quarta-feira, 13 de julho de 2011

A Trombeta de Gabriel

A trombeta de Gabriel ou Trombeta de Torricelli, é uma superfície com  uma estranha propriedade:
Possui volume FINITO, porém sua área superficial é INFINITA. É assim chamada pois faz referência à trombeta que o Arcanjo Gabriel tocará, anunciando assim o dia do juízo final, associando o divino, ou infinito, com o finito. As propriedades dessa superfície foram estudadas pelo matemático e físico italiano Evangelista Torricelli, daí o nome de Trombeta de Torricelli. (Wikipédia).




A Trombeta pode ser obtida a partir da revolução da curva [;y=\frac{1}{x};], com [;x\in[1,\infty];] em torno do eixo das abscissas.
Deste modo, geramos uma superfície que possui um volume finito, porém uma área superfícial infinita.
Vamos nos convencer disto agora.

Primeiramente iremos calcular o volume desta superfície. Lembre-se que o volume de gerado pela rotação de uma curva, definida por uma função [;f(x);], em torno do eixo [;0y;], do ponto [;a;] até o ponto [;b;] é dado pela seguinte expressão:
[;V=\pi\int_a^{b}[f(x)]^2dx;] 
Com essa informação podemos seguir em frente.

- VOLUME:
O volume de nossa superfície é dada por 
[;V=\pi\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}dx;]
Note que se trata de uma integral imprópria, para calculá-la iremos usar o seguinte limite:
[;V=\pi \lim_{k\to\infty}\int_1^k\frac{dx}{x^2};]
Vamos aos cálculos:
[;V=\pi\lim_{k\to\infty}\frac{-1}{x}\bigg]_1^k=\pi\lim_{k\to\infty}\left(1-\frac{1}{k}\right)=\pi;] 

Assim a nossa superfície possui um volume finito igual á [;\pi;] .

Calcularemos agora a área da superfície gerada por essa mesma rotação. De modo geral, a área superficial gerada pela rotação da curva definida pela função [;f(x);] em torno do eixo [;0y;] do ponto [;a;] até o ponto [;b;] é dada por:
[;A=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+[f(x)]^2}dx;]
Calculemos agora a área superficial.
-ÁREA SUPERFICIAL:
A área da nossa superfície é dada por:
[;A=2\pi\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\sqrt{1+\left(\frac{-1}{x^2}\right)^2}dx;]
Novamente nos deparamos com uma integral imprópria, usaremos o seguinte limeite para calculá-la:
[;A=2\pi\lim_{k\to\infty}\int_1^k\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx;]
Agora temos:
[;A=2\pi \lim_{k\to\infty}\int_1^k\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}{x}dx;]
Note que
[;1+\frac{1}{x^4}>1,\forall x\in\mathbb{R};] 
 Deste modo,
[;A=2\pi \lim_{k\to\infty}\int_1^k\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}{x}dx>2\pi\lim_{k\to\infty}\int_1^k\frac{dx}{x}=2\pi\lim_{k\to\infty}lnx\bigg]_1^k=2\pi\lim_{k\to\infty}(lnk)=\infty;]

Isso nos diz que poderíamos preencher o interior da trombeta com um pouco mais de 3 unidades cúbicas de tinta, porém não teríamos tinta e tempo suficiente para pintar sua superfície. Realmente existe aí um paradoxo.
Quer descobrir porque isso acontece? Continue lendo este artigo.

