terça-feira, 29 de novembro de 2011

Novidade no Giga Matemática

Tem novidade no Giga Matemática, agradeço ao Kléber do blog O Baricentro da Mente pelas dicas.

O Giga Matemática possui uma uma página especifica onde você poderá clicar e acessar rapidamente tudo o que já foi publicado aqui, basta clicar abaixo do Banner do blog em "Arquivo GM"
Ali você encontra a lista de todas as postagens por ordem de publicação!


Outra novidade é em relação à formatação das equações do blog. Logo no início o Giga Matemática utilizava um plugin do Mozilla, o greasy monkey, com o tempo percebi alguns problemas:
  • A formatação não é muito fiel à formatação do $\LaTeX$;
  • Os comentários não poderiam ser feitos utilizando o plugin;
  • Alguns usuários não visualizavam as fórmulas devido ao navegador utilizado;
  • O autor deste blog ficava preso à somente utilizar o Mozilla para publicar as postagens.
Mas agora isso tudo acabou, o blog passa a utilizar uma scrit incorporado ao html do blog, trata-se do Mathjax. Agora, os leitores poderão escrever fórmulas nos comentários, para isso basta seguir os seguintes passos:
  1. Escreva sua fórmula no formato $\LaTeX$ entre os símbolos \$ FÓRMULA \$;
  2. Por exemplo, se você quiser escrever a fórmula $e^{i\pi}+1=0$, basta escrever o seguinte texto: \$ e^{i\pi}+1=0\$.
Veja aqui a primeira publicação do Giga Matemática utilizando este recurso:

Com isso os leitores poderão comentar utilizando fórmulas, visualizar o blog em qualquer navegador, até mesmo no celular e irá usufruir de uma bonita formatação!!!

O Giga Matemática se constrói com sua sugestão e seus comentários, não deixe de enviar sua sugestão, basta clicar na Aba Contato abaixo do Banner.

Até mais !

Teorema da Bola Cabeluda

Imagine a seguinte situação: Você acorda de manhã e nota que seus cabelos estão um pouco desalinhados e você decide penteá-los, mas não pode ser de qualquer forma, você possui seu "penteado" e gasta o tempo que for necessário para deixá-lo completamente penteado. Alguns tipos de cabelos, como o do autor deste blog, insistem em não ser penteados adequadamente e exibem o famoso "redemoinho" no alto da cabeça, e aí não adianta nem tentar, isso gastará tanto tempo que você provavelmente irá desistir de tentar. Mas você pensou em pentear uma bola (esfera) que está completamente coberta de pelos (fios de cabelo)? Afirmo uma coisa: Será IMPOSSÍVEL realizar este feito, e isso é provado matematicamente! Podemos dizer o seguinte:

"É impossível pentear uma bola coberta de pelos de forma que não existam buracos ou redemoinhos"

 Um enunciado mais formal para este fato é o que se segue:

"Todo campo vetorial contínuo tangente sobre a esfera terá um ponto de singularidade."

Este teorema foi enunciado no final do século 19 pelo matemático Henri Poincaré (Imagem acima à esquerda) e uma prova rigorosa surgiu em 1912 com Luitzen Brouwer (Imagem acima à direita). 
Este resultado é estudado na área de Topologia e possui muitas aplicações, como veremos a seguir.

terça-feira, 8 de novembro de 2011

Conjuntos Enumeráveis

Desde o surgimento da matemática a humanidade utiliza os números para representar quantidades, medir distâncias, calcular, etc.
Quando você escuta a expressão "contar", o que lhe vem à mente? Você pode dizer contar, classificar, ENUMERAR, note que a última palavra chama bastante atenção, pois a mesma designa a possibilidade de "contar" os elementos de um conjunto. No dia-a-dia nos deparamos com situações diversas, onde temos que contar, enumerar objetos, no cotidiano você dispõe de um ambiente e objetos inseridos nele, na matemática temos conjuntos e elementos pertencentes à este conjunto, por isso vamos definir o que é um conjunto enumerável.
Definição: Um conjunto $K$ é dito enumerável se um dos critérios abaixo for válido:
(a) $K$ é finito;
(b) Existe uma bijeção $f:\mathbb{N}\rightarrow K$.

