sexta-feira, 29 de abril de 2011

Grupos e Aplicações (Parte 1)

Neste post inaugural iremos tratar de um assunto muito importante em matemática: Grupos. Para alguns um assunto sem muitas aplicações, porém iremos ver mais adiante em postagens futuras que a Teoria dos Grupos pode se tornar uma ferramenta muita com aplicações em Física e Química, e uma importante contribuição para solucionar o cubo de Rubik, iremos ver algo sobre isso futuramente.
Mas, o que é um grupo? 
Iremos responder essa pergunta mais adiante:
Um grupo é um conjunto [;G;] com a operação binária [;*;] possuindo as seguintes propriedades:
  1. A operação [;*;] é fechada, ou seja, se [;g,h\in G;] então [;g*h\in G;];
  2. A operação [;*;] é associativa, ou seja, se [;f,g,h\in G;] então [;(f*g)*h=f*(g*h);];
  3. Existe o elemento identidade [;e\in G;], ou seja, para todo [;g\in G;], temos [;g*e=e*g=g;];
  4. Todo elemento tem inverso, ou seja, se [;g\in G;] então existe [;g^{-1}\in G;] tal que [;g*g^{-1}=g^{-1}*g=e;].
Essas propriedades acima definem grupo.

Exemplos de Grupos:

     O conjunto dos inteiros [;\mathbb{Z};] com a operação de adição;
     Os conjuntos dos racionais [;\mathbb{Q};], reais [;\mathbb{R};] e complexos [;\mathbb{C};] com adição são grupos também;
    O conjunto dos naturais [;\mathbb{N};] com adição não é grupo, pois apesar de ter indentidade [;(0);], nenhum dos seus elementos positivos tem inverso.

Os grupos acima são infinitos e comutativos, ou seja  dados [;a;] e [;b;] no grupo temos que [;a*b=b*a;].
Em geral os grupos não são comutativos.

Notação: [;g*h=gh;], definimos também [;g^2=g*g;], [;g^0=e;] e [;g^{-n}=(g^n)^{-1};].

Proposição 1: O elemento identidade é único.
 Demonstração: De fato, se [;e';] fosse outro elemento identidade teríamos que
[;$$ee'=e$$;]
Mas também
[;$$e'e=e'$$;]

Logo,
[;$$e'=e$$;]

Portanto, o elemento identidade é único


Proposição 2:  O elemento inverso é único.
 Demonstração: Semelhantemente à demonstração anterior, se [;h;] fosse outro inverso de [;g;], então [;gh=hg=e;].
Porém, [;gg^{-1}=e;], portanto,
[;h=he=h(gg^{-1})=(hg)g^{-1}=eg^{-1}=g^{-1};]

Assim, cada elemento do grupo possui um único inverso.

Observação 1: De acordo com a proposição acima, em um grupo [;G;], a equação [;gx=e;] possui uma única solução: [;x=g^{-1};].
Observação 2: De um modo mais abrangente, dados quaisquer [;g,h\in G;], existe uma única solução [;x\in G;] para a equação [;gx=h;], obviamente, [;x=g^{-1}h;]
Postado por Diego Sousa às 07:38
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$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

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$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

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