Tentando dar uma Demonstração ao Último Teorema de Fermat (Parte 1)

Por volta de 1635 o matemático Pierre de Fermat propôs o seguinte teorema com o enunciado bastante simples:
"Na seguinte equação

 

não existe nenhum conjunto de inteiros positivos e , com , que satisfaça a equação acima."
Apesar do enunciado aparentemente simples a prova deste fato não é nada simples, apesar de Fermat ter afirmado que possuia uma demonstração verdadeiramente maravilhosa, esta afirmação foi escrita nas margens do Aritmetica Diofanto e Fermat acrescentou o motivo de não ter exibido tal demonstração: "... mas esta margem é muito estreita para contê-la".
Depois disso uma dúvida ficou no ar: Fermat realmente teria uma prova para este fato? Estaria ela mentindo?
O Fato é que este problema desafiou inúmeros matemáticos durante mais de 300 anos, alguns amaldiçoavam a falta de espaço daquela margem, outros se esforçavam para tentar resolver este enigma, mas ninguém conseguia ter sucesso, somente em 1993 o matemático Andrews Wiles exibiu uma prova para o teorema, mas foram encontrado alguns erros em sua demonstração, o mesmo concertou os erros e apresentou novamente uma prova completamente correta para este fato.

Como citei inicialmente, o enunciado do Último Teorema de Fermat tem um enunciado tão simples que um aluno do ensino fundamental entenderia, porém a sua demonstração é tão complexa que até doutores não compreenderam completamente o que Willes havia feito, nem mesmo Fermat poderia sonhar em ter a mesma demonstração de Wiles.
Wiles utilizou em sua demonstração conceitos avançadíssimos de teoria dos números, tais como curvas elípticas, formas modulares e representações galoisianas, que não existiam na época de Fermat, por isso alguns matemáticos afirmam que Fermat apenas estava "desafiando" os matemáticos da sua época (como era seu costume).
Wiles provou um caso particular da Conjectura de Shimura-Taniyama, esta implicava o teorema de fermat.


Na segunda parte desta postagem será apresentada uma tentativa de demonstração do Prof. Sebá (Sebastião Vieira) para o Último Teorema de Fermat, não percam!

Capacidade cardíaca

 

A postagem anterior (Regra de Simpson) será utilizada nesta postagem, se você não sabe o que é a Regra de Simpson basta clicar no link.

O cálculo pode ser utilizada em muitos ramos e um deles é a medicina. A figura acima mostra o sistema cardiovascular humano. O sistema cardiovascular funciona da seguinte maneira: o sangue retorna do corpo através das veias, entra no átrio direito do coração e é bombeado para os pulmões pelas artérias pulmonares para a oxigenação, então volta para o átrio  esquerdo por meio das veias pulmonares e daí circula para o resto do corpo através da aorta. A capacidade cardíaca do coração é o volume de sangue bombeado pelo coração por unidade de tempo, isto é, a taxa de fluxo da aorta. Para medir a capacidade cardíaca é utilizado frequentemente o método da diluição do contraste. O contraste (materiais radiopacos que são utilizados para contrastar a imagem) é injetado no átrio direito e flui através do coração na aorta. Uma sonda inserida na aorta mede a concentração do contraste saindo do coração a intervalos regulares de tempo durante um intervalo até que o contraste tenha terminado.

Regra de Simpson

Todos que utilizam o cálculo em suas vidas como um intrumento prático já se deparou com o cálculo de integrais. Normalmente quando temos uma integral definida do tipo iniciamos procurando uma função tal que , dizemos que é uma primitiva de . Deste modo o cálculo desta integral se reduz à calcular o seguinte:

 

Mas este tipo de abordagem não gera resultados quanto tentamos calcular algumas integrais aparentemente simples, tais como:

Isso se deve ao fato de que não existem funções elementares cujas derivadas sejam e . 

Para resolver esse problema usaremos uma técnica do cálculo numérico denominada Regra de Simpson.

Se você tomar um livro de cálculo você encontrará outros métodos (Regra do trapésio, regra dos retângulos, regra dos pontos médios), porém nos deteremos à Regra de Simpson pois esta nos dá um valor muito mais aproximado do verdadeiro valor do que as outras regras.