Explicaremos o fato de uma superfície infinita determinar um volume finito. Para isso usaremos a seguinte analogia:
Imagine uma criança que está brincando com uma massinha de modelar de formato cilíndrico como esta abaixo:
Suponha que inicialmente a massinha de formato cilíndrico tem base de raio [;r;] e comprimento [;l;], logo seu volume é igual à [;\pi r^2l;] e sua área superficial é [;2\pi rl;]. Imagine que esta criança esta está rolando essa massinha no chão, de modo que em dado momento o raio da base é [;r/2;], note que não houve perda de material, então o volume continua constante, assim o novo comprimento [;l';] será igual à [;4l;], veja:
[;V'=V;]
[;\frac{\pi r^2l'}{4}=\pi r^2l;]
[;l'=4l;] 
E a nova área superfícial será igual à [;4\pi rl;] , ou seja [;A'=2A;]. Veja que a área dobrou enquanto o volume se manteve constante!
Se esta criança continuar este processo indefinidamente veremos que à medida que o raio da base é reduzido o volume permanece constante porém a área da superfície aumenta cada vez mais.
Na vida real a criança vai chegar em um ponto que ela não mais conseguirá "refinar" a massinha devido à sua espessura, porém teoricamente podemos afirmar que esse processo se assemelha com o que acontece com a Trombeta de Gabriel: O VOLUME PERMANECE CONSTANTE, AO CONTRÁRIO DA ÁREA SUPERFICIAL QUE TENDE AO INFINITO.

11 comentários:

  1. Olá, Diego!
    Muito interessante e gostei saber disso, além de ainda me obrigar voluntariamente rsrsrsrs, a revisar o meus apontamentos de cálculo integral, blz!
    Bom, na prática, acredito que isto tem tudo a haver com a problemática sobre os buracos negros (eu garanto que são vórtices), porém, deixemos isso nas "certezas dos astros-físicos" que terminarão me dando razão. KKKKKKKKKK!
    Muito boa postagem e... meus parabéns!
    Um abraço!!!!!

    ResponderExcluir
  2. Realmente este fato é bastante interessnate, agradeço a visita e volte sempre!

    ResponderExcluir
  3. Adorei o Post Diego, bastante interessante porém poderia me dar uma explicação um pouco mais símples? essas contas deixou-me bastante confuso kkkk
    odiarioeducacional.blogspot.com
    comente depois no meu Blog : D

    ResponderExcluir
  4. Já descrevi uma explicação mais detalhada em seu blog.
    Se mais alguém quiser uma explicação mais detalhada confiram o comentário no seguinte endereço:
    http://odiarioeducacional.blogspot.com/2011/07/geometria-na-natureza.html?showComment=1310836924923#c9128150818305534626

    ResponderExcluir
  5. Ainda não compreendi totalmente, porém a ídeia ficou um pouco mais clara, é fascinante o fato de algo com volume finito possuir uma superfície infinita.
    O meu e-mail para mantermos contato é o seguinte:
    amigoflavioonline@gmail.com
    abraço

    ResponderExcluir
  6. Pode deixar que não restarão dúvidas para você sobre este assunto!
    Entrarei em contato o mais rápido possível!

    ResponderExcluir
  7. existe um erro em relação a infinitude da area, sendo que o volume é limitado,em certo ponto não havera mais massa para ser esticada formando a area da trombeta.

    ResponderExcluir
  8. Olá caro Anônimo, boa sua observação, a mesma seria válida para o exemplo da massinha de modelar, que é um objeto físico, porém a trombeta de Gabriel se trata de uma superfície matemática, sua construção não se baseia em "esticar" sua massa, porém em rotacionar no eixo [;x;] a função [;y=\frac{1}{x};] do ponto [;1;] até [;\infty;]. Por esse motivo podemos trabalhar na hipótese dessa figura possuir um VOLUME FINITO e uma ÁREA SUPERFICIAL INFINITA.

    Espero que tenha esclarecido sua dúvida.

    Obrigado pela visita e volte sempre!

    ResponderExcluir
  9. Existe Ciência mais linda? Alguém aponte! :D

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. A fisica! Não a ciência mas linda do que ela!

      Excluir
    2. Sem a matemática, nada existiria. Nem mesmo a física. Matemática é vida.

      Excluir

Você pode inserir suas fórmulas e equações no formato $\LaTeX$ nos comentários, basta escrevê-lo entre os símbolos $ \$ \ldots \$ $. Por exemplo, se você deseja escrever a seguinte fórmula:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

Agora é com você, comente à vontade, seu comentário é uma ferramenta fundamental para o crescimento do Giga Matemática!!!