Giga Matemática: Capacidade cardíaca

terça-feira, 26 de julho de 2011

Capacidade cardíaca

A postagem anterior (Regra de Simpson) será utilizada nesta postagem, se você não sabe o que é a Regra de Simpson basta clicar no link.

O cálculo pode ser utilizada em muitos ramos e um deles é a medicina. A figura acima mostra o sistema cardiovascular humano. O sistema cardiovascular funciona da seguinte maneira: o sangue retorna do corpo através das veias, entra no átrio direito do coração e é bombeado para os pulmões pelas artérias pulmonares para a oxigenação, então volta para o átrio esquerdo por meio das veias pulmonares e daí circula para o resto do corpo através da aorta. A capacidade cardíaca do coração é o volume de sangue bombeado pelo coração por unidade de tempo, isto é, a taxa de fluxo da aorta. Para medir a capacidade cardíaca é utilizado frequentemente o método da diluição do contraste. O contraste (materiais radiopacos que são utilizados para contrastar a imagem) é injetado no átrio direito e flui através do coração na aorta. Uma sonda inserida na aorta mede a concentração do contraste saindo do coração a intervalos regulares de tempo durante um intervalo $[;\left[0,T\right];]$ até que o contraste tenha terminado.

Seja $[;c(t);]$ a concentração do contraste no tempo $[;t;]$ . Se dividirmos $[;\left[0,T\right];]$ em subintervalos de igual comprimento $[;\Delta t;]$ , então a quantidade de contraste que circula pelo ponto de medição durante o subintervalo de $[;t=t_{k-1};]$ à $[;t=t_k;]$ é aproximadamente

(concentração)(volume)= $[;c(t_k)(F\Delta t);]$

onde $[;F;]$ é a taxa de circulação que estamos tentando determinar. Então a quantidade total de contraste é aproximadamente

$[;\sum_{k=1}^nc(t_k)F \Delta t=F\sum_{k=1}^nc(t_k)\Delta t;]$

e fazendo $[;n\to\infty;]$ , calculamos que a quantidade total de contraste é

$[;A=F\int_0^Tc(t)dt;]$

Então, a capacidade cardíaca é dada por

$[;F=\frac{A}{\int_0^Tc(t)dt};]$

onde a quantidade de contraste $[;A;]$ é conhecida e a integral pode ser aproximada pelas leituras de concentração.

Exemplo: Uma quantidade de 5 mg de contraste é injetado no átrio direito. A concentração de contraste (em mligramas por litro) é medida na aorta a intervalos de $[;1;]$ segundo, como mostrado na tabela ao lado. Estime a capacidade cardíaca.

Solução: Aqui $[;A=5;]$ , $[;\Delta t=1;]$ e $[;T=10;]$ . Usamos a Regra de Simpson para aproximar a integral da concentração:

Então, a fórmula da capacidade cardíaca nos dá

$[;F=\frac{A}{\int_0^{10}c(t)dt}\approx\frac{5}{41,87}\approx 0,12 L/s = 7,2 L/min;]$

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$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$\$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $\$$
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como $ x^2=a $).

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