Aritmética Modular + Solução do Desafio "Combinando Dígitos"

Olá pessoal, hoje apresentarei a solução do desafio proposto anteriormente aqui blog, quer tentar resolvê-lo antes de prosseguir essa postagem? então clique aqui! 

Antes de fornecer a resposta temos que lembrar o conceito de congruência modular.

O Corpo dos Números Complexos - Parte II

Hoje daremos continuidade ao artigo enviado pelo leitor João (Portugal), quem não viu a primeira parte pode clicar aqui e ver!

Segue o artigo enviando pelo João:

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Antes de continuar o meu artigo quero desde já agradecer ao Diego a oportunidade de postar aqui no blog o meu trabalho. Comecemos por dizer algumas propriedades do corpo dos complexos:

Números Autobiográficos + DESAFIO

Hoje apresento uma propriedade interessante de alguns números, como o título já informa, iremos falar dos números autobiográficos.

Definição: Um número autobiográfico é um número $N$ com no máximo 10 dígitos, tal que seu primeiro dígito informa quantos zeros $N$ possui, o segundo dígito informa quantos 1's $N$ possui, e assim sucessivamente.

Por exemplo, o número $3211000$ é um número autobiográfico, pois ele nos informa que ele possui três zeros, dois 1's, um 2, um 3, zero 4, zero 5, zero 6.

É fácil ver que não existem uma quantidade infinita de números autobiográficos, pois eles possuem no máximo 10 dígitos.

Note alguns fatos sobre esses números:

O Corpo dos Números Complexos - Parte 1

Hoje o Giga Matemática abre espaço para mais uma publicação do Leitor.

Quem enviou o artigo de hoje foi o leitor João, direto de Portugal.

 João conta que decidiu escrever esse artigo pois acha a Teoria dos Corpos, Anéis e Grupos em Álgebra Abstrata uma teoria muito interessante do nível do raciocínio e das demonstrações.

Primeiramente devemos nos perguntar, o que é um corpo?

Antes de definirmos corpo, iremos definir uma ideia mais básica, a definição de anel.

Progressões Aritméticas Com Números Primos

Este artigo foi enviado pelo leitor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) e adaptado por mim. Participe você também enviando seus artigos ou sugestões, basta clicar na aba Enviar Arquivo logo acima.

Fonte: Science Blogs

 Você já imaginou quantos números primos existem? Pois saiba que eles são infinitos, ou seja, sempre haverá um primo que é maior que um número qualquer dado. Mas a questão é: Como os primos se distribuem sobre a reta? Existe uma "lei" que rege a "aparição" dos primos ao decorrer da reta?

Para entender um pouco do que trata esta postagem imagine a seguinte situação:
 

 

Um carteiro está encarregado de entregar as correspondências de algumas casas na Rua dos Inteiros, ele deverá entregar a primeira casa no primo 2, depois no primo 3, depois no primo 5, e assim sucessivamente. 

Depois de entregar a carta na primeira casa, ele percebe que o próximo destinatário é o vizinho, depois desta casa a próxima é "pulando" um número, o próximo tambem, mas o posterior está à três casas de distâncias, daí em diante o carteiro percebe que os destinatários estão cada vez mais distantes um dos outros, algumas vezes três ou mais destinatártios se encontram à mesma distância. Ele percebe então que o trabalho não será fácil hoje!!!

Na história, a rua representa o conjunto dos inteiros positivos que contém números primos e não-primos, cada destinatário reprenta um número primo, vale salientar as seguintes propriedades sobre os primos:

1) A distância entre dois primos aumenta a medida que prosseguimos na contagem dos números inteiros.

2) Alguns primos se encontram a mesma distância, ou seja, existe uma RAZÃO na sua distância.

Para saber sobre alguns fatos interessantes sugiro que leia a postagem Teorema Interessantes sobre Números Primos do Prof. Paulo Sérgio.

Em relação ao apontamento 1) indico a leitura do artigo Deserto Entre Números Primos que está no Blog O Baricentro da Mente e que foi enviado por este mesmo leitor (Prof. Sebá)

O artigo se focará no segundo apontamento, um estudo sobre P.A.'s entre os números primos.

