O Corpo dos Números Complexos - Parte II

Hoje daremos continuidade ao artigo enviado pelo leitor João (Portugal), quem não viu a primeira parte pode clicar aqui e ver!

Segue o artigo enviando pelo João:

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Antes de continuar o meu artigo quero desde já agradecer ao Diego a oportunidade de postar aqui no blog o meu trabalho. Comecemos por dizer algumas propriedades do corpo dos complexos:

1. O corpo dos números complexos não é um corpo de Galois

Demonstração:

Um corpo de Galois é um corpo finito, ou seja, é um corpo cujo em que o conjunto dos elementos é finito. 

Ou seja, temos de mostrar que o conjuntos dos números complexos não é finito. Como sabemos, podemos obter um isomorfismo entre o corpo dos complexos e o produto direto entre corpo dos reais em si próprio, ou seja,

Seja $f$ uma função, tal que:

$$f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}\times\mathbb{R}$$

$$a+bi\mapsto (a,b)$$

Esta função $f$ é um isomorfismo entre os corpos. Sendo assim se $\mathbb{R^2}$ não é finito então o corpo dos números complexos também não é finito.

Ou seja, $\mathbb{C}$ não é um corpo de Galois.

2. O corpo dos complexos não é ordenado

Demonstração:

Veja a demonstração nessa postagem do Giga Matemática:

O porquê dos complexos não ser um corpo ordenado

Uma propriedade importante é o fato de o corpo dos números complexos ser 

algebricamente fechado. Para demonstrar este fato vamos começar por introduzir e provar 4 lemas. Mas antes disto vamos definir um corpo algebricamente fechado. Um corpo $F$ é algebricamente fechado se qualquer polinômio de uma variável e grau maior ou igual a 1, com coeficientes em $F$, tiver uma raiz em $F$.

Eis os lemas que vamos utilizar:

1. Lema 1: Todo o polinômio de coeficientes reais de grau ímpar tem uma raiz real.

2. Lema 2: Todo o polinômio de coeficientes complexos e grau dois, tem pelo menos uma raiz complexa.

3. Lema 3: Se todo o polinômio de coeficientes reais, não constante, tem uma raiz complexa, então todo o polinômio de coeficientes complexos, não constante, tem uma raiz complexa.

4. Lema 4: Todo o polinômio real não constante tem uma raiz complexa.

Demonstração:

Seja $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ um polinômio de coeficientes reais, não constante e $a_n\neq 0$. 

Vamos provar por indução no grau do polinômio que, $f(x)$ tem uma raiz complexa.Seja $n=2^mq$ , com $q$ ímpar. Vamos fazer uma indução em $m$.

Se $m=0$ temos $n=q$ e o grau do polinômio é ímpar. Logo pelo Lema1, temos que o polinômio tem uma raiz real. Suponhamos agora que a propriedade se verifica para todos os graus $d=2kq'$ com $k>m$ e $q'$ ímpar, e que o grau de $f$ é $n=2mq$. Seja $F'$ o corpo de decomposição de $f(x)$ sobre $\mathbb{R}$ cujas raízes são $r_1,\ldots,r_n$. Vamos mostrar que pelo menos uma destas raízes é complexa. Seja $g$ um inteiro e consideremos o polinômio

$$G(x)=\prod_{i\leq j}\left(x-(r_i+r_j+gr_ir_j)\right)$$

De coeficientes em $F'(x)$.

Ao formar $G$, escolhemos os pares de raízes $\{r_i,r_j\}$ de modo que o número destes pares seja o número de maneiras possíveis, de escolher dois elementos em $n$, ou seja, $2[q(2q-1)]=2q'$, onde $q'$ é ímpar, então o grau de $G$ é $n=2q'$. Como $G$ é um polinômio simétrico e $\{r_i,r_j\}$ são raízes de um polinômio real, então os coeficientes $s\{r_i,r_j\},s'\{r_i,r_j\}$, de $G$ são reais. Então podemos dizer que $G(x)$ tem coeficientes reais e o grau de $G$ é $2m-q'$. Por hipótese de indução temos que $G$ tem uma raiz complexa, logo existe um par $\{r_i,r_j\}$, com $r_i+r_j+gr_ir_j\in\mathbb{C}$. Como $g$ é um inteiro qualquer, podemos dizer que para cada $g_1$ existe um par $\{r_i,r_j\}$ com $r_i+r_j+g_jr_ir_j\in\mathbb{C}$. Como temos infinitas escolhas para $g$ e

finitas possibilidades para $i$ e $j$, então existem $g_1,g_2\in\mathbb{R}$ tal que $z'=r_i+r_j+g_1r_ir_j\in\mathbb{C}$ e

$z''=r_i+r_j+g_2r_ir_j\in\mathbb{C}$ , então $z'-z''=(g_1-g_2)r_ir_j$\in\mathbb{C}. Mas isso faz com que $g_1r_ir_j\in\mathbb{C}$, logo $r_i+r_j\in\mathbb{C}$. Então, $p(x)=(x-r_i)(x-r_j)=x^2-(r_i+r_j)x+r_ir_j$ tem coeficientes complexos, e grau dois, logo pelo Lema 2, as suas raízes são complexas. Como $r_1,\ldots,r_n$ são raízes de $f(x)$ temos que $f(x)$ tem uma raiz complexa.

$\Box$

Teorema: $\mathbb{C}$ é um corpo algebricamente fechado.

Demonstração:

O lema 4 diz que qualquer polinômio real não constante, tem uma raiz complexa, e o lema 3 diz que se todos os polinômios reais não constantes têm raiz complexa, concluímos que todos os polinômios complexos não constantes, têm uma raiz complexa. 

Então temos que todos os polinômios complexos, decompõem-se em $\mathbb{C}$, logo, $\mathbb{C}$ é um corpo algebricamente fechado.

$\Box$

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Agradeço ao leitor João por ter enviado seu artigo para o Giga Matemática. E você também pode participar, basta enviar seu artigo para o blog através da aba no topo desse blog ou clicar aqui! Até mais!