segunda-feira, 25 de julho de 2011

Regra de Simpson



Todos que utilizam o cálculo em suas vidas como um intrumento prático já se deparou com o cálculo de integrais. Normalmente quando temos uma integral definida do tipo [;\int_a^bf(x)dx;] iniciamos procurando uma função [;F(x);] tal que [;F'(x)=f(x);], dizemos que [;F(x);] é uma primitiva de [;f(x);]. Deste modo o cálculo desta integral se reduz à calcular o seguinte:
[;\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a);] 
Mas este tipo de abordagem não gera resultados quanto tentamos calcular algumas integrais aparentemente simples, tais como:
[;\int_0^{\pi}\sqrt{senx}dx\qquad e\qquad \int_1^5\frac{e^x}{x}dx;]
Isso se deve ao fato de que não existem funções elementares cujas derivadas sejam [;\sqrt{sen x};] e [; e^x/x;]
Para resolver esse problema usaremos uma técnica do cálculo numérico denominada Regra de Simpson.
Se você tomar um livro de cálculo você encontrará outros métodos (Regra do trapésio, regra dos retângulos, regra dos pontos médios), porém nos deteremos à Regra de Simpson pois esta nos dá um valor muito mais aproximado do verdadeiro valor do que as outras regras.


A regra de Simpson recebe este nome devido o seu criador, o matemático inglês Thomas Simpson, e a mesma se baseia em aproximar cada pedaço da curva por uma parte de um parábola que "se ajusta" à curva da maneira que iremos veremos a seguir.
Dividimos o intervalo [;\left[a,b\right];] em [;n;] partes iguais, [;n;] deve ser par (veremos o por quê adiante). Considere os três primeiros pontos [;x_0,x_1,x_2;] e os correspondentes pontos sobre a curva [;y=f(x);] (Veja a figura ao lado).
Se estes pontos não forem colineares, ou seja, se não existir uma reta [;\ell;] tal que esses pontos pertençam a reta, existirá uma única parábola com o eixo vertical e que passa por todos esses três pontos. Para conferir este fato basta lembrar que a equação de qualquer parábola com eixo vertical tem a forma [;y=P(x);], onde [;P(x);] é um polinômio quadrático, e esse polinômio sempre pode ser escrito na forma 
[;P(x)=a+b(x-x_1)+c(x-x_1)^2\qquad (1);] 

Escolhemos as constantes [;a,b,c;] para fazer com que a parábola passe pelos três pontos em consideração, para isso três condições se fazem necessárias:
Em [;x=x_0;], [;a+b(x_0-x_1)+c(x_0-x_1)^2=y_0\qquad (2);]
Em [;x=x_1;], [;a=y_1;]
Em [;x=x_2;], [;a+b(x_2-x_1)+c(x_2-x_1)^2=y_2\qquad (3);]

Definimos [;\Delta x=x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}{n};]. Usando essa definição e o fato de que [;a=y_1;] podemos escrever as equações na seguinte forma:
[;-b\Delta x+c\Delta x^2=y_0-y_1,;]
[;b\Delta x+c\Delta x^2=y_2-y_1,;]
Das equações acima obtemos:
[;2c\Delta x^2=y_0-2y_1+y_2\qquad (4);]
Considere que a parábola [;P(x);] seja uma boa aproximação para a curva [;y=f(x);] no intervalo [;\left[x_0,x_1\right];] e calculamos essa parte da integral, portanto:
[;\int_{x_0}^{x_2}f(x)dx\simeq\int_{x_0}^{x_2}\left[a+b(x-x_1)+c(x-x_1)^2\right]dx=\left[ax+\frac{1}{2}b(x-x_1)^2+\frac{1}{3}c(x-x_1)^3\right]_{x_0}^{x_2};]
Ao expressar esse resultado em termos de [;\Delta x;], temos:
[;2a\Delta x+\frac{2}{3}c\Delta x^3;]
Lembrando que [;a=y_1;], podemos escrever [;(4);] na forma
[;2y_1\Delta x+\frac{1}{3}(y_0-2y_1+y_2)\Delta x=\frac{1}{3}\left(y_0+4y_1+y_2\right)\Delta x;]
O mesmo procedimento pode ser aplicado em cada um dos intervalos [;\left[x_2,x_4\right],\left[x_4,x_6\right],\ldots;] 
Somando os resultados chegamos à fórmula para o cálculo aproximado da integral
[;\int_a^bf(x)dx\simeq\frac{1}{3}\left(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right)\Delta x;]
que se chama regra de Simpson. Salientamos especificamente a estrutura da expressão entre parênteses: [;f(x_0);] e [;f\left(x_n\right);] ocorrem com o coeficiente [;1;]; os [;f\left(x_k\right);] com [;k;] par ocorrem com coeficiente [;2;]; e os [;f(x_k);] com [;k;] ímpar ocorrem com coeficiente [;4;].

A regra de Simpson nos fornece o valor exato da integral, mas gera um certo erro de truncamento, assim o erro n aregra de simpson é sabido ser no máximo 
[;\frac{M(b-a)}{180}\Delta x^4;] 
onde [;M;] é o valor máximo de [;f^{\left(4\right)}(x);] sobre [;\left[a,b\right];].

Exemplo:
Use a regra de Simpson com [;n=4;] para calcular um valor aproximado para a integral
[;\int_0^2\frac{dx}{1+x^4};] 
Solução: Temos [;x_0=0,x_1=1/2,x_2=1,x_3=3/2,x_4=2;] ([;\Delta x=1/2;]). Organizemos os dados disponíveis logo abaixo:
[;f(x_0)=1;]
[;f(x_1)=16/17=0,941 \Rightarrow 4f(x_1)=3,764;]
[;f(x_2)=1/2=0,5\Rightarrow 2f(x_2)=1;]
[;f(x_3)=16/97=0,165\Rightarrow 4f(x_3)=0,66;]
[;f(x_4)=1/17=0,059;]
Veja que [;f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)=6,483;] 
Pela Regra de Simpson obetemos o resultado
[;\int_0^2\frac{dx}{1+x^4}\simeq \frac{1}{6}(6,483)=1,081;]

Fica para o leitor o seguinte exercício:
  • Ache um valor aproximado usando a regra de Simpson com [;n=4;] das seguintes integrais:
[;\int_0^{\pi}\sqrt{sen x}dx \qquad e \qquad \int_1^5\frac{e^x}{x}dx;]
Na próxima postagem faremos uso da Regra de Simpson para calcular a capacide cardíaca de uma pessoa. Fique atento ao Giga Matemática!

Bibliografia: Cálculo com Geometria Analítica, George F. Simmons

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$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

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$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

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