Giga Matemática: maio 2011

quarta-feira, 25 de maio de 2011

A Agulha de Buffon

Durante o século XVIII, o matemático e naturalista francês Conde de Buffon estava interessado na probabilidade de uma agulha de comprimento $[;\ell;]$ lançada num plano marcado por linhas paralelas tocar numa destas linhas marcadas. Essas linhas estão separadas por uma distância [;d;]

das outras, onde $[;d\geq \ell;]$ . Mantemos constante os valores [;d;]

e $[;\ell;]$ , lançamos a agulha, queremos saber se houve, ou não, o contato entre essa agulha e alguma das linhas. Para calcular a probabilidade dessa agulha tocar uma das linhas procedemos da seguinte maneira:

Calcula-se as possibilidades da agulha "tocar" uma das linhas, chamamos essas possibilidades de , ou seja, possibilidades favoráveis;
Em seguida calculamos as possibilidades totais de a agulha tocar ou não umas das linhas, chamamos essas possibilidades de , ou seja, possibilidades totais;
Por último, calculamos a probabilidade da agulha tocar uma das linhas, fazemos isso dividindo os casos favoráveis pelo caso total.

I - POSSIBILIDADES TOTAIS :

Seja,

, a distância entre duas linhas paralelas;
$[;\ell;]$ , o comprimento da agulha;
[;C;]

, o centro dessa agulha;
$[;\theta;]$ , o ângulo formado entre a agulha e a horizontal paralela as linhas;
[; x;]

, ditância entre o centro da agulha e a linha mais próxima.

Note que a distância [; x;]

não depende do comprimento da agulha, sendo [;x=0;]

quando o centro [;C;]

estiver sobre uma das linhas e [;x=d/2;]

quando o centro [;C;]

estiver na metade da distância entre as linhas, assim,

$[;0\leq x\leq d/2 \quad (1);]$

Veja que o ângulo $[;\theta;]$ não depende da posição do ponto [;C;]

, e esse ângulo sempre terá seu valor compreendido entre [;0;]

e $[;\pi;]$ , assim

$[;0\leq\theta\leq\pi\quad (2);]$

A região do plano cartesiano que representa as condições [;(1);]

está desenhada abaixo:

Portanto, $[;p_t=A_1=\frac{\pi d}{2};]$ .

II - POSSIBILIDADES FAVORÁVEIS:

Neste caso, consideramos os casos onde a agulha toca, ou cruza, uma das linhas, para isso $[;x\leq y;]$ (veja na figura acima esse fato).

Agora, $[;sen\theta=y/(\ell/2);]$ , assim $[;y=(\ell/2)sen\theta;]$ .

Portanto, $[;x\leq (\ell/2)sen\theta;]$ e temos as condições $[;0\leq \theta\leq\pi;]$ e $[;0\leq x\leq d/2;]$ .

Representamos essa região abaixo:

Assim

, note que a área [;A_2;]

é a área compreendida entre os eixos coordenados e a curva $[;x=(\ell/2)sen\theta;]$ , logo

$[;A_2=\int_{0}^{\pi} \left(\frac{\ell}{2}\right)sen\theta d\theta;]$

$[;A_2=\left(\frac{\ell}{2}\right)\left[-cos\pi + cos 0\right];]$

$[;A_2=\left(\frac{\ell}{2}\right)[1+1]=\left(\frac{\ell}{2}\right)\cdot 2;]$

$[;A_2=\ell;]$

III - PROBABILIDADE:

Como dissemos anteriormente, o cálculo da probabilidade da agulha tocar ou cruzar alguma das linhas será a razão entre os casos favoráveis e os casos totais, assim:

$[;P=\frac{p_f}{p_t};]$