Lei de Benford

 

Abordaremos neste post um fato muito interessante: A Lei de Benford. Mas o que é exatamente a lei de Benford?

Bem, a Lei de Benford, também conhecida como a "Lei dos Primeiros Dígitos", é uma ferramenta muito poderosa e muito simples que aponta suspeitas de fraudes, fraudadores, sonegação de impostos, contabilístas mediócres e erros de digitação.

Aqui vai uma questão de probabilidade:

"Dada uma amostra de números aleatórios de uma fonte de dados qualquer, qual a probabilidade do primeiro dígito ser 1? E de ser 5? E 9?"

Ora, logicamente pensaríamos que todos os dígitos (de $1$ à $9$) possuem a mesma probabilidade de aparição ($P_n=1/9$), ou seja, 11,11% para cada. Saiba que no "mundo real" a probabilidade da aparição de cada número ocupando o primeiro dígito difere!

Em nosso caso seja $P_n$ a probabilidade de aparição do número $n$, $n\in\left\{1,\ldots,9\right\}$, temos:

$P_1=0,3010$, ou seja, 30,10%

$P_5=0,0792$, ou seja, 7,92%

$P_9=0,0458$, ou seja, 4,58%

Em 1881, um matemático e astrônomo americano, Simon Newcomb, percebeu que as primeiras páginas dos livros de logaritmos das bibliotecas estavam mais gastas que o resto, intrigado com isso ele investigou o assunto mais profundamente e percebeu que em amostras aleatórias de dados reais os números de 1 à 9 no primeiro dígito de um número não obedeciam a distribuição mais intuitiva, de 1/9, porém os números menores apareciam com maior frequência, o dígito 1 aparece quase 1/3  das vezes.

  Newcomb publicou no mesmo ano um breve artigo no jornal americano de matemática, neste artigo ele especulava a probabilidade de um número $d$ aparecer como o primeiro dígito seria de $\log_{10}\left(1+\frac{1}{d}\right)$ , ele intitulou este artigo como "Note on the frequency of use of the different digits in natural numbers".

Mais tarde, em 1938, o físico Frank Benford após uma investigação mais profunda chegou a mesma conclusão que Newcomb, indo mais além aplicando a fórmula em uma variedade de números para detectar o fenômeno da ocorrência de dígitos. Em 1995, Theodore P. Hill publicou uma demonstração matemática rigorosa e nela mostrou que os números da sequência de Fibonacci obedecem rigorosamente à lei.

Enunciamos agora esta lei:

"Dizemos que um conjunto satisfaz à Lei de Benford se o dígito inicial $d$  ($d\in\left\{1,\ldots,9\right\}$) ocorre com a seguinte probabilidade:

$P(d)=\log_{10}(d+1)-\log_{10}d=\log_{10}\left(1+\frac{1}{d}\right)$

A tabela abaixo mostra o cálculo dessas probabilidades para esses números: 

Aplicações:

1. Sucessão das potências de 2

Consideremos a sucessão das potências de 2, $\left(2,2^2,2^3,\ldots\right)$, e tomemos os primeiros dígitos dessas potências, vemos que obedecem à lei de Benford. Para verificar isso, tomemos uma amostra dessa sucessão, suponha os números de $2$ até $2^{100}$, vejamos as que começam com o dígito $1$:

$2^4=16$                   

$2^7=128$

$2^{10}=1024$ 

$2^{14}=16384$ 

$2^{17}=131072$ 

$2^{20}=1048576$

$\vdots$         $\vdots$ 

$2^{100}=1267650600228229401496703205376$

Um fato interessante é que as potências obedecem à uma P.A. de razão alternada na sequencia $3,3,4,3,3,4,3,3,4,\ldots$, ou seja, temos $32$ potências que começão com o algarismo $1$, isso dá 32% dos casos, veja como esse valor se aproxima da lei, se continuássemos esse processo veríamos que esse valor se aproximaria de 30,1%.

2. Sequência de Fibonacci

Os primeiros dígitos da sequência de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,...)também obedecem à lei de Benford.

No caso dos 100 primeiros números da sequência temos:

DÍGITO          OCORRÊNCIA        PROBABILIDADE

  1                      30                            30 %

  2                      18                            18 %

  3                      13                            13 %

  4                       9                              9 %

  5                       8                              8 %

  6                       6                              6 %

  7                       5                              5 %

  8                       7                              7 %

  9                        4                              4 %

No caso da sequência com os 10.000 primeiros elementos:

DÍGITO          OCORRÊNCIA          PROBABILIDADE 

   1                      301                       30,1 %

   2                      177                       17,7 %

   3                      125                       12,5 %

   4                       96                         9,6 %

   5                       80                         8,0 %

   6                       67                         6,7 %

   7                       56                         5,6 %

   8                       53                         5,3 %

   9                       45                         4,5 %

Note que os valores se aproximam dos valores da lei.

3. CONTABILIDADE: AUDITORIA FISCAL

Uma importante aplicação da Lei de Benford (porque não dizer a principal) é na Auditoria Fiscal, esse ramo da contabilidade examina se existem fraudes nas contas de empresas, bancos, instituições, e se utilizam da lei de Benford para checar se os dados são verídicos ou se foram inventados. Foi Mark Nigrini da Universidade do Sul de Methodist que abriu caminho para a aplicação da Lei de Benford à sonegação de imposto e a detecção de fraudes. Nos EUA, evidências baseadas na Lei de Benford é legalmente admissível em casos criminais de níveis federais, estatais e locais.

Generalização da Lei de Benford

A lei de Benford pode ser generalizada para encontrar a probabilidade de encontrarmos uma sequencia de dígitos iniciais. Em particular, a probabilidade de encontrarmos um número iniciando com uma sequencia de números $n$ é dada por:

$\log_{10}(n+1)-\log_{10}\left(1+\frac{1}{n}\right)$

  Por exemplo, a probabilidade de que um número se inicie com os dígitos 3,1 e 4 é $\log_{10}(1+1/314)\approx 0,0014$)

Podemos calcular a ocorrência de um certo dígito sem ser a primeira posição. Por exemplo, a probabilidade que o algarismo 2 seja encontrado como segundo dígito é 

$$\log_{10}\left(1+\frac{1}{12}\right)+\log_{10}\left(1+\frac{1}{22}\right)+\cdots+\log_{10}\left(1+\frac{1}{92}\right)\approx 0,109$$

Generalizando, a probabilidade que $d\quad (d=1,2,\ldots,9)$ seja encontrado como o    $n$-ésimo $n>1$ dígito é:

$$\sum_{k=10^{n-2}}^{10^{n-1}-1}\log_{10}\left(1+\frac{1}{10k+d}\right)$$ 

Na prática, a aplicação da Lei de Benford à detecções de fraudes geralmente usam mais do que o primeiro dígito.