sábado, 23 de novembro de 2013

Questão: Aplicação do Valor Intermediário

A questão que será apresentada aqui aborda mais uma das aplicações do Teorema do Valor Intermediário (para saber mais clique nessa postagem:As Consequências do Teorema do Valor Intermediário ), a questão foi enviada pelo leitor Arlyson A. Nascimento, ele é professor do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Alagoas. Obrigado pela confiança no blog!

A questão pertence ao exame de admissão no programa de pós-graduação em matemática aplicada (2011). Vamos ao enunciado:


Sejam $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ uma função contínua, $x_1,\ldots,x_n$ pontos distintos de $[a,b]$, e números reais de mesmo sinal $w_1,\ldots,w_n$. Mostre que existe pelo menos um ponto $c\in[a,b]$ tal que
$$\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i=f(c)\sum_{i=1}^nw_i$$


Solução: Suponha sem perda de generalidade que $w_i>0$ para todo $1\leq i\leq n$, (a demonstração é análoga para o outro caso). Note inicialmente que $[a,b]$ é compacto, assim, visto que $f$ é contínua, $f$ atinge seu valor de máximo e mínimo no domínio, logo, exitem $c_1,c_2$ tais que $f(c_1)=m,f(c_2)=M$ e


$$m\leq f(x)\leq M,\quad\forall x\in [a,b]\qquad (1)$$

Defina $F:[a,b]\to\mathbb{R}$ por
$$F(x)=\sum_{i=1}^n[f(x)-f(x_i)]w_i$$
$F$ é claramente contínua, pois $f$ é contínua. Observe que
$$F(c_1)=\sum_{i=1}^n[m-f(x_i)]w_i\leq0,$$
pois de $(1)$ temos $m\leq f(x)\Rightarrow m-f(x)\leq0,\forall x \in[a,b]$ e por hipótese $w_i>0$.
Analogamente,
$$F(c_2)=\sum_{i=1}^n[M-f(x_i)]w_i\geq0,$$
pois de $(1)$ temos $M\geq f(x)\Rightarrow M-f(x)\geq0,\forall x \in[a,b]$ e por hipótese $w_i>0$.
Temos agora três casos a considerar:
Caso 1: $F(c_1)=0$, se ocorrer esse caso, então acabamos a questão, pois
$$F(c_1)=0$$
$$\sum_{i=1}^n[f(c_1)-f(x_i)]w_i=0$$
$$\sum_{i=1}^nf(c_1)w_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$
$$f(c_1)\sum_{i=1}^nw_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$

Caso 2: $F(c_2)=0$, concluímos como no caso anterior que $c_2$ satisfaz a igualdade desejada.
Caso 3: $F(c_1),F(c_2)\neq0$, assim só podemos ter $F(c_1)<0$ e $F(c_2)>0$. Como $F$ é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $c\in[a,b]$ tal que $F(c)=0$, nesse caso:
$$F(c)=0$$
$$\sum_{i=1}^n[f(c)-f(x_i)]w_i=0$$
$$\sum_{i=1}^nf(c)w_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$
$$f(c)\sum_{i=1}^nw_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$
Portanto, existe pelo menos um ponto $c\in[a,b]$ tal que
$$\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i=f(c)\sum_{i=1}^nw_i$$

É isso, dúvidas em relação à solução poderão ser postadas nos comentários.
Até mais !

2 comentários:

  1. Bem interessante...
    Não pude deixar de notar a semelhança desse resultado com o teorema da média ponderada para integrais:
    Se f e g são contínuas em [a,b] e g nunca muda de sinal no intervalo, então $\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = f(c)\int_{a}^{b}g(x)dx, c \in [a,b]$

    Fica a pergunta: será que o resultado obtido pode ser usado para demonstrar o teorema?

    A demonstração que eu conheço utiliza o fato de que $
    m \leq f(x) \leq M$, pois f é contínua no intervalo fechado [a,b]. Então:

    $mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x)$

    $m \int_{a}^{b}g(x)dx \leq \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx \leq M \int_{a}^{b}g(x)dx$

    Supondo $g(x)>0 \forall x \in [a,b]$, temos $\int_{a}^{b}g(x)dx \geq 0$ e, dividindo pela integral:

    $m \leq \frac {\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx}{\int_{a}^{b}g(x)dx} \leq M$

    O resultado segue pelo teorema do valor intermediário. Se $g \equiv 0$ o resultado vale para todo c e se g for negativa o resultado é análogo para -g.

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    Respostas
    1. Bela observação caro leitor!
      Isso mesmo, podemos utilizar a mesma idéia da postagem para resolver sua questão, supondo $g$ positiva (o caso nulo é trivial e o caso negativa é análogo), basta considerar a função
      $$F(y)=\int_a^b(f(y)-f(x))g(x)\,dx.$$
      Tal função é contínua e pelas mesmas idéias contidas na postagem podemos verificar que a mesma troca de sinal.
      Fazendo um estudo de casos semelhante ao da postagem podemos verificar que de fato existe $c\in[a,b]$ tal que
      $$\int_a^bf(x)g(x)\,dx=f(c)\int_a^bg(x)\,dx.$$
      Obrigado pela visita e sugestão!
      Volte sempre!

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$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

basta digitar a seguinte fórmula:

$ \$ $ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $ \$ $
(Um exemplo mais simples: $x^2=a$ é escrito como \$ x^2=a \$).

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