Nesse post iremos tratar do famoso número de Euler ![[;e;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_stYPJTwzC01atx4hWOjsdAuleRNCZm6GbMlk4B0sFjyviF1Mx-DjbQh0HG-aOAfZoPCqHCsQLt0Q=s0-d "e")
, assim chamado em homenagem ao matemático suiço Leonard Euler, e o mesmo é a base dos logaritmos naturais. Iremos mostrar sua existência e que é limitado, ![[;e<3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vaxXP0doSJQkdEkDfb4ZPqyOkZgLcR3py5OFKBh2asS7anxR4NDHyPOjtzPZXcaTBcZ8ypNOPfzj3gSnnp=s0-d "e<3")
.
, assim chamado em homenagem ao matemático suiço Leonard Euler, e o mesmo é a base dos logaritmos naturais. Iremos mostrar sua existência e que é limitado, .Definimos como sendo o seguinte limite
como sendo o seguinte limite![[;e=\lim_{n\to\infty}{(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_unXVe7er-U0fHgbBFHh2_w4_gsO9ce-a31KEKYtE2_YwidXr9PV_I6vrKP_zH1E_LN5STcMEtmPP3r8WaiV_dVrF1K55vR4uXiP-AB_WbF92oS4UxsRSrZqoy0NsPFFz4pTgci_5XvBy5fHNMcSWWcNtPLTopZhCqj7QaOYQ732zT0wIKUG6msYGo=s0-d "e=\lim_{n\to\infty}{(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n}")
Para isso, iremos provar que esse limite existe.
Considere a quantidade
![[;x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sKmS4B-EVQ0HhN_LgozOzmUqSPihLmOPB-SutTVJO1LaQQyFr1BiDr04yt-z6w0g7t0FWqXXMDDnENK1dS7lB_wIF55TcbjtTDs1t9MvG0Y7Vkyg-4Wlkuta-TaxfTT_9bGXgdObijPRck-L4=s0-d "x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n")
![[;x_n=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot\frac{1}{n^3}+\cdots +\frac{1}{n^n};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sadmYQIVW9qAqsWA8Nof4W2rk1NO7Rhs7maBgrbPFgPQ43fJ-iZ81tZpXSN0aHUP2uyQFbHmZaJpIL5_sErEGUF1EbLi-NV-H31LhcnuB3peBRdlMuti3LDo7u1n79mLdABZctKDJdYZ4feja8Jjok4m9EOugyuUaFv7d-p15d7dM7dwgqEsLMwbrZMaBQy6z2p36_MZ83AIeak9f2W4Rio1DERUCRKTpJsv1cUUqFkl3uTRM_XOZjjVcLleS739kbwauQJOXmLDWDO9OShjG2EAksJ68hVEG_QI5TejittxzlWHefZmlLwIw6XkbPiyF5tSS6TSNTBw1WqRJ8TgS1Y4mF8d46zH2c7rmLgBUYAE0OhCWc7sLPXKjwCTjO1pTGxZbwBzmmvm-DoREzVKy9=s0-d "x_n=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot\frac{1}{n^3}+\cdots +\frac{1}{n^n}")
![[;\displaystyle =1+1+\frac{1}{1\cdot 2}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots +\frac{1}{n^n};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u5vctKFVSSAzLSr34rezsmlGJvmwdgI22DYCTcTB-1qhXgL_mv2Kdw19N3lnd3np4T2TLRArqdYloGdiGQ7O_qbThwJATjnjNQwbCEiblxj5ujGDUX1VrJn4bkbrnO6shxy7goYZM8RvlgxssS_xtiNzPHjSbz19tVCYa2dTzT7BuEmC_KT9zy8w4MsPGQ89Jvhlw-GkXxpJad735W67MQ7ZMNtbXAOTL6r7jO1nRdSAHg2H7-XiIiQOAKRdWHELmtjRbh615Lt27kwQRhB8qafKThi_dQY47JouN6zqrbgpzVmEslM8kzmE_eqb0dmiIQcnQTCWldTr9-gLlMj_b0TjXb6z0mfs0P4WFtWdBFpxjOs4lCtYlQzdKiTj14WbjlxCUrovXaEEHbwka1SOqYtke9lONIXA3LE0osqpRBErZXY5NnFA=s0-d "\displaystyle =1+1+\frac{1}{1\cdot 2}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots +\frac{1}{n^n}")
