Por que uma mesa com três pernas não balança?

Em um domingo qualquer eu estava almoçando e algo me incomodava, toda vez que algém se apoiava sobre a mesa, ela pendia para um lado e retornava a sua posição quando esta pessoa se afastava dela, e esse processo se repetia diversas vezes. Até então estava conformado em saber que "coisas" caem, 1+1=2 e mesas balançam, mas isso mudou quando me deparei com uma mesa bem peculiar, ela tinha apenas três pernas, no momento eu me questionei sobre a firmesa daquela mesa, ora, se uma mesa com quatro pernas balança, então esta com três deve desabar se colocarmos algo sobre ela, para a minha surpresa a mesa não balançou quando coloquei um objeto sobre ela e achei incrível este fato, me perguntei no mesmo instante:

- Por que uma mesa com três pernas não balança?

Um Problema de Geometria Analítica

Olá caros leitores do Giga Matemática, como vocês devem ter percebido, o blog ficou um tempo sem ser atualizado, isso se deve à corrreria no meio acadêmico em que vivo. Como uma postagem de volta trago à vocês mais uma questão enviada por um leitor do blog (Vocês estão me surpreendendo cada vez mais!), A questão, juntamente com a solução, foi enviada pelo leitor Alexandre Lima, quando vi a mesma fiquei muito entusiasmado, pois essa questão se mostra bastante perspicaz, assim segue a mesma abaixo:

Construção do Problema:
No primeiro quadrante, ligue com uma reta todos os pontos, inteiros, do eixo das ordenadas com o eixo das abcissas , tais que a soma seja constante. Seja o valor da soma .

Figura gerada para k =11

Desafio: Calcular a área dessa região em função de .

Explicação: Suponha que o valor da constante seja igual a , assim, os pontos do primeiro quadrante da forma e que devem se ligados são aqueles tais que .
Portanto, existem pares de números inteiros tais que a soma seja . Assim, ligamos os seguintes pontos:

com o ponto

com o ponto

com o ponto

com o ponto  

com  o ponto  

O problema consiste em calcular a área dessa região.

Solução encontrada pelo Leitor:

Tentando dar uma Demostração para o Último Teorema de Fermat (Parte 2)

Olá caros leitores, quem acompanhou a última postagem (Tentando dar uma Demonstração para o Último Teorema de Fermat (Parte 1)) viu toda trajeória deste incrível teorema, que agora se chama Teorema de Fermat-Wiles devido a demonstração do mesmo pelo matemático britânico Andrews Wiles, e como prometido irei apresentar a vocês uma tentativa para demonstrar o último teorema de Fermat utilizando recursos mais acessíveis. 
Este artigo foi enviado pelo Prof. Sebá (Sebastião Vieira do Nascimento) e é com muito prazer que aqui eu o apresento esta demonstração:

Primeiramente apresentamos alguns casos particulares do Último Teorema de Fermat:

Lema 1 (Caso n=4). Não há solução inteira positiva para a equação 

.

Prova: Basta ver que 

e considerar a terna .

Em geral podemos provar o caso onde .

Lema 2 (Caso n=4k). Não há solução inteira positiva para a equação 

 

Prova: Basta notar que 

e considerar a terna .

Na verdade podemos ir mais além: Se é um inteiro que possui um fator primo ímpar, então se provarmos que não tem solução inteira positiva, teremos provado que também não possui solução inteira, onde .

Teorema de Sebá:

O Problema da Constante de Euler-Mascheroni

Este problema foi enviado pelo leitor e colaborador Prof. Aldenor Lemos, a motivação desta postagem veio do livro Logaritmos do Elon. o problema é o seguinte:

Mostre que a soma 

é maior do que e conclua que . Isto se escreve também assim:

 

Solução: Para todo [x;] diferente de zero é verdade que .

Basta ver que , assim (Você pode ver uma prova geométrica aqui) , daí:

Fazendo , com , temos:

Como a função logaritmo natural é monótona crecente (isto quer dizer que dados ), obtemos:

Portanto,

Logo,

 

 

Conclusão:

, pois .

Existem outras formas de solucionar esse problema, quem quiser saber mais entre em contato com o Giga aqui, ou envie seu arquivo aqui .

Não perca a continuação desta postagem, abordaremos o porque o título e o que é a constante de euler-mascheroni.

Bibliografia: Logaritmos - LIMA, Elon Lages; SBM, 4ª Edição, Rio de Janeiro 2009