O Floco de Neve Koch

"Niels Fabian Helge Van Koch  foi um matemático sueco que deu o seu nome ao famoso fractal conhecido como Floco de Neve Koch, que foi um dos primeiros fractais de curvas a se descrito." (Wikipédia) 

Se você quiser saber um pouco mais sobre a Geometria Fractal o blog Fatos Matemáticos possui uma postagem sobre esse assunto: Um Convite à Geometria Fractal.  Lá você descobrirá alguns fatos interessantes sobre essa curva, como por exemplo que a dimensão dessa curva é igual à .

O objetivo desse post é mostrar mais um aparente paradoxo da matemática.(para quem perdeu o primeiro paradoxo basta clicar Aqui - Trombeta de Gabriel).

O Paradoxo que existe é que o Floco de Neve Koch (ou Estrela de Koch) possui uma área finita, porém seu perímetro é infinito. Posteriormente ilustrarei melhor esse fato.

Começaremos construindo O Floco de Neve Koch.

 Para construir o floco de neve de Koch iniciamos com um triângulo equilátero de lado , e seguimos os seguintes passos:

1. Divida cada lado em três segmentos iguais ();
2. Desenhe um triângulo equilátero tendo como base o segmento central da divisão do lado do passo 1. (geramos nessa primeira interação três novo triângulos);
3. Remova a base utilizada para construir os triângulos do passo 2. 

O floco de neve Koch irá surgir à medida que os passos acima são repetidos infinitamente. 
Obs: Quando tomamos um segmento, ao invés de um triângulo equilátero, e executamos os passos acima temos o que chamamos de Curva de Koch, assim o Floco de Neve Koch nada mais é do que a união de três curvas de Koch. 

Como mencionamos anteriormente, o floco de neve Koch possui um perímetro infinito e uma área finita. Vejamos cada caso separadamente:


- Perímetro do Floco de Neve Koch:

  
A tabela acima representa as interações da curva de Koch, note que inicialmente temos um segmento de tamanho ,  no próximo passo temos segmentos de tamanho , totalizando . Após interações teremos segmentos de cada, totalizando .

Assim, note que o valor dos segmentos tende à zero, porém o comprimento total da curva de Koch diverge, note que as interações representam os termos de uma P.G. de razão , como a razão dessa P.G. é maior que , então o termo geral tende ao inifinito.

Portanto, na construção do Floco de Neve Koch teremos a mesma coisa ocorrendo.
Tomamos um triàngulo equilátero de lado , assim seu perímetro é igual à .
Na primeira interação teremos uma figura com segmentos iguais à , e o perímetro dessa figura será igual à .
Na n-ésima  interação teremos uma figura com segmentos iguais à , essa figura tem um perímetro igual à .

Como o floco de neve Koch é obtido quando fazemos essas interações infinitamente, temos que o seu perímetro será o limite de   quando .

Logo, o perímetro do Floco de Neve Koch é INFINITO.

Vejamos o que ocorre com sua área;

-Área do Floco de Neve Koch:

 Considere inicialmente que o triângulo equilátero tem lado , assim sua área é igual a . Na primeira interação, temos que o lado de cada pequeno triângulo é igual à , assim cada pequeno triângulo tem uma área igual à , ou seja, , assim a área desse pequeno triângulo é da área do anterior. Após interações a área do triângulo será do anterior.

Após cada interação depois da primeira acrescentamos vezes a quantidade da interação anterior, como na primeira interação adicionamos triângulos teremos que na n-ésima interação adicionaremos triângulos.

Combinando essas duas informações temos que a área da figura após   interações será dada por:

 

A fórmula acima nos diz que a área  é igual à área da interação anterior mais uma certa quantidade de triângulos menores expresso pela segunda parcela à direita da igualdade.

Definimos como sendo  a área do triângulo equilátero inicial e .

Podemos expressar a fórmula de recurssão como a seguinte soma:

Assim,

Assim, a área do Floco de Neve Koch será o limite de quando , logo:

Note que o seguinte somatório é a soma dos infinitos termos sde um P.G. de razão , de fato :

Assim, 

  

Portanto,

Lembre que , portanto:

 

Deste modo, o Floco de Neve Koch possui uma área finita.

-Analogia:

Para entender melhor o que acontece com o Floco de Neve Koch suponha que possamos construir uma cerca com o formato dessa figura, assim conseguiríamos cercar uma área que está bem definida, porém se começarmos a andar pela "cerca" nunca conseguiríamos retornar ao ponto de partida.