Um Problema de Geometria Analítica

Olá caros leitores do Giga Matemática, como vocês devem ter percebido, o blog ficou um tempo sem ser atualizado, isso se deve à corrreria no meio acadêmico em que vivo. Como uma postagem de volta trago à vocês mais uma questão enviada por um leitor do blog (Vocês estão me surpreendendo cada vez mais!), A questão, juntamente com a solução, foi enviada pelo leitor Alexandre Lima, quando vi a mesma fiquei muito entusiasmado, pois essa questão se mostra bastante perspicaz, assim segue a mesma abaixo:

Construção do Problema:
No primeiro quadrante, ligue com uma reta todos os pontos, inteiros, do eixo das ordenadas com o eixo das abcissas , tais que a soma seja constante. Seja o valor da soma .

Figura gerada para k =11

Desafio: Calcular a área dessa região em função de .

Explicação: Suponha que o valor da constante seja igual a , assim, os pontos do primeiro quadrante da forma e que devem se ligados são aqueles tais que .
Portanto, existem pares de números inteiros tais que a soma seja . Assim, ligamos os seguintes pontos:

com o ponto

com o ponto

com o ponto

com o ponto  

com  o ponto  

O problema consiste em calcular a área dessa região.

Solução encontrada pelo Leitor: