Progressões Aritméticas Com Números Primos

Este artigo foi enviado pelo leitor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) e adaptado por mim. Participe você também enviando seus artigos ou sugestões, basta clicar na aba Enviar Arquivo logo acima.

Fonte: Science Blogs

 Você já imaginou quantos números primos existem? Pois saiba que eles são infinitos, ou seja, sempre haverá um primo que é maior que um número qualquer dado. Mas a questão é: Como os primos se distribuem sobre a reta? Existe uma "lei" que rege a "aparição" dos primos ao decorrer da reta?

Para entender um pouco do que trata esta postagem imagine a seguinte situação:
 

 

Um carteiro está encarregado de entregar as correspondências de algumas casas na Rua dos Inteiros, ele deverá entregar a primeira casa no primo 2, depois no primo 3, depois no primo 5, e assim sucessivamente. 

Depois de entregar a carta na primeira casa, ele percebe que o próximo destinatário é o vizinho, depois desta casa a próxima é "pulando" um número, o próximo tambem, mas o posterior está à três casas de distâncias, daí em diante o carteiro percebe que os destinatários estão cada vez mais distantes um dos outros, algumas vezes três ou mais destinatártios se encontram à mesma distância. Ele percebe então que o trabalho não será fácil hoje!!!

Na história, a rua representa o conjunto dos inteiros positivos que contém números primos e não-primos, cada destinatário reprenta um número primo, vale salientar as seguintes propriedades sobre os primos:

1) A distância entre dois primos aumenta a medida que prosseguimos na contagem dos números inteiros.

2) Alguns primos se encontram a mesma distância, ou seja, existe uma RAZÃO na sua distância.

Para saber sobre alguns fatos interessantes sugiro que leia a postagem Teorema Interessantes sobre Números Primos do Prof. Paulo Sérgio.

Em relação ao apontamento 1) indico a leitura do artigo Deserto Entre Números Primos que está no Blog O Baricentro da Mente e que foi enviado por este mesmo leitor (Prof. Sebá)

O artigo se focará no segundo apontamento, um estudo sobre P.A.'s entre os números primos.

Observação: Vale ressaltar que uma P.A. é uma sequência formada com pelo menos 3 elementos e que possuem razão constante.

Primeiramente iremos verificar a EXISTÊNCIA de algumas Progressões entre os primos compreendidos entre 2 e 500.

Algumas possibilidades:

a) razão da P.A. sendo um número PAR, terminado em ZERO, menor que 100, NÃO divisível por 3:

Nessas condições não se encontrou nenhuma P.A. com três termos.

b) razão da P.A. sendo um número PAR, NÃO terminado em ZERO,  menor que 100, NÃO divisível por 3:

Nessas condições não se encontrou nenhuma P.A. com três termos.

c) razão da P.A. sendo um número PAR, terminado em ZERO, menor que 100, divisível por 3:

Nessas condições se encontrou as seguintes P.A.'s com três ou mais termos, com razão igual à 30, 60 ou 90:

[97, 127, 157 (r = 30)]
[37, 67, 97, 127, 157 (r = 30)]
[11, 41, 71, 101, 131 (r = 30)]
[13, 43, 73, 103 (r = 30)
[23, 53, 83, 113 (r = 30)]
[29, 59, 89 (r =30)]
[41, 71, 101, 131(r =30)]
[43, 73, 103 (r = 30)]
[53, 83, 113 (r =30)]
[71, 101, 131 (r = 30)]
[67, 97, 127, 157 (r =30)]
[79, 109, 139 (r = 30)]
[7, 37, 67, 97, 127, 157 (r = 30)]
[43, 103, 163, 223, 283 (r=60)]
[11, 71, 131, 191, 251, 311 (r = 60)]
[47, 107, 167, 227 (r = 60)]
[19, 79, 139, 199 (r = 60)]
[17, 107, 197 (r = 90)]
[37, 97, 157 (r = 60)]
[29, 89, 149 (r = 60)]
[23, 83, 113 (r = 60)]
[7, 67, 127 (r = 60)]
[79, 139, 199 (r = 60)]
[53, 113, 173, 233, 293, 353 (r = 60)]
[71, 131, 191, 251, 311 (r = 60)]
[47, 137, 227, 317 (r = 90)]
[59, 149, 239 (r = 90)]
[19, 109, 199 (r = 90)]
[11, 101, 191, 281 (r = 90)]
[83, 173, 263, 353, 443 (r = 90)]
[61, 151, 241, 331, 421 (r = 90)]
[13, 103, 193, 283, 373, 463 (r = 90)]
[89, 179, 269, 359, 449 (r = 90)]