Lei de Benford

 

Abordaremos neste post um fato muito interessante: A Lei de Benford. Mas o que é exatamente a lei de Benford?

Bem, a Lei de Benford, também conhecida como a "Lei dos Primeiros Dígitos", é uma ferramenta muito poderosa e muito simples que aponta suspeitas de fraudes, fraudadores, sonegação de impostos, contabilístas mediócres e erros de digitação.

Aqui vai uma questão de probabilidade:

"Dada uma amostra de números aleatórios de uma fonte de dados qualquer, qual a probabilidade do primeiro dígito ser 1? E de ser 5? E 9?"

Ora, logicamente pensaríamos que todos os dígitos (de $1$ à $9$) possuem a mesma probabilidade de aparição ($P_n=1/9$), ou seja, 11,11% para cada. Saiba que no "mundo real" a probabilidade da aparição de cada número ocupando o primeiro dígito difere!

Em nosso caso seja $P_n$ a probabilidade de aparição do número $n$, $n\in\left\{1,\ldots,9\right\}$, temos:

$P_1=0,3010$, ou seja, 30,10%

$P_5=0,0792$, ou seja, 7,92%

$P_9=0,0458$, ou seja, 4,58%

O Floco de Neve Koch

"Niels Fabian Helge Van Koch  foi um matemático sueco que deu o seu nome ao famoso fractal conhecido como Floco de Neve Koch, que foi um dos primeiros fractais de curvas a se descrito." (Wikipédia) 

Se você quiser saber um pouco mais sobre a Geometria Fractal o blog Fatos Matemáticos possui uma postagem sobre esse assunto: Um Convite à Geometria Fractal.  Lá você descobrirá alguns fatos interessantes sobre essa curva, como por exemplo que a dimensão dessa curva é igual à .

O objetivo desse post é mostrar mais um aparente paradoxo da matemática.(para quem perdeu o primeiro paradoxo basta clicar Aqui - Trombeta de Gabriel).

O Paradoxo que existe é que o Floco de Neve Koch (ou Estrela de Koch) possui uma área finita, porém seu perímetro é infinito. Posteriormente ilustrarei melhor esse fato.

Começaremos construindo O Floco de Neve Koch.

 Para construir o floco de neve de Koch iniciamos com um triângulo equilátero de lado , e seguimos os seguintes passos:

1. Divida cada lado em três segmentos iguais ();
2. Desenhe um triângulo equilátero tendo como base o segmento central da divisão do lado do passo 1. (geramos nessa primeira interação três novo triângulos);
3. Remova a base utilizada para construir os triângulos do passo 2. 

O floco de neve Koch irá surgir à medida que os passos acima são repetidos infinitamente. 
Obs: Quando tomamos um segmento, ao invés de um triângulo equilátero, e executamos os passos acima temos o que chamamos de Curva de Koch, assim o Floco de Neve Koch nada mais é do que a união de três curvas de Koch. 

Como mencionamos anteriormente, o floco de neve Koch possui um perímetro infinito e uma área finita. Vejamos cada caso separadamente:

Usando a Parábola para Multiplicar

Hoje iremos falar de uma propriedade bastante interessante sobre a parábola .
Esta parábola tem a seguinte propriedade:

Dados dois pontos na parábola , de modo que um ponto esteja no 1º quadrante (+,+) e o outro no segundo quadrante (-,+). Tomamos o segmento que une esses pontos, esse segmento intercepta o eixo das ordenadas () no ponto .
Temos que a projeção de e sobre o eixo geram os pontos e .
Definimos e . Mostraremos que .

Quer observar isso na prática? Pois abaixo segue um applet em que você pode alterar a posição dos pontos sobre o eixo das abscissas e observar como os pontos se movimentam sobre a parábola, como se forma o ponto e verificar o resultado.

A Trombeta de Gabriel

A trombeta de Gabriel ou Trombeta de Torricelli, é uma superfície com  uma estranha propriedade:
Possui volume FINITO, porém sua área superficial é INFINITA. É assim chamada pois faz referência à trombeta que o Arcanjo Gabriel tocará, anunciando assim o dia do juízo final, associando o divino, ou infinito, com o finito. As propriedades dessa superfície foram estudadas pelo matemático e físico italiano Evangelista Torricelli, daí o nome de Trombeta de Torricelli. (Wikipédia).