Giga Matemática

sábado, 14 de maio de 2011

A Reta de Euler

Quando falamos em Euler e os resultados obtidos pelo mesmo não deixamos de nos surpreender com as descobertas desse gênio da matemática, o mesmo contribuiu com a geometria plana, e ele notou que em um triângulo qualquer o Ortocentro (Encontro das alturas relativas as bases), o Circuncentro (Encontro das mediatrizes relativas aos lados do triângulo) e o Baricentro, são colineares, ou seja, existe uma reta que passa pelo ortocentro, circuncentro e baricentro.

Deste modo, enunciamos o seguinte teorema:

Teorema: Em um triângulo ABC qualquer, o baricentro, o ortocentro e o circuncentro são colineares.

Demonstração: Considere um triângulo qualquer, utilizaremos em nossa demonstração um triângulo acutângulo para garantirmos que os três pontos citados se encontram no interior desteg triângulo, entretanto a demontração é análoga para triângulos obtusângulos e retângulos, assim temos:

O Baricentro $[;G;]$ (contido na mediana) e o circincentro $[;O;]$ (contido na mediatriz) são pontos distintos, haja vista que a mediana é distinta da mediatriz. Traçamos a reta $[;\ell;]$ que passa por $[;G;]$ e $[;O;]$ . Seja $[;H';]$ um ponto pertecente a semi-reta $[;\vec{OG};]$ tal que $[;\overline{GH'}=2\overline{GO};]$ . Note que $[;P;]$ é o ponto médio de $[;\overline{BC};]$ , pois o mesmo pertence à mediana relativa a esse lado. Considere a mediana e a mediatriz relativa ao lado $[;\overline{BC};]$ .

Note que $[;\triangle GH'A;]$ e $[;\triangle GOP;]$ são semelhantes, pois:

$[;\overline{GH'}\equiv 2\overline{GO};]$ (por construção);
$[;A\widehat{G}H'\equiv P\widehat{G}O;]$ (o.p.v.) ;
$[;\overline{AG}\equiv 2\overline{GP};]$ (propriedade do baricentro).

Assim, seus ângulos correspondentes, $[;A\widehat{H'}G;]$ e $[;P\widehat{O}G;]$ são congruentes.
Dessa forma a reta suporte que contêm o segmento $[;\overline{AH'};]$ é paralela à mediatriz $[;\overline{OP};]$ , consequentemente, $[;H';]$ é um ponto pertecente à altura relativa ao lado $[;\overline{BC};]$ .

Analogamente, vamos tomar agora a mediana e a mediatriz relativas ao lado $[;\overline{AC};]$ da figura abaixo:

Seja $[;P';]$ o ponto médio do lado $[;\overline{AC};]$ . Veja que $[;\triangle GH'B;]$ e $[;\triangle GOP';]$ são semelhantes, pois:

$[;\overline{GH'}\equiv 2\overline{GO};]$ (por construção );
$[;B\widehat{G}H'\equiv P'\widehat{G}O;]$ (o.p.v.);
$[;\overline{BG}\equiv 2\overline{GP'};]$ (propriedade do baricentro).

Dessa forma, os ângulos correpondentes $[;B\widehat{H'}G;]$ e $[;P'\widehat{O}G;]$ são congruentes. A reta suporte que contêm o segmento $[;BH';]$ é paralela a mediatriz $[;OP';]$ . Consequentemente, $[;H';]$ é um ponto pertencente a altura relativa ao lado $[;\overline{AC};]$ .
Como $[;H';]$ é a interseção de duas alturas do triangulo $[;\triangle ABC;]$ , temos que $[;H'=H;]$ (ortocentro).

Concluímos assim que, Circuncentro ( O ), Baricentro ( G ) e Ortocentro ( H )
são colineares e a Reta $[;\ell;]$ é a Reta de Euler do Triângulo $[;\triangle ABC;]$ .

Até mais !

domingo, 8 de maio de 2011

União dos Blogs de Matemática - UBM

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Até mais !

sábado, 7 de maio de 2011

Irracionalidade do número "e"

Na postagem anterior mostramos a existência do número de Euler, agora prosseguiremos avançando nosso estudo desse número tão fascinante, e iremos mostrar que o número $[;e;]$ é irracional, começaremos definindo irracionalidade.

Definição: Um número da forma $[;$$\frac{a}{b}$$;]$ , com $[;a,b\in\mathbb{Z};]$ e $[;b\neq 0;]$ , é chamado racional. Um número é irracional quando não é racional.

Exemplo: O número $[;\sqrt{2};]$ é irracional.

