sexta-feira, 15 de julho de 2011

Usando a Parábola para Multiplicar

Hoje iremos falar de uma propriedade bastante interessante sobre a parábola [;y=x^2;].
Esta parábola tem a seguinte propriedade:

 Dados dois pontos na parábola [;y=x^2;], de modo que um ponto esteja no 1º quadrante (+,+) e o outro no segundo quadrante (-,+). Tomamos o segmento que une esses pontos, esse segmento intercepta o eixo das ordenadas ([;0x;]) no ponto [;M;].
Temos que a projeção de [;A;] e [;B;] sobre o eixo geram os pontos [;A_1;] e [;B_1;].
Definimos [;a=\overline{A_1O};] e [;b=\overline{OB_1};]. Mostraremos que [;a\cdot b=\overline{OM};].

 Quer observar isso na prática? Pois abaixo segue um applet em que você pode alterar a posição dos pontos sobre o eixo das abscissas e observar como os pontos se movimentam sobre a parábola, como se forma o ponto [;M;] e verificar o resultado.

Para interagir com a figura basta que você altere a posição dos pontos sobre o eixo.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Segue aqui uma demostração formal para este fato:

Demonstração da Propriedade:
 Tomemos a parábola [;y=x^2;] e os pontos [;A(-a,a^2);] e [;B(b,b^2);] sobre ela.
Note que podemos facilmente descobrir os pontos que representam as projeções dos pontos [;A;] e [;B;] sobre o eixo das abscissas. Veja que esses pontos são [;A_1(-a,0);] e [;B_1(b,0);] de forma que distam [;a;] e [;b;] unidades da origem respectivamente.
É óbvio que o ponto [;M(x,y);]  tem a primeira coordenada nula, ou seja, [;x=0;], assim [;M(0,y);] e [;y;] reprenta a multiplicação de [;a;] com [;b;], assim [;y=a\cdot b;]. Verifiquemos isso,
Note que o ponto [;M;] pertence à reta que passa por [;A;] e [;B;], assim:
[;\frac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A};]
[;\frac{y-a^2}{0-(-a)}=\frac{b^2-a^2}{b-(-a)};]
[;\frac{y-a^2}{a}=\frac{(b-a)(b+a)}{b+a};]
[;y-a^2=a(b-a)\rightarrow y-a^2=ab-a^2;] 
[;y=ab;]
Assim as coordenadas de [;M;] são [;(0,ab);]. A propriedade está demonstrada.

Um agradecimento especial ao blog Dados de Deus pela dica de como adicionar o applet à postagem.
Postado por Diego Sousa às 16:11
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6 comentários:

  1. DadosDeDeus16 de julho de 2011 às 12:16

    Bem legal essa propriedade da parábola. O applet também ficou muito bom, parabéns.

    Seu blog está cada vez melhor, continue assim.

    Abraços!

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  2. Diego Sousa16 de julho de 2011 às 12:34

    Obrigado pelo comentário, você orientou bem como adicionar o applet. Sucesso para nós!

    Volte sempre!

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  3. Kleber Kilhian17 de julho de 2011 às 10:47

    Olá Diego, achei muito interessante esse método utilizando a parábola. Olhando as projeçoes, vemos que os pontos A1MB1 formam um triângulo e temos que a altura deste triângulo é igual ao produto dos segmentos de sua base OA1 e OB1. Realmente engenhoso. Funciona para qualquer parábola ou somente para a [;y=x^2;]?
    Ótima postagem, obrigado por compartilhar.
    Para fazer estes aplets no geogebra, leva-se muito tempo, ou é relativamente rápido? Pois gostaria de fazer alguns, pois ajudam no esclarecimento de muitos problemas.
    Um abraço!

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  4. Francisco Valdir17 de julho de 2011 às 16:23

    Olá, Diego!
    Que coisa interessante, amigo! Parabéns com louvor! Dizem que Jesus para se comunicar, ou seja: para passar os seus ensinamentos, utilizava-se das parábolas e eu agora... acredito que descobri a fonte do seu poder de fazer a multiplicação de pão e peixes! KKKKKKK! É brincadeira! Mas, notei que podemos utilizarmos uma parábola como um instrumento... ábaco.
    Faço quase a mesma pergunta do Klebler, o ponto de vértice da parábola tem que pertencer ao eixo das ordenadas?
    Um abraço!!!!!

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  5. Diego Sousa18 de julho de 2011 às 15:15

    Respondendo a pergunta do Kléber e do Francisco Valdir. O ponto de vértice da parábola influencia diretamente no resultado.
    Por exemplo, se tivéssemos a parábola [;y=kx^2;] com [;k\in\mathbb{R};], o resultado seria multiplicado por [;k;].
    Se fizermos uma translação em relação ao eixo [;y;] de [;k;] unidades, então o resultado seria adicionado de [;k;] unidades.
    Assim, a prorpiedade é facilmente verificada para a parábola [;y=x^2;].

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  6. Diego Sousa18 de julho de 2011 às 15:20

    Respondendo a pergunta do Kléber quanto a criação do applet.
    O tempo de criação de um applet é relativo ao conhecimento da pessoa.No applet da postagem eu utilizei o Geogebra, um programa de geometria dinamica, o blog Dados de Deus deu uma grande colaboração para tornar possível, pois uns dias atrás eu perguntei era feito esses applets e ele me respondeu o seguinte:

    Olá, Diego!

    Seja bem vindo, como sempre. Essas demonstrações são realmente bem legais, gosto especialmente daquela pelas áreas.

    Pois é, já fazia um tempo que estávamos procurando um software de geometria dinâmica que pudesse gerar um applet compatível com o Blogger. Descobri agora que o próprio Geogebra faz isso de uma forma bem simples.

    1-) Acesse http://www.geogebra.org/cms/en/download e selecione Aplpet Start (para não ter que baixar)

    2-) Após terminar o trabalho, vá em Arquivo > Exportar > Planilha Dinâmica como Página WEB (html)

    3-) Clique em Avançado e onde está Arquivo:html selecione Área de Transferência: html

    4-) Altere largura e altura para que caiba no seu design

    5-) Abra sua página de edição do Blogger e dê um Ctrl+v no código fonte

    6-) Apague o cabeçalho html, do contrário o Blogger não entende o comando

    Qualquer coisa estamos aí =]

    Abraços!

    Se houver outras dúvidas entre em contato comigo ou o blog Dados de Deus.

    Até mais !

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Você pode inserir suas fórmulas e equações no formato $\LaTeX$ nos comentários, basta escrevê-lo entre os símbolos $ \$ \ldots \$ $. Por exemplo, se você deseja escrever a seguinte fórmula:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

Agora é com você, comente à vontade, seu comentário é uma ferramenta fundamental para o crescimento do Giga Matemática!!!

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