A Matemática das Bolas de Futebol e Fulerenos

Olá leitores, aproveito o clima de copa do mundo para trazer uma curiosidade matemática envolvendo a forma das bolas de futebol e os fulerenos.

Os fulerenos são uma forma alotrópica do Carbono, foram descobertos acidentalmente em 1985 por três químicos, que posteriormente ganhariam o prêmio Nobel de Química por essa descoberta, foram eles:

 

Harold W. Kroto, Robert F. Curl e Richard E. Smalley, inicialmente essa estrutura molecular foi batizada de Buckminsterfulereno ($C_{60}$). Note que essa estrutura molecular possui exatamente 60 átomos de carbono, então guarde bem essa informação:

O Fulereno $C_{60}$ possui 60 átomos em sua composição.

Abaixo temos uma representação tridimensional dessa estrutura, note a semelhança da mesma com uma bola de futebol.

Aritmética Modular + Solução do Desafio "Combinando Dígitos"

Olá pessoal, hoje apresentarei a solução do desafio proposto anteriormente aqui blog, quer tentar resolvê-lo antes de prosseguir essa postagem? então clique aqui! 

Antes de fornecer a resposta temos que lembrar o conceito de congruência modular.

Desafio: Combinando Dígitos

Olá Pessoal, trago para vocês mais um desafio do Giga Matemática!

Dessa vez o desafio é bem simples de enunciar, mas você precisa de um pouco de tempo para respondê-lo, ou será que não? 

O desafio é o seguinte:

Considere os 16 dígitos abaixo

$2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9.$

Eles podem ser combinados de modo a criar dois números $A$ e $B$ de 8 dígitos cada, de modo que $B=2A$?

Por exemplo, podemos considerar

$A=24346788$ e $B=52979356$,

porém $2A=48693576$, ou seja, essa combinação funciona.

O desafio foi lançado, você acha que consegue resolver este desafio de um modo tão simples como ele foi enunciado? Será que é possível tal combinação, em caso afirmativo, que combinação é essa? Em caso negativo, qual a razão de não podermos combiná-los?

As soluções podem ser enviadas clicando na aba Enviar Arquivo ou clicando aqui . As soluções serão publicadas aqui no blog!

Até mais ! 

O Teorema do Ponto Fixo em Dimensão 1

Olá Pessoal, estava meio sumido por dois motivos:

1) Estava estudando Análise Funcional para realizar a prova de Seleção do Programa de Doutorado em Matemática da UFC, o tempo passa muito rápido, um dia desses estava aqui no blog divulgando minha aprovação para ingressar no Mestrado, e agora não é diferente, tanto esforço valeu a pena, passei na seleção e iniciarei o Doutorado em Matemática no segundo semestre desse ano, para a minha surpresa passei em primeiro lugar no meu semestre!

2) Estou na reta final para concluir minha dissertação, última etapa para obter o grau de Mestre em Matemática, talvez eu fale um pouco do que eu abordei na minha dissertação em outra postagem.

Agora retomando as atividades, essa será a primeira de três postagens no Teoremas de Ponto Fixo.

Existem vários teoremas sobre ponto fixo, tentarei apresentar aos leitores alguns desses teoremas, alguns desses teoremas possuem uma prova um pouco mais avançada, mas tentarei ser bastante objetivo em relação à isso, a nossa motivação será encontrar aplicações desses teoremas em problemas matemáticos e no cotidiano.

Mas o que é um ponto fixo? Um ponto fixo é um ponto que não é alterado por uma aplicação, assim, o ponto fixo depende da aplicação escolhida. Por exemplo, a aplicação $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$ possui dois pontos fixos, nesse caso $x=0$ e $x=1$. De fato,

$$f(x)=x\Leftrightarrow x^2=x\Leftrightarrow x(x-1)=0\Leftrightarrow x=0\ \mbox{ou}\ x=1 $$

É fácil ver que na aplicação identidade $Id(x)=x$ todos os pontos do domínio são pontos fixos.

O primeiro teorema sobre ponto fixo será o caso real, ou seja, nosso espaço será $\mathbb{R}$. Antes de enunciarmos o teorema, vejamos o significado geométrico do ponto fixo.

Como observamos antes, a aplicação identidade possui pontos fixos em toda reta, se considerarmos no mesmo gráfico a aplicação identidade e uma outra aplicação de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$, obtemos a seguinte figura:

Fonte: Wikipédia

Assim, os pontos fixos são os pontos do gráfico que pertencem à imagem da aplicação identidade.