Progressões Aritméticas Com Números Primos

Este artigo foi enviado pelo leitor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) e adaptado por mim. Participe você também enviando seus artigos ou sugestões, basta clicar na aba Enviar Arquivo logo acima.

Fonte: Science Blogs

 Você já imaginou quantos números primos existem? Pois saiba que eles são infinitos, ou seja, sempre haverá um primo que é maior que um número qualquer dado. Mas a questão é: Como os primos se distribuem sobre a reta? Existe uma "lei" que rege a "aparição" dos primos ao decorrer da reta?

Para entender um pouco do que trata esta postagem imagine a seguinte situação:
 

 

Um carteiro está encarregado de entregar as correspondências de algumas casas na Rua dos Inteiros, ele deverá entregar a primeira casa no primo 2, depois no primo 3, depois no primo 5, e assim sucessivamente. 

Depois de entregar a carta na primeira casa, ele percebe que o próximo destinatário é o vizinho, depois desta casa a próxima é "pulando" um número, o próximo tambem, mas o posterior está à três casas de distâncias, daí em diante o carteiro percebe que os destinatários estão cada vez mais distantes um dos outros, algumas vezes três ou mais destinatártios se encontram à mesma distância. Ele percebe então que o trabalho não será fácil hoje!!!

Na história, a rua representa o conjunto dos inteiros positivos que contém números primos e não-primos, cada destinatário reprenta um número primo, vale salientar as seguintes propriedades sobre os primos:

1) A distância entre dois primos aumenta a medida que prosseguimos na contagem dos números inteiros.

2) Alguns primos se encontram a mesma distância, ou seja, existe uma RAZÃO na sua distância.

Para saber sobre alguns fatos interessantes sugiro que leia a postagem Teorema Interessantes sobre Números Primos do Prof. Paulo Sérgio.

Em relação ao apontamento 1) indico a leitura do artigo Deserto Entre Números Primos que está no Blog O Baricentro da Mente e que foi enviado por este mesmo leitor (Prof. Sebá)

O artigo se focará no segundo apontamento, um estudo sobre P.A.'s entre os números primos.

Observação: Vale ressaltar que uma P.A. é uma sequência formada com pelo menos 3 elementos e que possuem razão constante.

Primeiramente iremos verificar a EXISTÊNCIA de algumas Progressões entre os primos compreendidos entre 2 e 500.

De Volta as Atividades!!!

Olá Caros leitores do Giga Matemática, como vocês devem ter percebido, o autor deste blog tomou um "chá de sumiço", muitos leitores me enviaram várias mensagens e alguns que me conhecem pessoalmente me perguntavam o que havia acontecido, agora eu vou explicar o que aconteceu comigo. 

Bem, eu irei concluir minha graduação em 2012.1 e por isso no final de 2011 decidi participar da Escola de Verão da Pós-Graduação em Matemática da UFC, a Escola de Verão seleciona os ingressantes para o mestrado, o estudo durante a escola de verão me forçou a tornar o livro "Um curso de Análise vol.1" do autor Elon Lages Lima me companheiro inseparável, onde quer que eu fosse a análise estava comigo, isso durou dois meses e ao final das aulas da escola de verão ocorreu o exame de admissão no dia 27/02/2012, nesse dia faltou energia e isso adiou por alguns instantes o início da prova, mas após 40 minutos de espera a prova foi aplicada, depois de 3 horas sentado realizando a prova mostrei tudo que havia absorvido durante minha vida acadêmica e durante as aulas da escola de verão. Após três dias o resultado saiu e fiquei na expectativa, pois ali haviam muitos candidatos bons, mas para minha alegria eu fui aprovado e em 2º lugar geral!!!

Segue o link com a página do resultado: Resultado da Seleção do Mestrado da UFC 

Eu irei ingressar em Agosto deste ano, agora uma nova etapa se inicia na vida vida deste jovem matemático.

Daqui a 2 anos espero publicar outra postagem, desta vez anunciando o ingresso no Doutorado.

Agora.............. DE VOLTA AO GIGA MATEMÁTICA !!! 

Novidade no Giga Matemática

Tem novidade no Giga Matemática, agradeço ao Kléber do blog O Baricentro da Mente pelas dicas.

O Giga Matemática possui uma uma página especifica onde você poderá clicar e acessar rapidamente tudo o que já foi publicado aqui, basta clicar abaixo do Banner do blog em "Arquivo GM"

Ali você encontra a lista de todas as postagens por ordem de publicação!

Clique Aqui para ser direcionado agora!

Outra novidade é em relação à formatação das equações do blog. Logo no início o Giga Matemática utilizava um plugin do Mozilla, o greasy monkey, com o tempo percebi alguns problemas:

• A formatação não é muito fiel à formatação do $\LaTeX$;
• Os comentários não poderiam ser feitos utilizando o plugin;
• Alguns usuários não visualizavam as fórmulas devido ao navegador utilizado;
• O autor deste blog ficava preso à somente utilizar o Mozilla para publicar as postagens.

Mas agora isso tudo acabou, o blog passa a utilizar uma scrit incorporado ao html do blog, trata-se do Mathjax. Agora, os leitores poderão escrever fórmulas nos comentários, para isso basta seguir os seguintes passos:

1. Escreva sua fórmula no formato $\LaTeX$ entre os símbolos \$ FÓRMULA \$;
2. Por exemplo, se você quiser escrever a fórmula $e^{i\pi}+1=0$, basta escrever o seguinte texto: \$ e^{i\pi}+1=0\$.

