Lei de Benford

 

Abordaremos neste post um fato muito interessante: A Lei de Benford. Mas o que é exatamente a lei de Benford?

Bem, a Lei de Benford, também conhecida como a "Lei dos Primeiros Dígitos", é uma ferramenta muito poderosa e muito simples que aponta suspeitas de fraudes, fraudadores, sonegação de impostos, contabilístas mediócres e erros de digitação.

Aqui vai uma questão de probabilidade:

"Dada uma amostra de números aleatórios de uma fonte de dados qualquer, qual a probabilidade do primeiro dígito ser 1? E de ser 5? E 9?"

Ora, logicamente pensaríamos que todos os dígitos (de $1$ à $9$) possuem a mesma probabilidade de aparição ($P_n=1/9$), ou seja, 11,11% para cada. Saiba que no "mundo real" a probabilidade da aparição de cada número ocupando o primeiro dígito difere!

Em nosso caso seja $P_n$ a probabilidade de aparição do número $n$, $n\in\left\{1,\ldots,9\right\}$, temos:

$P_1=0,3010$, ou seja, 30,10%

$P_5=0,0792$, ou seja, 7,92%

$P_9=0,0458$, ou seja, 4,58%

O Floco de Neve Koch

"Niels Fabian Helge Van Koch  foi um matemático sueco que deu o seu nome ao famoso fractal conhecido como Floco de Neve Koch, que foi um dos primeiros fractais de curvas a se descrito." (Wikipédia) 

Se você quiser saber um pouco mais sobre a Geometria Fractal o blog Fatos Matemáticos possui uma postagem sobre esse assunto: Um Convite à Geometria Fractal.  Lá você descobrirá alguns fatos interessantes sobre essa curva, como por exemplo que a dimensão dessa curva é igual à .

O objetivo desse post é mostrar mais um aparente paradoxo da matemática.(para quem perdeu o primeiro paradoxo basta clicar Aqui - Trombeta de Gabriel).

O Paradoxo que existe é que o Floco de Neve Koch (ou Estrela de Koch) possui uma área finita, porém seu perímetro é infinito. Posteriormente ilustrarei melhor esse fato.

Começaremos construindo O Floco de Neve Koch.

 Para construir o floco de neve de Koch iniciamos com um triângulo equilátero de lado , e seguimos os seguintes passos:

1. Divida cada lado em três segmentos iguais ();
2. Desenhe um triângulo equilátero tendo como base o segmento central da divisão do lado do passo 1. (geramos nessa primeira interação três novo triângulos);
3. Remova a base utilizada para construir os triângulos do passo 2. 

O floco de neve Koch irá surgir à medida que os passos acima são repetidos infinitamente. 
Obs: Quando tomamos um segmento, ao invés de um triângulo equilátero, e executamos os passos acima temos o que chamamos de Curva de Koch, assim o Floco de Neve Koch nada mais é do que a união de três curvas de Koch. 

Como mencionamos anteriormente, o floco de neve Koch possui um perímetro infinito e uma área finita. Vejamos cada caso separadamente:

Usando a Parábola para Multiplicar

Hoje iremos falar de uma propriedade bastante interessante sobre a parábola .
Esta parábola tem a seguinte propriedade:

Dados dois pontos na parábola , de modo que um ponto esteja no 1º quadrante (+,+) e o outro no segundo quadrante (-,+). Tomamos o segmento que une esses pontos, esse segmento intercepta o eixo das ordenadas () no ponto .
Temos que a projeção de e sobre o eixo geram os pontos e .
Definimos e . Mostraremos que .

Quer observar isso na prática? Pois abaixo segue um applet em que você pode alterar a posição dos pontos sobre o eixo das abscissas e observar como os pontos se movimentam sobre a parábola, como se forma o ponto e verificar o resultado.

A Trombeta de Gabriel

A trombeta de Gabriel ou Trombeta de Torricelli, é uma superfície com  uma estranha propriedade:
Possui volume FINITO, porém sua área superficial é INFINITA. É assim chamada pois faz referência à trombeta que o Arcanjo Gabriel tocará, anunciando assim o dia do juízo final, associando o divino, ou infinito, com o finito. As propriedades dessa superfície foram estudadas pelo matemático e físico italiano Evangelista Torricelli, daí o nome de Trombeta de Torricelli. (Wikipédia).

Divulgue o Giga Matemática

Finalmente o primeiro banner do Giga Matemática ficou pronto. Muitos colaboradores do blog e parceiros (principalmente da UBM) solicitaram um banner deste site para divulgarem em seus respectivos blogs.

Para adicionar o banner do Giga Matemática ao seu blog basta copiar o código que está na caixinha abaixo:

<a href="http://gigamatematica.blogspot.com" target="_blank"><img src="http://i1112.photobucket.com/albums/k494/diego01360/ESSSSSSSSSSE.gif" border="0" /></a>

Peço a colaboração de todos na divulgação do Giga Matemática, é uma honra está presente em cada um dos blogs que passam por aqui.


Deixem um comentário ao adicionar o banner.


Se houver parceiros que queiram que eu divulgue seu banner basta clicar AQUI para enviar uma mensagem com o endereço do blog com o respectivo banner.


Conto com a força de vocês, assim o Giga Matemática irá trazer mais informações sobre fatos interessantes, demonstrações e conhecimento para todos que por aqui passam!


Até mais!

Função do Amor

Os gráficos de algumas funções podem ser bastante interessantes, veja por exemplo a função do amor descrita abaixo:

 O "desenho" é composto por duas funções, a primeira que descreve a parte superior é dada por

$$f(x)=\sqrt{(1-(|x|-1)^2)}$$

Temos o seguinte gráfico:

A segunda função descreve a parte inferior do desenho e é dada por:

$$g(x)=\arccos(1-|x|)-\pi$$ 

 Temos o gráfico:

 Quando descrevemos ambas as funções no mesmo gráfico temos a "função do Amor".

Torre de Hanói e Relações de Recorrência

Neste post iremos tratar de um quebra-cabeças bastante interessante: A Torre de Hanói, esse jogo foi criado por Edouard Lucas inspirado em uma lenda, você pode saber um pouco mais da parte histórica clicando aqui.

Aqui trataremos de uma forma para solucionar este quebra cabeças com o menor número de movimentos possíveis. 

1. Explicando as regras do jogo:
   O jogo consiste em três pinos verticais fixados sobre uma superfície, no pino mais à esquerda temos $n$ discos de diferentes diâmetros empilhados, começando pelo disco de maior diâmetro na parte inferior, após isso o disco com o segundo maior diâmetro é colocado sobre o de maior diâmetro, e essa sequência se segue até obtermos uma "torre" como na figura acima. 
   O jogador deve mover todos os discos (um de cada vez) de um pino para outro qualquer, utilizando um dos pinos como auxiliar, de maneira que durante os movimentos um disco maior não fique sobre um disco menor.
Visualize a solução do quebra-cabeça para quatro discos:

   No exemplo acima foram feitos 15 movimentos, é possível que um iniciante neste jogo utilizaria mais movimentos para resolver, eu mesmo gastei mais movimentos que deveria quando joguei pela primeira vez,pergunto:
Você conseguiria resolver o problema dos 4 discos acima com menos movimentos?


Pensou? Mesmo sem saber sua resposta, eu lhe adianto a minha: NÃO!
Mas por que não? O motivo é que o jogo com $n$ disco é resolvido em no mínimo $2^n-1$ movimentos. Para provar isso lançaremos mão de uma ferramenta muito útil na matemática: As relações de recorrência.




2. Relações de Recorrência