A Matemática das Bolas de Futebol e Fulerenos

Olá leitores, aproveito o clima de copa do mundo para trazer uma curiosidade matemática envolvendo a forma das bolas de futebol e os fulerenos.

Os fulerenos são uma forma alotrópica do Carbono, foram descobertos acidentalmente em 1985 por três químicos, que posteriormente ganhariam o prêmio Nobel de Química por essa descoberta, foram eles:

 

Harold W. Kroto, Robert F. Curl e Richard E. Smalley, inicialmente essa estrutura molecular foi batizada de Buckminsterfulereno ($C_{60}$). Note que essa estrutura molecular possui exatamente 60 átomos de carbono, então guarde bem essa informação:

O Fulereno $C_{60}$ possui 60 átomos em sua composição.

Abaixo temos uma representação tridimensional dessa estrutura, note a semelhança da mesma com uma bola de futebol.

Mas o que bolas de futebol e fulerenos tem a ver com matemática?

Aqui vem um fato bem legal: 

Na construção de uma bola de futebol são necessários 12 pentágonos e 20 hexágonos.

Isso quer dizer que, não importa o tamanho da bola, se a mesma for construída na forma abaixo, precisaremos de exatamente 12 pentágonos e 20 hexágonos, mas agora vem a palavra crucial: POR QUÊ?

A resposta para esse fato encontrasse na topologia do objeto, já sabemos que em todo poliedro convexo vale a relação de Euler:

$$V-A+F=2,$$

onde $V$ é o número de vértices, $A$ o número de arestas e $F$ o número de faces do poliedro. 

Você pode afirmar: 

-Tudo bem, isso vale para poliedros, mas a bola de futebol é redonda, não tem vértices ou lados e só uma face, o que podemos concluir?

Bem, a relação acima na verdade é um caso particular para uma relação mais geral, trata-se da característica de Euler $\chi$.

Vamos nos ater a dimensão 2, a característica de Euler de uma superfície compacta é um invariante topológico, isso quer dizer que a característica de Euler de uma superfície é preservada por qualquer homeomorfismo.

Topologicamente duas superfícies são homeomorfas se conseguirmos exibir uma aplicação que seja contínua, invertível e sua inversa seja contínua.

Podemos visualizar isso na ilustração abaixo:

Fonte: Wikipédia

Transformamos uma rosquinha em uma caneca continuamente, ou seja, não rasgamos ou colamos nenhuma parte para transforma um objeto em outro.

A mesma coisa ocorre entre uma bola de futebol e sua representação geométrica:

 Chamamos o sólido acima de Icosaedro Truncado, para transformar o icosaedro truncado em uma bola de futebol basta ter fôlego, ou seja, basta inflar esse objeto até que ele fique redondo, pela observação anterior a característica de Euler da bola de futebol e do icosaedro são as mesmas, pois a ação de "inflar" o objeto pode ser modela através de um homeomorfismo.

De fato, basta considerar o icosaedro centrado na origem do espaço $\mathbb{R}^3$ (o ponto $(0,0,0)$ deve estar no interior do sólido) e aplicar a transformação $T:S\to\mathbb{S}^2(r)$,

definida por $T(x)=\dfrac{rx}{|x|}$.

O leitor mais familiar com topologia pode verificar que essa

aplicação é um homeomorfismo.

Em postagens futuras abordarei mais detalhadamente esses conceitos de característica, homeomorfismos e outros temas relacionados a topologia.

Voltemos ao nosso problema: calcular exatamente quantos pentágonos e hexágonos uma bola de futebol possui.

Ora, seja $P$ o número de pentágonos e $H$ o número de hexágonos na bola.

• O número de faces será exatamente $P+H$;
• O número de arestas será igual a $\dfrac{5P+6H}{2}$, pois cada pentágono possui 5 arestas e cada hexágono possui 6 arestas, o motivo do quociente 2 se deve ao fato de que cada aresta é compartilhada por dois hexágonos ou por um pentágono e um hexágono;
• O número de vértices é igual a $\dfrac{5P+6H}{3}$, pois cada pentágono possui 5 vértices e cada hexágono possui 6 vértices, o motivo do quociente 3 se deve ao fato de que cada vértice é compartilhada por dois hexágonos e um pentágono.

Agora basta olhar para a relação de Euler

$$V-A+F=2$$

e substituir as quantidades encontradas anteriormente, temos

$$\frac{5P+6H}{3}-\frac{5P+6H}{2}+P+H=2.$$

Multiplicando essa igualdade por 6 obtemos

$$10P+12H-15P-18H+6P+6H=2.$$

Efetuando as somas necessárias temos que

$$P=12.$$

Ou seja, o número de pentágonos deve ser igual a 12.

Agora perceba que cada pentágono possui 5 hexágonos ao seu redor e cada hexágono é contado 3 vezes nessa conta (basta olhar para a forma da bola), logo o número de hexágonos será 

$$H=\frac{12\cdot 5}{3}=20.$$

Assim, o número de hexágonos será 20.

Agora, note que o número de vértices nesse sólido será 

$$V=\frac{5P+6H}{3}=\frac{5\cdot 12+6\cdot 20}{3}=\frac{60+120}{3}=\frac{180}{3}=60.$$

Logo temos 60 vértices nessa estrutura, assim como no Fulereno, ele possui exatamente 60 átomos de carbono em sua composição, isso quer dizer que, embora que os químicos descobriram essa molécula acidentalmente, a natureza já conhecia topologia suficiente para determinar a existência de Fulerenos com 60 átomos. Incrível não é?

É isso pessoal, vou ficando por aqui, mas em breve teremos mais postagens relacionadas com topologia e outras curiosidades.

Até mais !