No segundo caso, dizemos que $K$ é um conjunto infinito enumerável.

Observe que o caso (a) é óbvio, pois podemos "contar" os elementos de um conjunto finito, o segundo caso deverá ser discutido um pouco mais.

Um conjunto infinito enumerável é aquele que possui infinitos termos, porém somos capazes de nomear cada um deles, considere o conjunto $X=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}$ um conjunto finito, encontramos facilmente uma bijeção deste conjunto com os naturais, será dada por $f(n)=x_n$, assim, $x_1=f(1),x_2=f(2),\ldots,x_n=f(n),\ldots$.

Um conjunto infinito não-enumerável é aquele que possui uma infinidade tão imensa de termos que não somos capazes de "registrar" todos eles, o maior exemplo de conjunto não enumerável é o conjunto dos números reais $\mathbb{R}$, não somos capazes de exibir pelo menos uma bijeção entre os reais e os naturais, ou seja, os reais possuem mais elementos que possamos imaginar!

terça-feira, 11 de outubro de 2011

Por que uma mesa com três pernas não balança?

Em um domingo qualquer eu estava almoçando e algo me incomodava, toda vez que algém se apoiava sobre a mesa, ela pendia para um lado e retornava a sua posição quando esta pessoa se afastava dela, e esse processo se repetia diversas vezes. Até então estava conformado em saber que "coisas" caem, 1+1=2 e mesas balançam, mas isso mudou quando me deparei com uma mesa bem peculiar, ela tinha apenas três pernas, no momento eu me questionei sobre a firmesa daquela mesa, ora, se uma mesa com quatro pernas balança, então esta com três deve desabar se colocarmos algo sobre ela, para a minha surpresa a mesa não balançou quando coloquei um objeto sobre ela e achei incrível este fato, me perguntei no mesmo instante:

- Por que uma mesa com três pernas não balança?

sexta-feira, 2 de setembro de 2011

Um Problema de Geometria Analítica

Olá caros leitores do Giga Matemática, como vocês devem ter percebido, o blog ficou um tempo sem ser atualizado, isso se deve à corrreria no meio acadêmico em que vivo. Como uma postagem de volta trago à vocês mais uma questão enviada por um leitor do blog (Vocês estão me surpreendendo cada vez mais!), A questão, juntamente com a solução, foi enviada pelo leitor Alexandre Lima, quando vi a mesma fiquei muito entusiasmado, pois essa questão se mostra bastante perspicaz, assim segue a mesma abaixo:

Construção do Problema:
No primeiro quadrante, ligue com uma reta todos os pontos, inteiros, do eixo das ordenadas [;(0,y);] com o eixo das abcissas [;(x,0);], tais que a soma [;x+y;] seja constante. Seja [;k;] o valor da soma [;x+y;].
Figura gerada para k =11


Desafio: Calcular a área dessa região em função de [;k;].

Explicação: Suponha que o valor da constante seja igual a [;6;], assim, os pontos do primeiro quadrante da forma [;(x,0);] e [;(0,y);] que devem se ligados são aqueles tais que [;x+y=6;].
Portanto, existem [;5;] pares de números inteiros tais que a soma seja [;6;]. Assim, ligamos os seguintes pontos:
[;(0,5);] com o ponto [;(1,0);]
[;(0,4);] com o ponto [;(2,0);]
[;(0,3);] com o ponto [;(3,0);]
[;(0,2);] com o ponto [;(4,0);] 
[;(0,1);] com  o ponto [;(5,0);] 
O problema consiste em calcular a área dessa região.

