Números Autobiográficos + DESAFIO

Hoje apresento uma propriedade interessante de alguns números, como o título já informa, iremos falar dos números autobiográficos.

Definição: Um número autobiográfico é um número $N$ com no máximo 10 dígitos, tal que seu primeiro dígito informa quantos zeros $N$ possui, o segundo dígito informa quantos 1's $N$ possui, e assim sucessivamente.

Por exemplo, o número $3211000$ é um número autobiográfico, pois ele nos informa que ele possui três zeros, dois 1's, um 2, um 3, zero 4, zero 5, zero 6.

É fácil ver que não existem uma quantidade infinita de números autobiográficos, pois eles possuem no máximo 10 dígitos.

Note alguns fatos sobre esses números:

1. Os números autobiográficos possuem no máximo 10 dígitos. Segue-se da definição;
2. A soma dos dígitos de um número autobiográfico é igual a soma da quantidade de dígitos que esse número possui, consequentemente a soma dos dígitos não é maior do que 10 (De fato, cada dígito informa a quantidade de zeros, 1's, 2's, e assim sucessivamente);
3.  Como o primeiro dígito informa a quantidade de zeros, então um número autobiográfico possui pelo menos um zero;
4. De (2) e de (3), podemos concluir que a soma de todos os dígitos, exceto o primeiro, é igual a quantidade de dígitos não nulos que restou mais 1. (acrescentamos +1, pois o primeiro dígito estava sendo contado por algum dos números que restaram, assim acrescentamos uma unidade à contagem para continuar com uma afirmação verdadeira);
5. De (4), vemos que os demais dígitos (após o primeiro) não nulos forma uma sequência de 1's e apenas um único 2 (Ora, a soma desses dígitos não-nulos, pelo item 4, é igual a quantidade deles mais 1, ou seja, cada dígito contribui com 1 na contagem, como a soma dessa contagem é igual a soma deles mais 1,temos uma sequência de 1's e apenas um 2);
6. Em particular, a quantidade de 1's é 0,1 ou 2 (consequência dos itens anteriores).

Assim podemos encontrar todos os números autobiográficos, bastando para isso considerar a quantidade de 1's que ele possui.

Faremos aqui o caso quando a quantidade de 1's é zero, os demais casos ficam ao cargo do leitor.

• Se o número de 1's é zero, então o único dígito (exceto o primeiro) não-nulo é 2;
• Como 2 pertence à autobiografia do número, e o segundo dígito é zero (estamos considerando o número de 1's sendo nulo), então o terceiro dígito deve ser 2. (se fosse o quarto, quinto, etc, teríamos algum dígito maior que 2, absurdo!)
• Como o terceiro dígito informa a quantidade de 2's, esse número possui dois 2's.
• De (5), temos que o outro dígito 2 só poderá ser o primeiro!
• Logo ele deve ser 2020.

Encontramos aqui um número autobiográfico, realidade existem ................. ISSO QUEM VAI DIZER É O LEITOR, PORQUE ESSE É O DESAFIO GIGA MATEMÁTICA!!! , então fica aqui o desafio para o leitor:

Quantos números autobiográficos existem? 

Quais são eles?

 Os leitores tem até 09/08 para enviar a solução através da página Enviar Arquivo. Suas respostas serão publicadas aqui e os leitores terão seus nomes divulgados, por isso é importante enviar o nome juntamente com a solução, mãos à obra!

Até a próxima!