Prova: Se $[;\sqrt{2};]$ fosse racional então existiriam $[;a,b\in\mathbb{Z};]$ , com $[;mdc(a,b)=1;]$ tal que

$[;\sqrt{2}=\frac{a}{b};]$

Assim, elevando ambos os membros ao quadrados temos:

$[;2=\displaystyle\frac{a^2}{b^2};]$

Portanto, $[;a^2=2b^2;]$ $[;(1);]$ , isso significa que $[;a^2;]$ é par, logo $[;a;]$ também é par (olhe a Observação 1), desse modo $[;a=2k;]$ , $[;k\in\mathbb{Z};]$ , substituido em $[;(1);]$ , temos:

$[;4k=2b^2;]$

$[;2k=b^2;]$

Assim, $[;b^2;]$ também é par, e analogamente ao caso anterior, $[;b;]$ é par.

Absurdo, pois $[;mdc(a,b)=1;]$ , logo $[;\sqrt{2};]$ não pode ser expresso na forma $[;\frac{a}{b};]$ , logo $[;\sqrt{2};]$ é irracional.

Observação 1: Dado $[;x\in\mathbb{Z};]$ , se $[;x^2;]$ é par, então $[; x ;]$ também é par.
Demonstração: Suponha que $[; x;]$ fosse ímpar, assim $[;x=2k +1;]$ , $[;k\in\mathbb{Z};]$ , e elevando essa última igualdade ao quadrado temos que:

$[;x^2=\left(2k+1\right)^2;]$

$[;x^2=4k^2+4k+1;]$

$[;x^2=2\left(2k^2+2k\right) +1;]$

$[;x^2=2j+1;]$ , onde $[;j\in\mathbb{Z};]$ e $[;j=2k^2+2k;]$

Logo, $[;x^2;]$ é ímpar, contradição, pois $[;x^2;]$ é par, essa contradição partiu do momento em que consideramos $[; x;]$ sendo ímpar, logo, se $[;x^2;]$ é par, então $[; x;]$ também é par.

Lema: O número de Euler pode ser calculado através da seguinte sequência

$[;e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots;]$

Demonstração: Sabemos que $[;\displaystyle e=lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n;]$ (Se não se lembra clique aqui), considere o seguinte número:

$[;x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n;]$

Note que $[;lim_{n\to\infty}x_n=e;]$ , assim, usando o teorema do binõmio de Newton, temos que:

$[;x_n=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot\frac{1}{n^3}+\cdots +\frac{1}{n^n};]$

$[;\displaystyle =1+1+\frac{1}{1\cdot 2}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots +\frac{1}{n^n};]$
Se $[;n\to\infty;]$ , então $[;\frac{1}{n}\to 0;]$ , logo $[;1-\frac{1}{n}\rightarrow 1;]$ , assim

$[;lim_{n\to\infty}{x_n}= 1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\cdots;]$

$[;e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots;]$

Teorema: O número de Euler, $[;e;]$ , é irracional.

Demonstração: Pelo Lema anterior, o número de Euler pode ser calculado através da sequência:

$[;e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots;]$

Suponhamos, por absurdo que $[;e;]$ seja racional, dessa forma, $[;e=\frac{p}{q};]$ , com $[;p,q\in\mathbb{Z},q\neq 1;]$ (pois $[;e;]$ não é inteiro). Assim, cada termo da série inicial é racional, logo o resto da série, dado por:

$[;e-\sum_{n=0}^{q} \frac{1}{n!}=\sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{1}{n!};]$

também é racional.

Assim, para $[;n \geq q+1;]$ temos que:

$[;\frac{1}{n!}=\frac{1}{q!}\frac{1}{(q+1)\cdots n}\leq \frac{1}{q!}\frac{1}{(q+1)^{n-q}};]$

Isso nos diz que

$[;\sum_{n=q+1}^{\infty}\frac{1}{n!}\leq \frac{1}{q!}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(q+1)^k=\frac{1}{q!}\frac{1}{q}};]$

A última igualdade decorre da fórmula para a soma de uma série geométrica. Portanto,

$[;0<e-\sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!}\leq \frac{1}{q!}\frac{1}{q};]$

Multiplicando por $[;q!;]$ temos:

$[;0<q!\left(e-\sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!}\right)\leq\frac{1}{q}<1;]$

O termo central, pela nossa hipótese, é inteiro pois todos os denominadores da expressão entre parênteses são cancelados por $[;q!;]$ . Mas isso é um absurdo, pois não existe inteiro entre $[;0;]$ e $[;1;]$ . Dessa forma, temos que $[;e;]$ é irracional.

Até mais !

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