d) razão da P.A. sendo um número PAR, NÃO terminado em ZERO, menor que 100, divisível por 3:    

Nessas condições se encontrou as seguintes P.A.'s com três ou mais termos, com razão igual à 6,12,18,24,36,42,48,54,66,72,78,84,96:

[5, 11, 17, 23, 29 (r = 6)]
[7, 13, 19 (r = 6)]
[11, 17, 23, 29 (r = 6)]
[17, 23, 29 (r = 6)]
[31, 37, 43 (r = 6)]
[41, 47, 53, 59 (r = 6)]
[67, 73, 79 (r = 6)]
[97, 103, 109 (r = 6)]
[5, 17, 29, 41, 53 (r = 12)]
[47, 53, 59 (r = 6)]
[61, 67, 73, 79 (r = 6)]
[7, 19, 31, 43 (r = 12)]
[17, 29, 41, 53 (r = 12)]
[19,31, 43 (r = 12)]
[29, 41, 53 (r = 12)]
[59, 71, 83 (r = 12)]
[67, 79, 91, 103 (r = 12)]
[89, 101, 113 (r = 12)]
[47, 59, 71, 83 (r = 12)]
[5, 23, 41, 59 (r = 18)]
[11, 29, 47 (r = 18)]
[23, 41, 59 (r = 18)]
[43, 61, 79, 97 (r = 18)]
[53, 71, 89, 107 (r = 18)]
[61, 79, 97 (r = 18)]
[71, 89, 107 (r = 18)]
[5, 29, 53 (r = 24)]
[19, 43, 67 (r = 24)]
[23, 47, 71 (r = 24)]
[59, 83, 107 (r = 24)]

[83, 107, 131 (r = 24)]
[79, 103, 127, 151 (r = 24)]
[17, 53, 89 (r = 36)]
[67, 103, 139 (r = 36)]
[19, 61, 103 (r = 42)]
[67, 109, 151, 193 (r = 42)]
[5, 53, 101, 149, 197 (r = 48)]
[31, 79, 127 (r = 48)]
[5, 59, 113, 167 (r = 54)]
[61, 109, 157 (r = 48)]
[83, 137, 191 (r = 54)]
[31, 97, 163, 229 (r = 66)]
[17, 83, 149 (r = 66)]
[29, 101, 173 (r = 72)]
[5, 83, 161 (r = 78)]
[73, 151, 229, 307 (r = 78)]
[13, 97, 181 (r = 84)]
[29, 113, 197, 281 (r = 84)]
[3, 167, 251 (r = 84)]
[5, 101, 197, 293, 389 (r = 96)]

[89, 113, 137 (r = 24)]
[11, 47, 83 (r = 36)]
[31, 67, 103, 139 (r = 36)]
[5, 47, 89, 131, 173 (r = 42)]
[29, 71, 113 (r = 42)]
[89, 131, 173 (r = 42)]
[11, 59, 107 (r = 48)]
[41, 89, 137 (r = 48)]
[19, 73, 127, 181 (r = 54)]
[83, 131, 179, 227 (r = 48)]
[5, 71, 137 (r = 66)]
[41, 107, 173, 239 (r = 66)]
[97, 163, 229 (r = 66)]
[37, 109, 181 (r = 72)]
[11, 89, 167 (r = 78)]
[71, 149, 227 (r = 78)]
[23, 107, 191 (r = 84)]
[43, 127, 211 (r = 84)]
[89, 173, 257 (r = 84)]
[31, 127, 223 (r = 96)]

