quarta-feira, 20 de julho de 2011

O Floco de Neve Koch

"Niels Fabian Helge Van Koch  foi um matemático sueco que deu o seu nome ao famoso fractal conhecido como Floco de Neve Koch, que foi um dos primeiros fractais de curvas a se descrito." (Wikipédia) 

Se você quiser saber um pouco mais sobre a Geometria Fractal o blog Fatos Matemáticos possui uma postagem sobre esse assunto: Um Convite à Geometria Fractal.  Lá você descobrirá alguns fatos interessantes sobre essa curva, como por exemplo que a dimensão dessa curva é igual à [;d=\frac{log4}{log3}\approx 1,2618;].

O objetivo desse post é mostrar mais um aparente paradoxo da matemática.(para quem perdeu o primeiro paradoxo basta clicar Aqui - Trombeta de Gabriel).

O Paradoxo que existe é que o Floco de Neve Koch (ou Estrela de Koch) possui uma área finita, porém seu perímetro é infinito. Posteriormente ilustrarei melhor esse fato.

Começaremos construindo O Floco de Neve Koch.


 Para construir o floco de neve de Koch iniciamos com um triângulo equilátero de lado [;\ell;], e seguimos os seguintes passos:

1. Divida cada lado [;\ell;] em três segmentos iguais ([;\ell/3;]);
2. Desenhe um triângulo equilátero tendo como base o segmento central da divisão do lado do passo 1. (geramos nessa primeira interação três novo triângulos);
3. Remova a base utilizada para construir os triângulos do passo 2. 

O floco de neve Koch irá surgir à medida que os passos acima são repetidos infinitamente. 
Obs: Quando tomamos um segmento, ao invés de um triângulo equilátero, e executamos os passos acima temos o que chamamos de Curva de Koch, assim o Floco de Neve Koch nada mais é do que a união de três curvas de Koch. 

Como mencionamos anteriormente, o floco de neve Koch possui um perímetro infinito e uma área finita. Vejamos cada caso separadamente:


- Perímetro do Floco de Neve Koch:
  
A tabela acima representa as [;N;] interações da curva de Koch, note que inicialmente temos um segmento de tamanho [;\ell;],  no próximo passo temos [;4;] segmentos de tamanho [;\ell/3;], totalizando [;4\frac{\ell}{3};]. Após [;n;] interações teremos [;4^n;] segmentos de [;\frac{\ell}{3^n};] cada, totalizando [;\left(\frac{4}{3}\right)^n\ell;].

Assim, note que o valor dos segmentos tende à zero, porém o comprimento total da curva de Koch diverge, note que as interações representam os termos de uma P.G. de razão [;\frac{4}{3};] , como a razão dessa P.G. é maior que [;1;], então o termo geral tende ao inifinito.

Portanto, na construção do Floco de Neve Koch teremos a mesma coisa ocorrendo.
Tomamos um triàngulo equilátero de lado [;\ell;], assim seu perímetro é igual à [;P_0=3\ell;].
Na primeira interação teremos uma figura com [;12;] segmentos iguais à [;\ell/3;], e o perímetro dessa figura será igual à [;P_1=3\cdot 4\frac{\ell}{3}=4\ell;].
Na n-ésima  interação teremos uma figura com [;3\cdot 4^n;] segmentos iguais à [;\frac{\ell}{3^n};], essa figura tem um perímetro igual à [;P_n=3\ell\left(\frac{4}{3}\right)^n;].

Como o floco de neve Koch é obtido quando fazemos essas interações infinitamente, temos que o seu perímetro será o limite de [;P_n;]  quando [;n\to\infty;].

[;P_{Koch}=\lim_{n\to\infty}3\ell\left(\frac{4}{3}\right)^n=\infty;]

Logo, o perímetro do Floco de Neve Koch é INFINITO.
Vejamos o que ocorre com sua área;

-Área do Floco de Neve Koch:

 Considere inicialmente que o triângulo equilátero tem lado [;\ell;], assim sua área é igual a [;\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4};]. Na primeira interação, temos que o lado de cada pequeno triângulo é igual à [;\ell/3;], assim cada pequeno triângulo tem uma área igual à [;\frac{(\ell/3)^2\sqrt{3}}{4};], ou seja, [;\frac{1}{9}\cdot\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4};], assim a área desse pequeno triângulo é [;1/9;] da área do anterior. Após [;n;] interações a área do triângulo será [;\frac{1}{9^n};] do anterior.

Após cada interação depois da primeira acrescentamos [;4;] vezes a quantidade da interação anterior, como na primeira interação adicionamos [;3;] triângulos teremos que na n-ésima interação adicionaremos [;3\cdot 4^{n-1};] triângulos.

Combinando essas duas informações temos que a área da figura após [;n+1;]   interações será dada por:
[;A_{n+1}=A_n+\frac{3\cdot 4^{n-1}}{9^n}A_0,\quad n\geq 1;] 
A fórmula acima nos diz que a área  é igual à área da interação anterior mais uma certa quantidade de triângulos menores expresso pela segunda parcela à direita da igualdade.

Definimos [;A_0;] como sendo  a área do triângulo equilátero inicial e [;A_1=\frac{4}{3}A_0;].

Podemos expressar a fórmula de recurssão como a seguinte soma:

[;A_{n+1}=\frac{4}{3}A_0+\sum_{k=2}^n\frac{3\cdot 4^{k-1}}{9^k}A_0;]

Assim,

[;A_{n+1}=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sum_{k=2}^n3\frac{3\cdot 4^{k-1}}{9^k}\right)A_0=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sum_{k=2}^n\frac{9\cdot 4^{k-1}}{9^k}\right)A_0;]

[;A_{n+1}=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n\frac{4^k}{9^k}\right)A_0;]
Assim, a área do Floco de Neve Koch será o limite de [;A_{n+1};] quando [;n\to\infty;], logo:
[;A_{Koch}=\lim_{n\to\infty}A_{n+1}=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4^k}{9^k}\right)A_0;]
Note que o seguinte somatório é a soma dos infinitos termos sde um P.G. de razão [;|q|<1;], de fato [;q=\frac{4}{9}<1;]:
[;\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4^k}{9^k}=\frac{4}{9}+\frac{4^2}{9^2}+\cdots=\frac{4/9}{1-4/9};]
Assim, 
 [;\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4^k}{9^k}=\frac{4}{5};] 
Portanto,
[;A_{Koch}=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5}\right)A_0=\frac{8}{5}A_0;]
Lembre que [;A_0=\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4};], portanto:
[;A_{Koch}=\frac{2\ell^2\sqrt{3}}{5};] 
Deste modo, o Floco de Neve Koch possui uma área finita.

-Analogia:
Para entender melhor o que acontece com o Floco de Neve Koch suponha que possamos construir uma cerca com o formato dessa figura, assim conseguiríamos cercar uma área que está bem definida, porém se começarmos a andar pela "cerca" nunca conseguiríamos retornar ao ponto de partida.
 

8 comentários:

  1. Olá Diego,
    Gostei muito deste artigo e da forma como conduziu as demonstrações do limite do prímetro e da área. Um fato curioso é que esta curva, apesar de ser contínua em toda sua extensão, não possui derivada em nenhum ponto, veja este post:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2010/09/as-curvas-continuas-sem-derivadas.html

    Um forte abraço.

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  2. Na 11ª linha abaixo da "tabela do perímetro", você colocou que:
    "Na segunda interação teremos uma figura com 12 segmentos iguais..."
    Neste caso, não seria a primeira iteração? Pois a figura original é um triângulo de perímetro igual a [;P_0=3\ell;] e após a primeira iteração, passa a ter os subtriângulos nos segmentos médios de cada lado, totalizando 12 segmentos, com perímetro igual a [;P_2=3\cdot 4\frac{\ell}{3}=4\ell;]

    Abraços

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  3. Muito obrigado pelas observações, já corrigi os erros. Li seu post sobre curvas contínuas que não são diferenciáveis. Se uma curva é diferenciável, então ela é contínua, o seu exemplo é um ótimo subterfúgio para mostrar que a recíproca é falsa.

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  4. O mais impressionante é que se tentarmos desenhar essa figura, nunca acabaria-mos de construí-la, pois seu perímetro é infinito. Porém, caso encontrasse-mos ela construída, seria possível pinta-la, pois sua área é finita.

    Obrigado pelos elogios no meu blog. De fato, tenho muita curiosidade em buscar nossos assuntos e novas respostas, tanto que quero ir pra área de pesquisa.

    Podemos formar uma parceria sim, aqui está o banner: http://portalcognoscere.files.wordpress.com/2011/07/untitled-2.png

    Se você se interessar, tenho um outro blog no qual estou trabalhando com uns amigos. A idéia dele é divulgar qualquer tipo de conhecimento, de forma que qualquer um possa enviar artigos para serem aprovados. Se você quiser, podemos fechar uma parceria com ele também!
    http://portalcognoscere.wordpress.com/

    Já vou colocar o seu banner no Mathematica BR. Sucesso no seu mestrado e doutorado, haha! Quem sabe um dia nos encontramos na área de pesquisa. Abraço!

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  5. onde estam as fontes?

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  6. Boa tarde, venho por veste meio informar ao director da pagina, que neste momento tem muitas falhas. Ve se muitos códigos,das imagens em vez da mesma.

    Aqui em baixo deixo um pequeno exemplo.

    Assim, a área do Floco de Neve Koch será o limite de [;A_{n+1};] quando [;n\to\infty;], logo:
    [;A_{Koch}=\lim_{n\to\infty}A_{n+1}=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4^k}{9^k}\right)A_0;]

    Apesar destas pequenas falhas, é uma teoria bastante interessante e curiosa, que esta muito bem "falada" e ilustrada apesar das poucas imagens que se vejam.


    Obrigada pela atenção.

    :)

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Você pode inserir suas fórmulas e equações no formato $\LaTeX$ nos comentários, basta escrevê-lo entre os símbolos $ \$ \ldots \$ $. Por exemplo, se você deseja escrever a seguinte fórmula:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

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