Solução encontrada pelo Leitor:

quinta-feira, 28 de julho de 2011

Tentando dar uma Demostração para o Último Teorema de Fermat (Parte 2)

Olá caros leitores, quem acompanhou a última postagem (Tentando dar uma Demonstração para o Último Teorema de Fermat (Parte 1)) viu toda trajeória deste incrível teorema, que agora se chama Teorema de Fermat-Wiles devido a demonstração do mesmo pelo matemático britânico Andrews Wiles, e como prometido irei apresentar a vocês uma tentativa para demonstrar o último teorema de Fermat utilizando recursos mais acessíveis. 
Este artigo foi enviado pelo Prof. Sebá (Sebastião Vieira do Nascimento) e é com muito prazer que aqui eu o apresento esta demonstração:

Primeiramente apresentamos alguns casos particulares do Último Teorema de Fermat:

Lema 1 (Caso n=4). Não há solução inteira positiva para a equação 
[;x^4+y^4=z^4;].
Prova: Basta ver que 
[;x^4+y^4=z^4\Leftrightarrow\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2=\left(z^2\right)^2;]
e considerar a terna [;x^2,y^2,z^2;].

Em geral podemos provar o caso [;n=4k;] onde [;k\in\left{1,2,3,\ldots\right};].

Lema 2 (Caso n=4k). Não há solução inteira positiva para a equação 
[;x^{4k}+y^{4k}=z^{4k};] 
Prova: Basta notar que 
[;x^{4k}+y^{4k}=z^{4k}\Leftrightarrow (x^k)^4+(y^k)^4=(z^k)^4;]
e considerar a terna [;(x^k)^2,(y^k)^2,(z^k)^2;].

Na verdade podemos ir mais além: Se [;n;] é um inteiro que possui um fator primo [;p;] ímpar, então se provarmos que [;x^p+y^p=z^p;] não tem solução inteira positiva, teremos provado que [;x^{kp}+y^{kp}=z^{kp};] também não possui solução inteira, onde [;p=kp;].

Teorema de Sebá:

quarta-feira, 27 de julho de 2011

O Problema da Constante de Euler-Mascheroni

Este problema foi enviado pelo leitor e colaborador Prof. Aldenor Lemos, a motivação desta postagem veio do livro Logaritmos do Elon. o problema é o seguinte:
Mostre que a soma 
[;S_p=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p};]
é maior do que [;ln(p+1);] e conclua que [;\lim_{p\to\infty}S_p=\infty;]. Isto se escreve também assim:
[;1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p}+\cdots=\infty;] 
Solução: Para todo [x;] diferente de zero é verdade que [;e^x>x+1;].
Basta ver que [;e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots>1+x;] , assim [;e^x>1+x;] (Você pode ver uma prova geométrica aqui) , daí:
Fazendo [;x=\frac{1}{n};] , com [;n\in\mathbb{N};], temos:
[;e^{\frac{1}{n}}>\frac{1}{n}+1;]
Como a função logaritmo natural é monótona crecente (isto quer dizer que dados [;a>b\Rightarrow ln a>ln b;]), obtemos:
[;ln\left(e^{\frac{1}{n}}\right)>ln\left(\frac{1}{n}+1\right)\Rightarrow \frac{1}{n}>ln\left(\frac{1}{n}+1\right);]
Portanto,
[;\sum_{n=1}^p\frac{1}{n}\quad>\sum_{n=1}^p ln\left(\frac{1}{n}+1\right);]
Logo,
[;1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p}>ln(2)+ln\left(\frac{3}{2}\right)+ln\left(\frac{4}{3}\right)+\cdots+ln\left(\frac{p+1}{p}\right);] 
[;S_p>ln\left(2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{p+1}{p}\right);] 
[;S_p>ln(p+1);]
Conclusão:
[;lim_{p\to\infty} S_p=\infty;], pois [;lim_{p\to\infty}ln(P+1)=\infty;] .

Existem outras formas de solucionar esse problema, quem quiser saber mais entre em contato com o Giga aqui, ou envie seu arquivo aqui .
Não perca a continuação desta postagem, abordaremos o porque o título e o que é a constante de euler-mascheroni.
Bibliografia: Logaritmos - LIMA, Elon Lages; SBM, 4ª Edição, Rio de Janeiro 2009