[13, 37, 61 (r = 24)]
[7, 43, 79 (r = 36)]
[37, 73, 109 (r = 36)]
[17, 59, 101 (r = 42)]
[47, 89, 131, 173 (r = 42)]
[97, 139, 181, 223 (r = 42)]
[13, 61, 109, 157 (r = 48)]
[53, 101, 149, 197 (r = 48)]
[29, 83, 137, 191 (r = 54)]
[43, 97, 151 (r = 54)]
[7, 73, 139 (r = 66)]
[61, 127, 193 (r = 66)]
[7, 79, 151, 223 (r = 72)]
[67, 109, 181 (r = 72)]
[23, 101, 179, 257 (r = 78)]
[5, 89, 173, 257 (r = 84)]
[73, 157, 241 (r = 84)]
[73, 157, 241 (r = 84)]
[41, 137, 233 (r = 96)]
[71, 167, 263, 359 (r = 96)]

Combinando as P.A.’s com os números pares divisíveis por 3, e razão menor que 100, não terminada em zero, com as P.A.’s com os números pares divisíveis por 3, e razão menor que 100, terminada em zero, as razões formam uma P.A. de razão 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,
54, 60, 66, 72, 78, 84 e 96.

Algumas Curiosidades sobre P.A. e números primos:

• O que tem de curioso nas P.A.’s de razão, 30, 60 e 90? É que o último algarismo de cada termo, de cada PA, é sempre igual.

• Testando todos os primos entre 100 e 2100 com a razão igual a 210 (número par terminado em zero e divisível por 3), encontrou-se a seguinte P.A. com primos: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 2089. O que tem de curioso nessa P.A.? É que o último algarismo de cada termo da P.A. é igual a 9.

• Atualmente, a maior P.A. de primos que se conhece é formada pelos 22 termos 11410337850553 + 4609098694200k, com 0 ≤ k ≤ 21, e foi encontrada por Pritchard et al em 1993. Determinando a razão da P.A., encontrou-se: r = 4609098694200 (termina em zero, r é divisível
  por 3 e cada termo da PA termina em 3).

M. Toplic, um dos membros de um projeto conjunto realizado com o auxílio da internet,
encontrou em 15/01/1998 o primeiro exemplo de 10 números primos consecutivos (não existe
primo entre os termos da PA) em PA, que são os primos p + 210k com 0 ≤ k ≤ 9, onde

Como p + 210k são os termos da PA, logo, r = 210 (termina em zero, r é divisível por 3 e cada termo da PA termina em 9).

Por outro lado, em 23/4/1999, um grupo de 6 pesquisadores achou 10 primos palíndromos (i.e., cuja representação decimal é simétrica) consecutivos (dentre os primos palíndromos) em PA, que são:

 

onde: p=742950290870000078092059247.

Determinando a razão da PA, encontra-se: r = 1010100000000000 (termina em zero, r é divisível por 3 e cada termo da PA termina em 7).



  De acordo com os resultados obtidos acima, elaborou-se as seguintes conjecturas:

Conjectura (Sebá 1). Há uma infinidade de progressões aritméticas formadas por 3 primos.

Conjectura (Sebá 2). Se numa progressão aritmética formada por primos, a razão for divisível por 3 e, além disso, o último algarismo da razão for zero, então, o último algarismo de cada termo da progressão aritmética é igual.

Conjectura (Sebá 3). Qualquer progressão aritmética por mais longa que seja, formada por primos, a mais longa será aquela cuja razão é divisível por 3 e o último algarismo da razão é zero.

*O autor é professor titular (por concurso) aposentado da UFCG-PB

 Até mais, e não deixem de comentar!!!