(1)Note que à medida que ![[;n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sg5PXdO9CRfmA9_v2fyxamosWFgfsqeyRNxyevV13u3x9AK8Yv_PYzJXLzT36Wm29qi8QJZ2C7iG0=s0-d "n")
cresce o número de termos dessa soma cresce, formando uma sequência crescente, assim
cresce o número de termos dessa soma cresce, formando uma sequência crescente, assim![[;x_1<x_2<x_3<\cdots <x_n<x_{n+1}<\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s5vu2PZJcBENM46uWE8oDP_qD6ybVxwO0TNV_FV4sxkJajXj7ZjVHngAlFRCfKYhAVnqSXgs7ELD51Ts9aihP3eS7YboWmdH0cbT9aFzNYipBSF4Ur4TWr2kiK_-E9wc5G-mg7-ESoJbxY7aHA7evd7hnRpQ=s0-d "x_1<x_2<x_3<\cdots <x_n<x_{n+1}<\cdots")
(2)Afirmação: Para ![[;n>1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tqRtulDdS9enznA9pT0IJIbBCYIiZo15_vgJS8iuCvBejss21w5hIGhMk3vY_U44HKjY5MHDwtPiE-Aio=s0-d "n>1")
é verdade que ![[;\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n!}.;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tofW17tH3c-G2ItjaXPmkZ6kl0x4iFY0Iba2PrvNE_Z_5l9icLY8hDG-1AdI4PilntTroszDIaU_Wj-uZ4Jf6teKQWqkdAvpJ1U3x_fkGEXfklprulvaYymVaO7NHc4mD6JjWnFMe_pDullMhHUEOvAtaGsgIJfKioF65i3YP3GHoIwIkwA3S8jwKomqq_bx8zOtuZ8MHJVQ=s0-d "\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n!}.")
.
é verdade que .Demonstração: Basta mostrar que ![[;\left(1-\frac{1}{n}\right)<1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t9wYWxA-fRndpwJuFrUbaRC4z2Jbl514P-vcMDSalL7NRmd2NEIgAF8pc1wGpH-NfyQkOpDPyzFslDP9PntoTXggu3LqRayRx6KJWGui2UDKXRPwewfTF2930CLPS6TsjUwkH-lpHDrA=s0-d "\left(1-\frac{1}{n}\right)<1")
,é óbvio, pois se então ![[;0<\frac{1}{n}<1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tOP1yCw4fgnMBStpWNDOsvT2QpmvUdb05_mCDFUvFOaJqJio05_S6RHdlmnbZgAARPbJZAXM6GkXiusvlJSSMPzmCNZ7H-IaP0BfRgsaXg3TQUr3Uk=s0-d "0<\frac{1}{n}<1")
, assim
![[;0<\frac{1}{n}<1 \Rightarrow -1<\frac{-1}{n}<0\Rightarrow 0<1-\frac{1}{n}<1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_slQ-lif4el1wCmRxh2dVqNFvuWXMwNg4FE5ZqUBzkUDiGow8ofCwT96ujjiz7WjqHTOXMlZ9lcNw_F_gTglnbPrfE-IhXQMiyfIugcZ-SB9UhNauWbmC8JjJjtp_y4YgGYnP_jJSbJKcBb13IxMFIPVy63G1rKzeM55kXmF_1m_k9JANMfkj1GO4ND7LEiwSLBCARNJSY67Ikb6vKFRYWrKW8hcFAY9E8F24NNlvlx1VefR0_rW7U=s0-d "0<\frac{1}{n}<1 \Rightarrow -1<\frac{-1}{n}<0\Rightarrow 0<1-\frac{1}{n}<1")
,é óbvio, pois se então , assim Portanto, como ![[;\frac{1}{n!}>1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vIey11NV4MgCZLyic8OxPeP7J12vQdr-9tzn9Vun4J6m1bNKzb_PhviokAuyI9TcIy77ZX8u4O7YvHYJ68Q5iZbwqCcRUdm5khRd0CXnLwaGbknQ=s0-d "\frac{1}{n!}>1")
, temos .