Observação: Vale ressaltar que uma P.A. é uma sequência formada com pelo menos 3 elementos e que possuem razão constante.

Primeiramente iremos verificar a EXISTÊNCIA de algumas Progressões entre os primos compreendidos entre 2 e 500.

Tentando dar uma Demostração para o Último Teorema de Fermat (Parte 2)

Olá caros leitores, quem acompanhou a última postagem (Tentando dar uma Demonstração para o Último Teorema de Fermat (Parte 1)) viu toda trajeória deste incrível teorema, que agora se chama Teorema de Fermat-Wiles devido a demonstração do mesmo pelo matemático britânico Andrews Wiles, e como prometido irei apresentar a vocês uma tentativa para demonstrar o último teorema de Fermat utilizando recursos mais acessíveis. 
Este artigo foi enviado pelo Prof. Sebá (Sebastião Vieira do Nascimento) e é com muito prazer que aqui eu o apresento esta demonstração:

Primeiramente apresentamos alguns casos particulares do Último Teorema de Fermat:

Lema 1 (Caso n=4). Não há solução inteira positiva para a equação 

.

Prova: Basta ver que 

e considerar a terna .

Em geral podemos provar o caso onde .

Lema 2 (Caso n=4k). Não há solução inteira positiva para a equação 

 

Prova: Basta notar que 

e considerar a terna .

Na verdade podemos ir mais além: Se é um inteiro que possui um fator primo ímpar, então se provarmos que não tem solução inteira positiva, teremos provado que também não possui solução inteira, onde .

Teorema de Sebá:

Tentando dar uma Demonstração ao Último Teorema de Fermat (Parte 1)

Por volta de 1635 o matemático Pierre de Fermat propôs o seguinte teorema com o enunciado bastante simples:
"Na seguinte equação

 

não existe nenhum conjunto de inteiros positivos e , com , que satisfaça a equação acima."
Apesar do enunciado aparentemente simples a prova deste fato não é nada simples, apesar de Fermat ter afirmado que possuia uma demonstração verdadeiramente maravilhosa, esta afirmação foi escrita nas margens do Aritmetica Diofanto e Fermat acrescentou o motivo de não ter exibido tal demonstração: "... mas esta margem é muito estreita para contê-la".
Depois disso uma dúvida ficou no ar: Fermat realmente teria uma prova para este fato? Estaria ela mentindo?
O Fato é que este problema desafiou inúmeros matemáticos durante mais de 300 anos, alguns amaldiçoavam a falta de espaço daquela margem, outros se esforçavam para tentar resolver este enigma, mas ninguém conseguia ter sucesso, somente em 1993 o matemático Andrews Wiles exibiu uma prova para o teorema, mas foram encontrado alguns erros em sua demonstração, o mesmo concertou os erros e apresentou novamente uma prova completamente correta para este fato.

Como citei inicialmente, o enunciado do Último Teorema de Fermat tem um enunciado tão simples que um aluno do ensino fundamental entenderia, porém a sua demonstração é tão complexa que até doutores não compreenderam completamente o que Willes havia feito, nem mesmo Fermat poderia sonhar em ter a mesma demonstração de Wiles.
Wiles utilizou em sua demonstração conceitos avançadíssimos de teoria dos números, tais como curvas elípticas, formas modulares e representações galoisianas, que não existiam na época de Fermat, por isso alguns matemáticos afirmam que Fermat apenas estava "desafiando" os matemáticos da sua época (como era seu costume).
Wiles provou um caso particular da Conjectura de Shimura-Taniyama, esta implicava o teorema de fermat.


Na segunda parte desta postagem será apresentada uma tentativa de demonstração do Prof. Sebá (Sebastião Vieira) para o Último Teorema de Fermat, não percam!

Introdução aos números Algébricos e Transcendentes

Mostramos em uma postagem anterior que o número é irracional, mas existe um fato interessante quanto a esse número:



Dado temos que continua sendo irracional. 

Mas por que isso ocorre? Teremos de mostrar isso para cada ?

