver o comentário), e de fato, o método anterior é um pouco demorado e exige um pouco de velocidade nos cálculos mentais, como sugestão o mesmo citou o Calendário Permanente, e é sobre isso que iremos falar agora!

Não se sabe quem inventou o calendário permanente, mas tudo leva a crer que a "culpa" foi de um matemático, esse calendário é uma forma matemática de se descobrir onde caiu um dia da semana em qualquer data entre os anos de 1901 e 2092. Veja o mesmo abaixo:

Fonte: quediaehoje.net

Fonte: quediaehoje.net

 Mas como utilizá-lo? É mais simples que o método anterior, dada uma data basta seguir os seguintes passos:

Passo 1: Encontrar o ano na Tabela A;

Passo 2: Seguindo na mesma linha à direita localizar o número na Tabela B associado ao mês considerado;

Passo 3: Adicionar ao número encontrado no Passo 2, o dia desejado;

Passo 4: Verificar o resultado na Tabela C.

Como Descobrir o Dia da Semana em que Você Nasceu

Parece mágica, mas o que o personagem da tirinha fez é possível e tem uma explicação matemática.
Primeiramente dê uma olhada no calendário de 1986:

Realmente o personagem acertou! Mas como isso é possível?

De fato, existe uma regra  para determinarmos o dia da semana de qualquer data entre 01 de Janeiro de 1900 até 2399. Basta seguir os seguintes passos:

Passo 1: Calcule quantos anos se passaram desde 1900 até o ano em que você nasceu. Chamaremos esse valor de A.

Passo 2: Calcule quantos 29 de Fevereiro existiram depois de 1900. Para isso, basta dividir por 4 o valor de A, sem considerar o resto da divisão. Chamaremos esse valor de B. Caso seja ano bissexto e a data for anterior  ou igual  a 29 de Fevereiro, considere então  B-1.

Passo 3: Considerando o mês do nascimento, obtenha o número associado a ele (que chamaremos de C), que está presente na seguinte tabela:

Passo 4: Considere o dia do nascimento x. Calcule x-1, chamaremos essa quantidade de D.

Passo 5: Some os quatro valores anotados A,B (ou B-1), C e D então divida o resultado por 7 e tome o resto dessa divisão, após isso confira o dia da semana associado à esse resto:

Intuição x Matemática

Muitas vezes antes de tentarmos resolver um problema de matemática temos um "pré-resultado" formado em nossas mentes, ou seja, um resultado que já era esperado, por exemplo, ao efetuar a multiplicação de dois números com dois dígitos temos a "intuição" de que a resposta será possivelmente um número de três ou quatro dígitos (de fato, pois se considerarmos dois números de dois dígitos eles terão a forma $(ab)_{10}$ e $(cd)_{10}$, assim, ao efetuarmos a multiplicação teremos o seguinte resultado: $(10a+b)\cdot (10c+d) = 100a+10(ad+bc)+bd$, o resultado possui ao menos três dígitos) , nesse caso a nossa intuição foi uma ferramenta útil, mas existem casos onde não podemos confiar em nossa intuição, apresentaremos duas situações onde você irá se surpreender com a resposta, veja:

Caso 1: Considere um campo de futebol com 100m de comprimento por 50m de largura, um jogador decide amarrar uma corda inelástica em cada extremidade do comprimento desse campo (para isso ele fixa as pontas da corda em cada uma das traves), de modo que a corda fique totalmente esticada e tocando o gramado (note que a corda possui extamente 100m), após esse procedimento o jogador "aumenta" o comprimento em  apenas 1m e realiza o mesmo procedimento, como a corda ficou frouxa o jogador decide ir até o centro do gramado e levantar a corda até que a mesma fique novamente esticada. Pergunto, quantos centímetros ( ou metros) o jogador conseguirá levantar a corda acima do gramado até que ela fique totalmente esticada?

Se nos deixarmos levar por nossa intuição seremos levados a crer que o jogador conseguirá erguer a corda à alguns centímetros do gramados até que a mesma fique esticada, mas se fizermos os cálculos veremos que o jogador nem sequer conseguirá atingir a tal altura, pois não existem ser humanos com um pouco mais de 7 metros! Isso mesmo, a corda pode ser erguida à uma altura de aproximadamente 7 metros e 9 centímetros, se duvida disso, basta utilizar o teorema de pitágoras como abaixo:

Assim, temos:

$$50,5^2=h^2+50^2$$

$$h=\sqrt{50,5^2-50^2}$$

$$h\approx 7,09 m$$

Esse resultado é totalmente contra intuitivo, pois estávamos esperando um resultado bem menor.