, temos . De (1), temos que
![[;x_n&lt;1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3}+\cdots +\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}<1+1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots + \frac{1}{2^{n-1}}\right)<1+1+1=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_soOsOGaMkbgTUkl839b7ufave8RFAFM33yq2Ste7xLgiCL74Rn7aFs8hH3lBguusIeZZ5IZKbVYOKAWJflr73xt1NPQYEMz8FAT8POdwu1zp-GJktgIIg5-IxxBJkumHSyahWGwQhH7xPGs1Utio2bCRQwrmhFOZVE5iRXWBcIedxYXJsXN2A5Cj9hFkBORokKWUBZXlbG-st67Blx8KdkXz5CtZGc4pu2QzMHWflUR_E4hvnvA8AAuHmexZQSYx0UBhfJhy6ppqis52JP6FjW8swESgzmlTQ9BDiCqzgDMGLB3xTNZncgC8vlFFPi2dJDi3UqHFIul7zQ07OQpE_n197aZBQgIGKsrnIrTl4glH4E9JSAB8ljbiU_6NKZL87QfLzNOVWJOSZMzJrETiE9uzt4Er0Ut2J_61nynCk2foOdhkeY2yfW-Os33_H3Te9eKfE4Lw6xMO1erNnYyC_AziBMCj68SvbLEw=s0-d "x_n&lt;1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3}+\cdots +\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}<1+1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots + \frac{1}{2^{n-1}}\right)<1+1+1=3")
(3)
Pois a expressão entre parênteses é parte da série geométrica
![[;\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}+\cdots=1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uICzbszLAqU6e72FWjR8aorxbbMObxN-4VbMEeNCFZAJv8qe4W5BIJWuzz5q2FloZPXSc4ivFgkhP3bTGtlH_EVuCbQjbsW_Klg3tFlW_U4atId0se69WY496pnI2S3G3wv9e_d4e_rE4UBh9_nTLweCJbe2vvbkCV-iTgqjZzeCLVTBOO-4Bt0a9XwhgGlI_TajGSCDG333sQPxgiSNR9=s0-d "\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}+\cdots=1")
(3)Pois a expressão entre parênteses é parte da série geométrica
De (2) e (3), vemos que os ![[;x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sTmhbrYxwkwNbfhd3DHhExMVkposrzoSobVqconp6SiXGaHDR6CrU6H6sHsuktkVA5evQqmg9QfC1X=s0-d "x_n")
crescem uniformemente, porém não ultrapassam o valor 3, assim eles tendem, a um valor-limite.Em nosso contexto, esse valor-limite é por definição. Esse argumento prova que
crescem uniformemente, porém não ultrapassam o valor 3, assim eles tendem, a um valor-limite.Em nosso contexto, esse valor-limite é por definição. Esse argumento prova queReferência Bibliográfica: Simmons, George F., 1925 - Cálculo comGeometria Analítica - São Paulo: MacGraw- Hill, 1987
$ÓTIMA DEMONSTRAÇÃO VAI ME AJUDAR MUITO NA PROVA DE ANÁLISE MATEMATICA$
ResponderExcluirQue bom! O Giga Matemática possui esse propósito, auxilar e despertar os leitores em assuntos matemáticos
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