Por que só existem 5 sólidos platônicos?

Essa pergunta pode ser comum para muitos estudantes durante sua vida, pelo menos para mim foi. Quando estudamos Geometria Espacial nos deparamos com esses sólidos bem peculiares descobrimos que só existem apenas cinco deles, mas por quê? É isso que iremos descobrir durante essa postagem, boa leitura!

Definição: Um sólido platônico é um poliedro convexo onde todas as suas faces são polígonos congruentes e de cada vértice partem a mesma quantidade de arestas.

Existem APENAS cinco sólidos platônicos, são eles:

Tetraedro: 4 vértices, 6 arestas, 4 faces

Hexaedro ou Cubo: 8 vértices, 12 arestas, 6 faces

Octaedro: 6 vértices, 12 arestas, 8 faces

Dodecaedro: 20 vértices, 30 arestas, 12 faces

Icosaedro: 12 vértices, 30 arestas, 20 faces

Note que o nome de cada sólido deve-se ao número de faces que o mesmo possui, por exemplo Dodecaedro = Dode (12) + edro, podemos notar também que o número de vértices, arestas e faces obedecem a seguinte relação:

$$V-A+F=2\qquad (*)$$

 Onde, $V$ é o número de vértices, $A$ é o número de arestas e $F$ é o número de faces, essa é a Relação de Euler, a constante 2 depende da forma do espaço topológico.

Podemos nos perguntar o porquê de existir apenas 5 desses sólidos, provaremos isso no teorema seguinte:

Teorema: Seja $P$ um poliedro convexo. Se todas as suas faces são polígonos congruentes e de cada vértice partem a mesma quantidade de arestas, então $P$ é um dos sólidos a seguir: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro ou Icosaedro.

Prova: Seja $p$ o número de arestas de cada face (equivalentemente, o número de vértices de cada face) e $q$ o número de faces que se encontram em cada vértice (equivalentemente, o número de arestas que se encontram em cada vértice), observe que:

• $pF=2A$

      De fato, cada face do poliedro possui $p$ lados, como temos $F$ faces, temos um total de $pF$ lados de faces, como cada lado pertence a exatamente duas faces, então o número de arestas do poliedro é $\dfrac{pF}{2}$, ou seja, $pF=2A$ .

• $2A=qV$

       Ora, de cada vértice do poliedro partem $q$ arestas(ou faces), assim temos um total de $qV$ arestas partindo de todos os vértices, como cada aresta liga dois vértices, temos um total de $dfrac{qV}{2}$ arestas, ou seja, $2A=qV$

Portanto,

$$pF=2A=qV\qquad(**)$$

Agora, de $(*)$ temos

$$V-A+F=2$$

De $(**)$ temos que

$$F=\frac{2A}{p}\quad\mbox{e}\quad V=\frac{2A}{q}$$

Substituindo esses valores em $(*)$, obtemos:

$$\frac{2A}{p}-A+\frac{2A}{q}=2$$

Dividindo a igualdade por $2A$ e passando o termo negativo para o outro lado, temos:

$$\frac{1}{q}+\frac{1}{p}=\frac{1}{2}+\frac{1}{E}$$

Como $E$ é estritamente positivo, temos

$$\frac{1}{q}+\frac{1}{p}>\frac{1}{2}$$

Observe que cada face possui pelo menos 3 lados (triângulo), e de cada vértice partem pelo menos 3 arestas (duas arestas implicaria que o sólido não seria fechado), logo $p,q\geq3$ e os possíveis valores para $(p,q)$ são:

$$(3,3)\quad(4,3)\quad(3,4)\quad(5,3)\quad(3,5)$$

Fica ao cargo do leitor provar na "privacidade do seu lar" (não é difícil, vale a pena tentar!) as seguintes identidade decorrente de (*) e (**):

$$V=\frac{4p}{4-(p-2)(q-2)}$$

$$A=\frac{2pq}{4-(p-2)(q-2)}$$

$$F=\frac{4q}{4-(p-2)(q-2)}$$

Assim, temos as seguintes situações:

• $(3,3)\Rightarrow F=4$, logo temos um tetraedro;
• $(4,3)\Rightarrow F=6$, logo temos um hexaedro ou cubo;
• $(3,4)\Rightarrow F=8$, logo temos um octaedro;
• $(5,3)\Rightarrow F=12$, logo temos um dodecaedro;
• $(3,5)\Rightarrow F=20$, logo temos um icosaedro. 

$\Box$

Podemos concluir que a quantidade de sólidos platônicos depende da forma do espaço topológico! 

Até a próxima!