O número , assim como outros números que apresentaremos aqui são o que denominamos transcendentes. Um número é transcendente quando não é algébrico. Assim, temos a definição a seguir:

Definição: Um número real é dito algébrico se é solução de alguma equação polinomial do tipo:

,

sendo que os coeficientes são todos  inteiros e . Dizemos que um número é trancendente quando não for algébrico.

Exemplos:  

O Porquê dos Complexos não ser um Corpo Ordenado

Quem é maior, 
$1+2i$ ou $2+1$ ?

Se você já se fez essa pergunta, com certeza se indagou motivo de não saber respondê-la, o motivo disso é o fato de que o corpo dos complexos não pode ser ordenado. Mas afinal, o que quer dizer um corpo ser "ordenado"? E por que os complexos não pode ser ordenado? Iremos responder essas perguntas ao decorrer desse artigo, por isso fique atento.

Definição: Um conjunto $X$ diz-se ordenado quando está definida entre seus elementos uma relação de ordem, ou seja, uma relação binária $x<y$, com as seguintes propriedades:

1. Dados $x$ e $y$ em $X$, temos que $x<y$, ou $y<x$, ou $x=y$, cada uma das possibilidades exclui as outras, denominamos isso de tricotomia.
2. Se $x<y$ e $y<z$ , então $x<z$ , denominamos isso de transitividade.

Olhando atentamente a definição acima vemos que podemos ordenar um conjunto qualquer de inúmeras formas.
Façamos o seguinte, vamos criar uma relação de ordem para o conjunto $\mathbb{C}$   dos complexos, chamaremos essa relação de "ordem do dicionário", definida da seguinte maneira:

Dados $z=a+bi$ e $w=c+di$, temos que $z<w$ quando $a<c$, ou seja, quando a parte real de $z$ é menor que a de $w$, analogamente temos $w<z$ quando $c<a$ . Se tivermos $a=c$, utilizamos os valores da parte imaginária dos números complexos dados, assim $z<w$ se $b<d$ e $w<z$ se $d<b$.

Irracionalidade do número "e"

Na postagem anterior mostramos a existência do número de Euler, agora prosseguiremos avançando nosso estudo desse número tão fascinante, e iremos mostrar que o número é irracional, começaremos definindo irracionalidade.

Definição: Um número da forma , com e  , é chamado racional. Um número é irracional quando não é racional.

Exemplo: O número é irracional.

Prova: Se fosse racional então existiriam , com tal que 

 

Assim, elevando ambos os membros ao quadrados temos:

 

Portanto,   , isso significa que é par, logo também é par (olhe a Observação 1), desse modo , , substituido em , temos:

Assim, também é par, e analogamente ao caso anterior, é par.

Absurdo, pois , logo não pode ser expresso na forma , logo é irracional.

  

Observação 1: Dado , se é par, então também é par.
Demonstração: Suponha que fosse ímpar, assim ,, e elevando essa última igualdade ao quadrado temos que:

 

, onde  e

Logo,   é ímpar, contradição, pois é par, essa contradição partiu do momento em que consideramos sendo ímpar, logo, se é par, então também é par.

Lema: O número de Euler pode ser calculado através da seguinte sequência

  

Demonstração: Sabemos que (Se não se lembra clique aqui), considere o seguinte número:

 

Note que , assim, usando o teorema do binõmio de Newton, temos que:

                                               

                                             
Se , então , logo , assim

                                       

 

Teorema: O número de Euler, , é irracional.

Demonstração:   Pelo Lema anterior, o número de Euler pode ser calculado através da sequência:

 

 Suponhamos, por absurdo que seja racional, dessa forma, , com (pois não é inteiro). Assim, cada termo da série inicial é racional, logo o resto da série, dado por:

 

também é racional.

Assim, para temos que:

 

Isso nos diz que

 

A última igualdade decorre da fórmula  para a soma de uma série geométrica. Portanto,

Multiplicando por temos:

O termo central, pela nossa hipótese, é inteiro pois todos os denominadores da expressão entre parênteses são cancelados por . Mas isso é um absurdo, pois não existe inteiro entre e . Dessa forma, temos que é irracional.

Até mais !