domingo, 1 de maio de 2011

A existência de "e"


   Nesse post iremos tratar do famoso número de Euler [;e;] , assim chamado em homenagem ao matemático suiço Leonard Euler, e o mesmo é a base dos logaritmos naturais. Iremos mostrar sua existência e que é limitado, [;e<3;].

Definimos [;e;] como sendo o seguinte limite
[;e=\lim_{n\to\infty}{(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n};] 
Para isso, iremos provar que esse limite existe.
Considere a quantidade
     
[;x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n;]
Pelo Teorema do Binômio de Newton temos que 





[;x_n=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot\frac{1}{n^3}+\cdots +\frac{1}{n^n};]                                        
[;\displaystyle =1+1+\frac{1}{1\cdot 2}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots +\frac{1}{n^n};]                                              (1)

Note que à medida que [;n;] cresce o número de termos dessa soma cresce, formando uma sequência crescente, assim

[;x_1<x_2<x_3<\cdots <x_n<x_{n+1}<\cdots;]              (2)

Afirmação: Para [;n>1;] é verdade que [;\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n!}.;].
Demonstração: Basta mostrar que [;\left(1-\frac{1}{n}\right)<1;],é óbvio, pois se [;n>1;] então [;0<\frac{1}{n}<1;], assim

[;0<\frac{1}{n}<1 \Rightarrow -1<\frac{-1}{n}<0\Rightarrow 0<1-\frac{1}{n}<1;] 

Portanto, como [;\frac{1}{n!}>1;], temos [;\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n!}.;].
De (1), temos que

[;x_n&amp;lt;1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3}+\cdots +\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}<1+1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots + \frac{1}{2^{n-1}}\right)<1+1+1=3;]        (3)

Pois  a expressão entre parênteses é parte da série geométrica

[;\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}+\cdots=1;] 

 De (2) e (3), vemos que os [;x_n;] crescem uniformemente, porém não ultrapassam o valor 3, assim eles tendem, a um valor-limite.Em nosso contexto, esse valor-limite é [;e;] por definição. Esse argumento prova que


                                            [;e=\lim_{n\to\infty}{(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n};]

Referência Bibliográfica: Simmons, George F., 1925 - Cálculo comGeometria Analítica - São Paulo: MacGraw- Hill, 1987

Postado por Diego Sousa às 13:06
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2 comentários:

  1. Anônimo29 de março de 2012 às 16:10

    $ÓTIMA DEMONSTRAÇÃO VAI ME AJUDAR MUITO NA PROVA DE ANÁLISE MATEMATICA$

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Diego Sousa29 de março de 2012 às 22:20

      Que bom! O Giga Matemática possui esse propósito, auxilar e despertar os leitores em assuntos matemáticos

      Excluir

Você pode inserir suas fórmulas e equações no formato $\LaTeX$ nos comentários, basta escrevê-lo entre os símbolos $ \$ \ldots \$ $. Por exemplo, se você deseja escrever a seguinte fórmula:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

Agora é com você, comente à vontade, seu comentário é uma ferramenta fundamental para o crescimento do Giga Matemática!!!

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