Veja aqui a primeira publicação do Giga Matemática utilizando este recurso:

O Teorema da Bola Cabeluda

Com isso os leitores poderão comentar utilizando fórmulas, visualizar o blog em qualquer navegador, até mesmo no celular e irá usufruir de uma bonita formatação!!!

O Giga Matemática se constrói com sua sugestão e seus comentários, não deixe de enviar sua sugestão, basta clicar na Aba Contato abaixo do Banner.

Até mais !

Teorema da Bola Cabeluda

Imagine a seguinte situação: Você acorda de manhã e nota que seus cabelos estão um pouco desalinhados e você decide penteá-los, mas não pode ser de qualquer forma, você possui seu "penteado" e gasta o tempo que for necessário para deixá-lo completamente penteado. Alguns tipos de cabelos, como o do autor deste blog, insistem em não ser penteados adequadamente e exibem o famoso "redemoinho" no alto da cabeça, e aí não adianta nem tentar, isso gastará tanto tempo que você provavelmente irá desistir de tentar. Mas você pensou em pentear uma bola (esfera) que está completamente coberta de pelos (fios de cabelo)? Afirmo uma coisa: Será IMPOSSÍVEL realizar este feito, e isso é provado matematicamente! Podemos dizer o seguinte:

"É impossível pentear uma bola coberta de pelos de forma que não existam buracos ou redemoinhos"

 Um enunciado mais formal para este fato é o que se segue:

"Todo campo vetorial contínuo tangente sobre a esfera terá um ponto de singularidade."

Este teorema foi enunciado no final do século 19 pelo matemático Henri Poincaré (Imagem acima à esquerda) e uma prova rigorosa surgiu em 1912 com Luitzen Brouwer (Imagem acima à direita). 

Este resultado é estudado na área de Topologia e possui muitas aplicações, como veremos a seguir.

Conjuntos Enumeráveis

Desde o surgimento da matemática a humanidade utiliza os números para representar quantidades, medir distâncias, calcular, etc.

Quando você escuta a expressão "contar", o que lhe vem à mente? Você pode dizer contar, classificar, ENUMERAR, note que a última palavra chama bastante atenção, pois a mesma designa a possibilidade de "contar" os elementos de um conjunto. No dia-a-dia nos deparamos com situações diversas, onde temos que contar, enumerar objetos, no cotidiano você dispõe de um ambiente e objetos inseridos nele, na matemática temos conjuntos e elementos pertencentes à este conjunto, por isso vamos definir o que é um conjunto enumerável.

Definição: Um conjunto $K$ é dito enumerável se um dos critérios abaixo for válido:

(a) $K$ é finito;

(b) Existe uma bijeção $f:\mathbb{N}\rightarrow K$.

No segundo caso, dizemos que $K$ é um conjunto infinito enumerável.

Observe que o caso (a) é óbvio, pois podemos "contar" os elementos de um conjunto finito, o segundo caso deverá ser discutido um pouco mais.

Um conjunto infinito enumerável é aquele que possui infinitos termos, porém somos capazes de nomear cada um deles, considere o conjunto $X=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}$ um conjunto finito, encontramos facilmente uma bijeção deste conjunto com os naturais, será dada por $f(n)=x_n$, assim, $x_1=f(1),x_2=f(2),\ldots,x_n=f(n),\ldots$.

Um conjunto infinito não-enumerável é aquele que possui uma infinidade tão imensa de termos que não somos capazes de "registrar" todos eles, o maior exemplo de conjunto não enumerável é o conjunto dos números reais $\mathbb{R}$, não somos capazes de exibir pelo menos uma bijeção entre os reais e os naturais, ou seja, os reais possuem mais elementos que possamos imaginar!

Por que uma mesa com três pernas não balança?

Em um domingo qualquer eu estava almoçando e algo me incomodava, toda vez que algém se apoiava sobre a mesa, ela pendia para um lado e retornava a sua posição quando esta pessoa se afastava dela, e esse processo se repetia diversas vezes. Até então estava conformado em saber que "coisas" caem, 1+1=2 e mesas balançam, mas isso mudou quando me deparei com uma mesa bem peculiar, ela tinha apenas três pernas, no momento eu me questionei sobre a firmesa daquela mesa, ora, se uma mesa com quatro pernas balança, então esta com três deve desabar se colocarmos algo sobre ela, para a minha surpresa a mesa não balançou quando coloquei um objeto sobre ela e achei incrível este fato, me perguntei no mesmo instante:

- Por que uma mesa com três pernas não balança?

Um Problema de Geometria Analítica

Olá caros leitores do Giga Matemática, como vocês devem ter percebido, o blog ficou um tempo sem ser atualizado, isso se deve à corrreria no meio acadêmico em que vivo. Como uma postagem de volta trago à vocês mais uma questão enviada por um leitor do blog (Vocês estão me surpreendendo cada vez mais!), A questão, juntamente com a solução, foi enviada pelo leitor Alexandre Lima, quando vi a mesma fiquei muito entusiasmado, pois essa questão se mostra bastante perspicaz, assim segue a mesma abaixo:

Construção do Problema:
No primeiro quadrante, ligue com uma reta todos os pontos, inteiros, do eixo das ordenadas com o eixo das abcissas , tais que a soma seja constante. Seja o valor da soma .

Figura gerada para k =11

Desafio: Calcular a área dessa região em função de .

Explicação: Suponha que o valor da constante seja igual a , assim, os pontos do primeiro quadrante da forma e que devem se ligados são aqueles tais que .
Portanto, existem pares de números inteiros tais que a soma seja . Assim, ligamos os seguintes pontos:

com o ponto

com o ponto

com o ponto

com o ponto  

com  o ponto  

O problema consiste em calcular a área dessa região.

Solução encontrada pelo Leitor: