quarta-feira, 20 de julho de 2011

O Floco de Neve Koch

"Niels Fabian Helge Van Koch  foi um matemático sueco que deu o seu nome ao famoso fractal conhecido como Floco de Neve Koch, que foi um dos primeiros fractais de curvas a se descrito." (Wikipédia) 

Se você quiser saber um pouco mais sobre a Geometria Fractal o blog Fatos Matemáticos possui uma postagem sobre esse assunto: Um Convite à Geometria Fractal.  Lá você descobrirá alguns fatos interessantes sobre essa curva, como por exemplo que a dimensão dessa curva é igual à [;d=\frac{log4}{log3}\approx 1,2618;].

O objetivo desse post é mostrar mais um aparente paradoxo da matemática.(para quem perdeu o primeiro paradoxo basta clicar Aqui - Trombeta de Gabriel).

O Paradoxo que existe é que o Floco de Neve Koch (ou Estrela de Koch) possui uma área finita, porém seu perímetro é infinito. Posteriormente ilustrarei melhor esse fato.

Começaremos construindo O Floco de Neve Koch.


 Para construir o floco de neve de Koch iniciamos com um triângulo equilátero de lado [;\ell;], e seguimos os seguintes passos:

1. Divida cada lado [;\ell;] em três segmentos iguais ([;\ell/3;]);
2. Desenhe um triângulo equilátero tendo como base o segmento central da divisão do lado do passo 1. (geramos nessa primeira interação três novo triângulos);
3. Remova a base utilizada para construir os triângulos do passo 2. 

O floco de neve Koch irá surgir à medida que os passos acima são repetidos infinitamente. 
Obs: Quando tomamos um segmento, ao invés de um triângulo equilátero, e executamos os passos acima temos o que chamamos de Curva de Koch, assim o Floco de Neve Koch nada mais é do que a união de três curvas de Koch. 

Como mencionamos anteriormente, o floco de neve Koch possui um perímetro infinito e uma área finita. Vejamos cada caso separadamente:


- Perímetro do Floco de Neve Koch:
  
A tabela acima representa as [;N;] interações da curva de Koch, note que inicialmente temos um segmento de tamanho [;\ell;],  no próximo passo temos [;4;] segmentos de tamanho [;\ell/3;], totalizando [;4\frac{\ell}{3};]. Após [;n;] interações teremos [;4^n;] segmentos de [;\frac{\ell}{3^n};] cada, totalizando [;\left(\frac{4}{3}\right)^n\ell;].

Assim, note que o valor dos segmentos tende à zero, porém o comprimento total da curva de Koch diverge, note que as interações representam os termos de uma P.G. de razão [;\frac{4}{3};] , como a razão dessa P.G. é maior que [;1;], então o termo geral tende ao inifinito.

Portanto, na construção do Floco de Neve Koch teremos a mesma coisa ocorrendo.
Tomamos um triàngulo equilátero de lado [;\ell;], assim seu perímetro é igual à [;P_0=3\ell;].
Na primeira interação teremos uma figura com [;12;] segmentos iguais à [;\ell/3;], e o perímetro dessa figura será igual à [;P_1=3\cdot 4\frac{\ell}{3}=4\ell;].
Na n-ésima  interação teremos uma figura com [;3\cdot 4^n;] segmentos iguais à [;\frac{\ell}{3^n};], essa figura tem um perímetro igual à [;P_n=3\ell\left(\frac{4}{3}\right)^n;].

Como o floco de neve Koch é obtido quando fazemos essas interações infinitamente, temos que o seu perímetro será o limite de [;P_n;]  quando [;n\to\infty;].

[;P_{Koch}=\lim_{n\to\infty}3\ell\left(\frac{4}{3}\right)^n=\infty;]

Logo, o perímetro do Floco de Neve Koch é INFINITO.
Vejamos o que ocorre com sua área;

-Área do Floco de Neve Koch:

 Considere inicialmente que o triângulo equilátero tem lado [;\ell;], assim sua área é igual a [;\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4};]. Na primeira interação, temos que o lado de cada pequeno triângulo é igual à [;\ell/3;], assim cada pequeno triângulo tem uma área igual à [;\frac{(\ell/3)^2\sqrt{3}}{4};], ou seja, [;\frac{1}{9}\cdot\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4};], assim a área desse pequeno triângulo é [;1/9;] da área do anterior. Após [;n;] interações a área do triângulo será [;\frac{1}{9^n};] do anterior.

Após cada interação depois da primeira acrescentamos [;4;] vezes a quantidade da interação anterior, como na primeira interação adicionamos [;3;] triângulos teremos que na n-ésima interação adicionaremos [;3\cdot 4^{n-1};] triângulos.

Combinando essas duas informações temos que a área da figura após [;n+1;]   interações será dada por:
[;A_{n+1}=A_n+\frac{3\cdot 4^{n-1}}{9^n}A_0,\quad n\geq 1;] 
A fórmula acima nos diz que a área  é igual à área da interação anterior mais uma certa quantidade de triângulos menores expresso pela segunda parcela à direita da igualdade.

Definimos [;A_0;] como sendo  a área do triângulo equilátero inicial e [;A_1=\frac{4}{3}A_0;].

Podemos expressar a fórmula de recurssão como a seguinte soma:

[;A_{n+1}=\frac{4}{3}A_0+\sum_{k=2}^n\frac{3\cdot 4^{k-1}}{9^k}A_0;]

Assim,

[;A_{n+1}=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sum_{k=2}^n3\frac{3\cdot 4^{k-1}}{9^k}\right)A_0=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sum_{k=2}^n\frac{9\cdot 4^{k-1}}{9^k}\right)A_0;]

[;A_{n+1}=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n\frac{4^k}{9^k}\right)A_0;]
Assim, a área do Floco de Neve Koch será o limite de [;A_{n+1};] quando [;n\to\infty;], logo:
[;A_{Koch}=\lim_{n\to\infty}A_{n+1}=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4^k}{9^k}\right)A_0;]
Note que o seguinte somatório é a soma dos infinitos termos sde um P.G. de razão [;|q|<1;], de fato [;q=\frac{4}{9}<1;]:
[;\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4^k}{9^k}=\frac{4}{9}+\frac{4^2}{9^2}+\cdots=\frac{4/9}{1-4/9};]
Assim, 
 [;\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4^k}{9^k}=\frac{4}{5};] 
Portanto,
[;A_{Koch}=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5}\right)A_0=\frac{8}{5}A_0;]
Lembre que [;A_0=\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4};], portanto:
[;A_{Koch}=\frac{2\ell^2\sqrt{3}}{5};] 
Deste modo, o Floco de Neve Koch possui uma área finita.

-Analogia:
Para entender melhor o que acontece com o Floco de Neve Koch suponha que possamos construir uma cerca com o formato dessa figura, assim conseguiríamos cercar uma área que está bem definida, porém se começarmos a andar pela "cerca" nunca conseguiríamos retornar ao ponto de partida.
 

7 comentários:

  1. Olá Diego,
    Gostei muito deste artigo e da forma como conduziu as demonstrações do limite do prímetro e da área. Um fato curioso é que esta curva, apesar de ser contínua em toda sua extensão, não possui derivada em nenhum ponto, veja este post:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2010/09/as-curvas-continuas-sem-derivadas.html

    Um forte abraço.

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  2. Na 11ª linha abaixo da "tabela do perímetro", você colocou que:
    "Na segunda interação teremos uma figura com 12 segmentos iguais..."
    Neste caso, não seria a primeira iteração? Pois a figura original é um triângulo de perímetro igual a [;P_0=3\ell;] e após a primeira iteração, passa a ter os subtriângulos nos segmentos médios de cada lado, totalizando 12 segmentos, com perímetro igual a [;P_2=3\cdot 4\frac{\ell}{3}=4\ell;]

    Abraços

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  3. Muito obrigado pelas observações, já corrigi os erros. Li seu post sobre curvas contínuas que não são diferenciáveis. Se uma curva é diferenciável, então ela é contínua, o seu exemplo é um ótimo subterfúgio para mostrar que a recíproca é falsa.

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  4. O mais impressionante é que se tentarmos desenhar essa figura, nunca acabaria-mos de construí-la, pois seu perímetro é infinito. Porém, caso encontrasse-mos ela construída, seria possível pinta-la, pois sua área é finita.

    Obrigado pelos elogios no meu blog. De fato, tenho muita curiosidade em buscar nossos assuntos e novas respostas, tanto que quero ir pra área de pesquisa.

    Podemos formar uma parceria sim, aqui está o banner: http://portalcognoscere.files.wordpress.com/2011/07/untitled-2.png

    Se você se interessar, tenho um outro blog no qual estou trabalhando com uns amigos. A idéia dele é divulgar qualquer tipo de conhecimento, de forma que qualquer um possa enviar artigos para serem aprovados. Se você quiser, podemos fechar uma parceria com ele também!
    http://portalcognoscere.wordpress.com/

    Já vou colocar o seu banner no Mathematica BR. Sucesso no seu mestrado e doutorado, haha! Quem sabe um dia nos encontramos na área de pesquisa. Abraço!

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  5. onde estam as fontes?

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Você pode inserir suas fórmulas e equações no formato $\LaTeX$ nos comentários, basta escrevê-lo entre os símbolos $ \$ \ldots \$ $. Por exemplo, se você deseja escrever a seguinte fórmula:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

Agora é com você, comente à vontade, seu comentário é uma ferramenta fundamental para o crescimento do Giga Matemática!!!